【文档说明】北京市育英学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 【精准解析】.doc，共(13)页，1.046 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年北京市海淀区育英学校高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosB＝﹣

，则c的大小为（）A．3B．4C．5D．63．若角α的终边过点（1，﹣2），则sin2α＝（）A．B．C．D．4．在△ABC中，AB＝1，AC＝，，则∠B＝（）A．B．或C．D．或5．已知平面向量，满足•（+）＝3，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．6．将

函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝（）A．B．C．cos2xD．﹣cos2x7．在△ABC中，已知atanB＝btanA，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．

直角或等腰三角形8．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一

天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A．B．C．D．9

．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．在平行四边形ABCD中，∠A＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分

别是边BC，CD上的点，且满足＝，则•的最大值为（）A．2B．4C．5D．6二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为．12．已知向量＝（1，），＝（，1），则|+|为13．已知，则的值为1

4．已知函数f（x）＝cos2x﹣2cosx（x∈R），则＝；f（x）的最大值为15．已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x＝（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取

值范围是．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值，并求出此时对应的x的值．17．在△ABC中，acosB＝bsinA．（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）若b＝2，c＝2

a，求△ABC的面积．18．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝（1，1﹣sinB），＝（cosB，1）且⊥，（1）求角B；（2）若a+c＝b，判断△ABC的形状．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，时．（1）若a

＝7，求c；（2）记．（ⅰ）当k为何值时，使得△ABC有解；（写出满足条件的所有k的值）（ⅱ）当k为何值时，△ABC为直角三角形；（ⅲ）直接写出一个满足条件的k值，使得△ABC有两解．参考答案一、选择题10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出

符合题目要求的一项。1．在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数z＝1+i的共轭复数为z＝1﹣i，对应的点为（1，﹣1），所以该点位于第四象限，故选：D．2．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosB＝﹣，

则c的大小为（）A．3B．4C．5D．6解：在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosB＝﹣，则，∴根据正弦定理得，，解得，且A∈，∴，∴cosC＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB＝，∴在△ABC中，根据余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝49+

64﹣，∴c＝3．故选：A．3．若角α的终边过点（1，﹣2），则sin2α＝（）A．B．C．D．解：∵角α的终边过点A（1，﹣2），∴r＝|OA|＝．∴sinα＝，cos．∴sin2α＝2sinαcosα＝．故选：D．4．在△ABC中，AB＝1，AC＝，，则∠B＝（）A．B．或C．D．或解：

由c＝AB＝1，b＝AC＝，，c＜b，则C＜B，根据正弦定理得：sinB＝＝，∵∠B为三角形的内角，∴∠B＝或，故选：D．5．已知平面向量，满足•（+）＝3，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为（）

A．B．C．D．解：∵＝2，∴＝4又∵•（+）＝3，∴+•＝4+•＝3，得•＝﹣1，设与的夹角为α，则•＝cosα＝﹣1，即2×1×cosα＝﹣1，得cosα＝﹣∵α∈[0，π]，∴α＝故选：C．6．将函数的图象向左平移个单位长

度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝（）A．B．C．cos2xD．﹣cos2x解：函数的图象向左平移个单位长度后，可得y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+）＝cos2x；故选：C．7．在△ABC中，已知atanB＝btanA，则此三角形是（）A．等腰三角形B

．直角三角形C．等边三角形D．直角或等腰三角形解：在△ABC中，∵atanB＝btanA，∴＝，可得：asinBcosA＝bsinAcosB，∴由正弦定理可得：abcosA＝abcosB，即：cosA＝cosB，∵A，B∈（0，π），y＝cosx在（0，π）单调递减，∴A＝B

，即三角形为等腰三角形．故选：A．8．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．

当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB

的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A．B．C．D．解：由题可知：∠BAD＝73.5°﹣26.5°＝47°，在△BAD中，由正弦定理可知：，即，则，又在△ACD中，，所以，故选：D．9．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是

“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：点A，B，C不共线，＝，∴，当与的夹角为锐角时，＝＞0，∴“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，“|+|＞||”⇒“与的夹角

为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的充分必要条件．故选：C．10．在平行四边形ABCD中，∠A＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则•的最大值为（）A．2B．4C．5D．6解：设＝＝k≥0，建

立如图所示的坐标系．A（0，0），B（2，0），D，C，由，，可得＝+k＝，同理可得＝，∴•＝+＝﹣k2﹣2k+5＝﹣（k+1）2+6，∵k≥0，∴•的最大值是5，当且仅当M、N与点C重合时取得最大值．故选：C．二、填空题共5小题，每小

题4分，共20分。11．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为．解：∵＝＝为纯虚数，∴，解得a＝．故答案为：．12．已知向量＝（1，），＝（，1），则|+|为2．解：根据题意，向量＝（1，），＝（，1），则+＝（4，2），则|+|＝＝2，故

答案为：2．13．已知，则的值为解：由于，所以，，所以＝＝，，故．故答案为：．14．已知函数f（x）＝cos2x﹣2cosx（x∈R），则＝﹣；f（x）的最大值为3解：∵f（x）＝cos2x﹣2cosx＝2cos2x﹣2cosx﹣1＝2（cosx﹣

）2﹣，∴＝﹣，当cosx＝﹣1时，f（x）取得最大值3，故答案为：﹣；3．15．已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x＝（ii）若△ABC是锐角三角

形，则x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（，2）．解：（i）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴＝（﹣2﹣x，﹣1），＝（2﹣x，﹣1），∵∠ACB是直角，∴＝（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣1）（﹣1）＝x2﹣3＝0，解得x＝．（ii）∵△ABC中，点A

（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴＝（﹣2﹣x，﹣1），＝（2﹣x，﹣1），＝（x+2，1），＝（4，0），＝（x﹣2，1），＝（﹣4，0），∵△ABC是锐角三角形，∴，解得﹣2＜x＜﹣或x＞2．∴x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（，2）．故答案为：，（﹣2，﹣）∪（

，2）．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值，并求出此时对应的x的值．解：（1）∵f（x）＝sin2x+s

inxcosx＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）+，∴f（x）的最小正周期T＝π；（2）∵x∈，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝，即x＝时，f（x）取得最大值．17．在△ABC中，acosB＝bsinA．（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）若b＝2，c＝

2a，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，因为，所以，因为sinA≠0，所以，所以tanB＝，因为0＜B＜π，所以，（Ⅱ）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，所以a＝，c＝，所以．18．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c

，＝（1，1﹣sinB），＝（cosB，1）且⊥，（1）求角B；（2）若a+c＝b，判断△ABC的形状．解：（1）∵⊥，∴•＝0即有∴B∈（0，π）∴∴，∴（2）∵，∴∵，∴得∴∴∴当时，此时C＝，△ABC为直角三角形；当时，△ABC

为直角三角形．19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，时．（1）若a＝7，求c；（2）记．（ⅰ）当k为何值时，使得△ABC有解；（写出满足条件的所有k的值）（ⅱ）当k为何值时，△ABC为直角三角形；（ⅲ）直接写出一个满足条件的k值，使得△ABC有两解．

解：（1）若a＝7，b＝5，A＝，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即49＝25+c2﹣2×5c×，整理可得：c2﹣5c﹣24＝0，又c＞0解得：c＝8；（2），可得c＝ka，（i）由正弦定理，因为，所以sinC∈（0，1]，故．（ii）若∠B为直角，则，所以；若∠C为直角

，则，所以；故k的值为或．（iii）结合图象，当B点在线段AB1，B1B2（不含端点）时，即当时，△ABC有两解，此时．故可取．