【文档说明】河南省南阳市第一中学2020届高三第九次考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.556 MB，由小赞的店铺上传

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南阳市一中2020年春期高三第九次考试数学（理）试题第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合32,ln0Ax

xBxx=−=，则AB=（）A.3,2,1,0,1−−−B.1,2C.31xx−D.12xx【答案】D【解析】【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.【详解】由ln0x得1x，所以|1Bxx=，{|12}ABxx=，故选D.【点睛】该题考查的是

有关集合的运算，属于简单题目.2.已知复数134zi=+，则下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的虚部为425iC.复数z的共轭复数为342525i+D.复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】1343434252525

izii−===−+，所以z的实部为325，虚部为425−，z的共轭复数为342525i+，模为2234125255+=，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.3.椭圆221916xy+=的一个焦点坐标为（）A.(5,0)B.(0,5)C.()

7,0D.()0,7【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的椭圆的方程，可得,ab的值，并且可以判断焦点所在轴，从而求得椭圆的焦点的坐标.【详解】因为4,3ab==，所以c7=，故椭圆22+1916xy=的上焦点的坐标是()0,7，故选D.【点睛】该题考查的是有关椭圆

的性质，属于简单题目.4.已知410.4mog=，0.44n＝，0.50.4p=，则（）A.mnpB.mpnC.pmnD.npm【答案】B【解析】【分析】根据中间值比较法进行比较，利用对函数函数、指数函数的单调性，对数式与零进行比较，指

数式与1进行比较，这样可以判断出大小关系.【详解】因为4410.4110mogog==，0.40441n＝=，0.500.4100.4p==，所以mpn.故选：B【点睛】本题考查了对数式和

指数式比较大小，考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了中间值比较法，属于基础题.5.曲线32()xyxxe=+在1x=处的切线方程为（）A.75yexe=−B.79yexe=+C.35yexe=+D.35yexe=−【

答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，之后应用点斜式写出切线方程，化简得结果.【详解】()()23232xxyxxexxe+=++，所以1|7xye==，又1x=时，2ye=，所以所求切线方程为()271yeex−=−，即75

yexe=−，故选A.【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求导公式，属于简单题目6.设等差数列na的前n项和为nS，若41511,15aS==，则2a=（）A.18B.16C.14D.12【答案】B【解析】【分析】利用等差

数列求和公式以及等差数列的性质，可以求得81a=，结合411a=，求得公差111542d−==−，从而求得2a的值.【详解】因为()1151581515152aaSa+===，所以81a=，又411a=，所以公差111542d−==−，所以24211516aad=−=+=．

【点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的性质，通项公式基本量的计算，属于简单题目.7.要得到函数2sin3yx=−的图象，只需将函数sin3cos3yxx=+的

图象（）A.向右平移34个单位长度B.向右平移2个单位长度C.向左平移个4单位长度D.向左平移个2单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.【详解】因为sin3cos32sin34yxxx

=+=+，所以将其图象向左平移4个单位长度，可得()2sin32sin32sin344yxxx=++=+=−，故选C.【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.8.若5

个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，其余3人都不在自己原来的位置，②分析剩余的3人都不在自己原来位置的站法数目，由分步

计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有2510C=种选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在

第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故不同的调换方法有10220=种.而基本事件总数为55120A=,所以所求概率为2011206=，故选C.【点睛】该题考查的是有关古典概型求概率的问题，涉及到的知识点有

分步计数原理，排列组合的综合应用，古典概型概率求解公式，属于简单题目.9.定义在R上的奇函数()fx满足，当0x时，()xxfxee−=−，则不等式()()2230fxxf−−的解集为（）A.(-1,3)B.(-3,1)C.()(),13,−

−+D.()(),31,−−+【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知当xR时，()1xxfxee=−，从而利用导数的符号判断得出函数()fx是R上的单调递增函数，所以得到()()223fxxf−，利用函数的单调性得到2230xx−−，解不等式求得结果.【详解

】由题意可知，当xR时，()1xxfxee=−，所以()10xxfxee=+，()fx是R上的单调递增函数，故由()()2230fxxf−−，得()()223fxxf−，即2230xx−−，解得13x-<<，故选A.【点

睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有奇函数的解析式的求解，函数的单调性的判断与应用，属于简单题目.10.过原点O作直线()():2220lmnxmnymn++−−+=的垂线，垂足为P，则P到直线30

xy−+=的距离的最大值为（）A.21+B.22+C.221+D.222+【答案】A【解析】【分析】将直线l：()()2220mnxmnymn++−−+=化为()()2220xymxyn+−+−−=，可得直线l经过定点()

0,2Q，从而可以判断得出P的轨迹是以OQ为直径的圆，圆心为()0,1，半径为1，利用点到直线的距离公式，可得点P到直线30xy−+=的距离的最大值为21+.【详解】()()2220mnxmnymn++−−+=整理得()()2220x

ymxyn+−+−−=，由题意得22020xyxy+−=−−=，解得02xy==，所以直线l过定点()0,2Q.因为OPl⊥，所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆，圆心为()0,1，半径为1，因为圆心()0,1到直线30xy−+=的距离为222d==，所以P到直线30xy−+

=的距离的最大值为21+.【点睛】该题考查的是有关动点到直线的距离的最值问题，涉及到的知识点有动直线过定点问题，动点的轨迹，圆上的点到直线的距离的最值，点到直线的距离公式，属于简单题目.11.已知圆锥

的母线长l为4，侧面积为S，体积为V，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为（）A.22B.32C.62D.82【答案】D【解析】【分析】设底面半径为r，高为h，利用题的条件，可得22224=16rhl+==，之后应用公式表示出,VS，利用基本不等式得出VS取得最大值时对应的条件，得出答案

.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，则22224=16rhl+==，所以2221111623121221223rhVrhrhSrl+====，当且仅当22rh==时取等号.此时侧面积为12224822=.【点睛】该题考查的是有关圆

锥的问题，涉及到的知识点有圆锥的性质，母线、高、底面圆的半径之间的关系，圆锥的体积与侧面积公式，基本不等式，属于简单题目.12.已知点A是双曲线()222210,0xyabab−=的右顶点，若存在过点

()3,0Na的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得AMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（）A.存在最大值324B.存在最大值233C.存在最小值324D.存在最小值233【答案】B【解析】【分析】根据题意，写出其右顶点的坐标(),0Aa，写出双曲线的渐近线方程

，取byxa=，设出点M的坐标,bMmma，从而得到,bAMmama=−，3,bNMmama=−，根据题意可得0AMNM=，从而得到()()230bmamama−−+=，进一步整理得22221430bmamaa

+−+=，根据方程有解，利用判别式大于等于零，求得223ab，进一步求得其离心率的范围，得到结果.【详解】双曲线22221(0,0)xyabab−=的右顶点(),0Aa，双曲线的渐近线方程为byxa=，不妨取byxa=，设,bMmma

，则,bAMmama=−，3,bNMmama=−.若存在过()3,0Na的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得AMN是以M为直角顶点的直角三角形，则0AMNM=，即()()230bmamama−−+=，整理可得22221430bmam

aa+−+=，由题意可知此方程必有解，则判别式2222161210baaa=−+，得223ab，即22233aca−，解得2313cea=，所以离心率存在最大值233，故选B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的性质的问题，

涉及到的知识点有双曲线的渐近线，向量的坐标公式，向量垂直的条件，方程有解的条件，双曲线的离心率，属于简单题目.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上.13.已知向

量()()2,3,1,abm==−，且a与ab+垂直，则m=______.【答案】113−【解析】【分析】根据题意，可求得()1,3abm+=+，由于a与ab+垂直，结合向量数量积坐标公式可得()2330m++=，从而求得m的值，得

到结果.【详解】向量()2,3a=，()1,bm=−，()1,3abm+=+，a与ab+垂直，()2330m++=，解得113m=−，故答案是：113−．【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量加法坐标运算，向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于简单题目.14.已知所有项

均为正数的等比数列na的前项和为nS，若11a=，4421Sa=+，则公比q=_________.【答案】4【解析】【分析】根据题意可得321S=，设等比数列的公比为q，利用等比数列的求和公式表示出3S，得出关于q的

方程，求解即可得到q的值.【详解】由题意得4421Sa−=，所以321S=，又11,a=，所以331211qSq−==−，解得4q=或5q=−（舍），所以4q=，故答案是：4.【点睛】该题考查的是有关数列的问

题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，属于简单题目.15.二项式72()3xx−的展开式中，4x的系数为__________.【答案】283【解析】【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数等于4，求得r的值，得到结果.【

详解】723xx−展开式的通项公式为1377221772233rrrrrrrTCxxCx−−−+=−=−，令3742r−=，解得2r=，故所求系数为22722833C−=，故答案是：283.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及

到的知识点有二项展开式中指定项的系数的问题，二项展开式的通项，属于简单题目.16.已知角3(,),(0,)22，且满足1sintancos+=，则=______.(用表示)【答案】522−【解析】【分析】化切为弦，整理后得到()sincos

−=，利用诱导公式可得()sinsin2−=−，结合题中所给的角的范围，最后确定出522=−，从而得到结果.【详解】由1sintancos+=得sin1sincoscos+=，所以()sincoscos1s

in=+，即()sincos−=.结合诱导公式得()sinsin2−=−.因为3,,0,22，所以3,,,222−−−−.由诱导公式可得()sinsin22

−=+−，易知32,22+−，因为sinyx=在3,22上单调递减，所以22−=+−，即522=

−.法二：由1sintancos+=得sincostan1222tantan24cossin1tan222++===+−−，所以tantan24=+.因为3,,0,22，所

以,2442+.由诱导公式可得()tantan−=，即()tantan24−=+因为tanyx=在0,2上单调递增，所以24−=+，即522=−.【点

睛】该题考查的是有关三角函数恒等变换的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦差角公式，诱导公式，属于简单题目.三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且222coscossinsinsin.CBAAC−=−（1）求

角B的大小；（2）若ABC的面积为33,13b=，求ac+的值.【答案】（1）3；（2）7【解析】【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理可将已知关系式化为222acbac+−=；利用余弦定理可求得cosB，从而得到B；（2）利用三角形面积公式可求得ac；利用余弦定理可构造关于ac+的方程，

解方程求得结果.【详解】（1）2222222ccos1sin1sinsinsiosnsinsinsinCBCBBCAAC−=−−+=−=−由正弦定理得：222bcaac−=−，即222acbac+−=2221cos

22acbBac+−==()0,B3B=（2）113sinsin332234SacBacac====12ac=由余弦定理可得：()()222222cos22cos36133bacacBacacacac=+−=+−−=+−=即()249a

c+=7ac+=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于常规题型.18.如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，1//,,,2EDFBDEBFABFBFB==⊥平面ABCD.(1)设BD与AC的交点为O，求证:OE⊥平

面ACF；(2)求二面角EAFC−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析；(2)63．【解析】【分析】（1）根据题意，推导出ED⊥面ABCD，DEAC⊥，OEOF⊥，结合线面垂直的判定定理证得OE⊥面ACF；（2）以D为原点，DA，DC，D

E方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果.【详解】(1)证明：由题意可知：ED⊥面ABCD，从而RtEDARtEDC，EAEC=，又O为AC中点，DEAC⊥，在EOF中，3,6,

3OEOFEF===，222OEOFEF+=，OEOF⊥又ACOFO=，OE⊥面ACF．（2）ED⊥面ABCD，且DADC⊥，如图以D为原点，DA，DC，DE方向建立空间直角坐标系，从而(0E，0，1)，(2A，0，0)，(0C，2，0)，(2F，2，2)，(1O，1，

0)由（1）可知(1EO=，1，1)−是面AFC的一个法向量，设(nx=，y，)z为面AEF的一个法向量，由·220·20AFnyzAEnxz=+==−+=，令1x=得(1n=，2−，2)，设为二面角EAFC−−的平面角

，则·3coscos,3·EOnEOnEOn===，6sin3=．二面EAFC−−角的正弦值为63．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，同角三角

函数关系式，属于简单题目.19.已知椭圆22221(0)xyabab+=的离心率32e=，且经过点1(3,)2，A，B，C，D为椭圆的四个顶点（如图），直线l过右顶点A且垂直于x轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）P为l上一点（x轴上方），直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若2

PCDPEFSS=，求点P的坐标．【答案】（1）2214xy+=（2）(2,2)【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率和经过的点13,2，列方程组求解即可．（2）设P（2，m），m＞0，得直线PC方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出E

的坐标，同理求F点横坐标，由S△PCD＝2S△PEF，转化求解即可．【详解】（1）因22221(0)xyabab+=的离心率32e=，且经过点13,2，所以()2223,2311,4caab=+=解得24a=，21b=．所以椭圆标准方

程为2214xy+=．（2）由（1）知椭圆方程为2214xy+=，所以直线l方程为2x=，()0,1C，()0,1D−．设()2,Pm，0m，则直线PC的方程为112myx−=+，联立方程组2211,21,4myxxy−=++=消y得()()2222410mm

xmx−++−=，所以E点的横坐标为()24122Emxmm−−=−+；又直线PD的方程为112myx+=−联立方程组2211,21,4myxxy+=−+=消y得()()2222410mmxmx++−+=，所以F点的横坐标为()2412

2Fmxmm+=++．由2PCDPEFSS=得11sin2sin22PCPDDPCPEPFEPF=，则有2PCPDPEPF=，则()()22202024141222222mmmmmm−

−=−++−−+++，化简得4442mm+=，解得22m=，因为0m，所以2m=，所以点P的坐标为()2,2．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用.20.设函数()ln(1)fxx=+，()()gxxfx

=，0x，其中()fx是()fx的导函数.（1）若()()fxagx恒成立，求实数a的取值范围；（2）设*Nn，比较(1)(2)()gggn+++与()nfn−的大小，并说明理由.【答案】（1）(,1−；（2）(1)(2)()gggn+++()nfn−，理由见解析.【解析】【分析

】（1）不等式()()fxagx恒成立等价于ln(1)1axxx++恒成立，再构造函数()ln(1)1axxxx=+−+(0)x，利用导数求最值即可得解.（2）利用分析法可得要比较(1)(2)()gggn+++与()nfn−的大小，则只需比较111231n++++L与ln(

1)n+的大小，再结合（1）可得11ln1nnn++，再不等式左右两边分别取值累加求和即可.【详解】解：（1）由题意有'1()1fxx=+，由已知()()fxagx恒成立，即ln(1)1axxx++恒成立.设()ln(1)1axxx

x=+−+(0)x，则2211()1(1)(1)axaxxxx+−=−=+++，当1a时，()0x仅当0x=，1a=时等号成立，()x在)0,+上单调递减，又(0)0=，()0x在)0,+上恒成立，1a

时，ln(1)1axxx++恒成立（仅当0x=时等号成立）.当1a时，对(0,1]xa−有()0x，()x在(0,1]a−上单调递增，(1)(0)0a−=，即1a时，存在0x，使()0x，故知ln(1)1axxx++不恒成立.综上可知，a的

取值范围是(,1−.（2）由题设知12(1)(2)()231ngggnn+++=++++，()ln(1)nfnnn−=−+，要比较(1)(2)()gggn+++与()nfn−的大小，则只需比较111231n++++L

与ln(1)n+的大小.在（1）中取1a=，可得ln(1)1xxx++，0x.令1xn=，Nn，则11ln1nnn++.由累加法可得111ln(1)231nn+++++，即(1)(2)()g

ggn+++()nfn−.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，重点考查了运算能力，属中档题.21.某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件

能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.(1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望;(3)为提高G系统正常工作概率，在系统

内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C可以正常工作，问:p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率?【答案】(1)12；(2)见解析；(3)当112p时，可以提高整个G系统的正常工作

概率.【解析】【分析】（1）由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率；（2）设X为维修维修的系统的个数，根据题意可得13,2XB，从而得到500

X=，利用公式写出分布列，并求得期望；（3）根据题意，当系统G有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.【详解】（1）系统不需要维修的概率为23233311112222CC

+=.（2）设X为维修维修的系统的个数，则13,2XB，且500X=，所以()()3311500,0,1,2,322kkkPkPXkCk−=====.所以的分布列为050010001

500P18383818所以的期望为()150037502E==.（3）当系统G有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G系统的才正常工作.若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必

须都正常工作，则概率为21223113228Cpp=；若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为()()2221222323111131222228CCppCppp

−+=−；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为3331128C=.所以新增两个元件后系统G能正常工作的概

率为()2233131288848pppp+−+=+，于是由()3113214828pp+−=−知，当210p−时，即112p时，可以提高整个G系统的正常工作概率.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与

期望，概率加法公式，属于中档题目.请考生从第22、23题中任选一题做答，并在答题卡上填写所选题目的题号；多选、多答，按所选的首题进行评分；不填题号，按本选考题的首题进行评分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知平面直角坐标系中，曲

线1C的参数方程为2cos1cos2xy==+(为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为()3=R.(1)求曲线2C的直角坐标方程；(2)求曲线1C与曲线2C交点的直角坐标.【答案】(1)3yx=；(2)()0,

0.【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标的转换关系求得结果；（2）将曲线的参数方程化为普通方程，与直线方程联立，求得方程组的解，结合对应的坐标的范围，求得对应的交点的坐标，得到结果.【详解】（1）依题意，曲线2C的直角坐标方程为3yx=.（2）因为曲线1C的参

数方程为2,12,xcosycos==+（为参数），所以曲线1C的直角坐标方程为()212,22yxx=−，联立23,1,2yxyx==解方程组得0,0,xy==或23,6,x

y==根据x的范围应舍去23,6,xy==故交点的直角坐标为()0,0.【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，平面直角坐标方程与极坐标方程的互化，曲线交点的坐标的求解，属于简单题目.选修4-

5：不等式选讲23.已知函数()124fxxx=−++.(1)求不等式()6fx的解集；(2)若()10fxm−−恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)()(),31,−−+；(2)2,4−.【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解

集即可；（2）通过求函数()fx的最小值，将恒成立问题转化为最值问题，得到关于m的不等关系，从而求得结果.【详解】（1）依题意，1246xx−++，当2x−时，原式化为1246xx−−−，解得3x−，故3x

−；当21x−时，原式化为1246xx−++，解得1x，故无解；当1x时，原式化为1246xx−++，解得1x，故1x；综上所述，不等式()6fx的解集为()(),31,−−+；（

2）因为()124122123fxxxxxxxx=−++=−++++−++，当且仅当2x=−时，等号成立.故()10fxm−−恒成立等价于13m−；即313m−−，解得24m−，故实数m的取值范围为2,4−.【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有零点

分段法解绝对值不等式，恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.