【文档说明】河南省南阳市第一中学2020届高三第九次考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.556 MB，由小赞的店铺上传

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南阳市一中2020年春期高三第九次考试数学（理）试题第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合32,ln0AxxBxx=−

=，则AB=（）A.3,2,1,0,1−−−B.1,2C.31xx−D.12xx【答案】D【解析】【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.【详解】由ln0x得1x，所以|1Bxx=，{|12}ABxx=，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于

简单题目.2.已知复数134zi=+，则下列说法正确的是（）A.复数z的实部为3B.复数z的虚部为425iC.复数z的共轭复数为342525i+D.复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【

详解】1343434252525izii−===−+，所以z的实部为325，虚部为425−，z的共轭复数为342525i+，模为2234125255+=，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.3.椭圆221916xy+=的一个焦点坐标为（

）A.(5,0)B.(0,5)C.()7,0D.()0,7【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的椭圆的方程，可得,ab的值，并且可以判断焦点所在轴，从而求得椭圆的焦点的坐标.【详解】因为4,3ab==，所以c7=，故椭圆22+

1916xy=的上焦点的坐标是()0,7，故选D.【点睛】该题考查的是有关椭圆的性质，属于简单题目.4.已知410.4mog=，0.44n＝，0.50.4p=，则（）A.mnpB.mpnC.pmnD.npm【答案】B【解析】【分析】根据

中间值比较法进行比较，利用对函数函数、指数函数的单调性，对数式与零进行比较，指数式与1进行比较，这样可以判断出大小关系.【详解】因为4410.4110mogog==，0.40441n＝=，0.500.4100.4p==，所以mpn.故选：B【点睛】本题考查了对数式和指数式比较大

小，考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了中间值比较法，属于基础题.5.曲线32()xyxxe=+在1x=处的切线方程为（）A.75yexe=−B.79yexe=+C.35yexe=+D.35yexe=−【答案】A【解析】【分析】求出

函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，之后应用点斜式写出切线方程，化简得结果.【详解】()()23232xxyxxexxe+=++，所以1|7xye==，又1x=时，2ye=，所以所求切线方程为()271yeex−=−，即75yexe=−，故选A.【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的

切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求导公式，属于简单题目6.设等差数列na的前n项和为nS，若41511,15aS==，则2a=（）A.18B.16C.14D.12【答案】B【解析】【分析】利用等差数列求和公式以及等差数列的性

质，可以求得81a=，结合411a=，求得公差111542d−==−，从而求得2a的值.【详解】因为()1151581515152aaSa+===，所以81a=，又411a=，所以公差111542d−==−，所以

24211516aad=−=+=．【点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的性质，通项公式基本量的计算，属于简单题目.7.要得到函数2sin3yx=−的图象，只需将函数sin3cos3yxx=+的图象（）A.向右平

移34个单位长度B.向右平移2个单位长度C.向左平移个4单位长度D.向左平移个2单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.【详解】因为sin3cos32sin34yxxx=+=+，所以将其图象向左平移4个单位长度，可得()2

sin32sin32sin344yxxx=++=+=−，故选C.【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（）A.1

2B.14C.16D.18【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，其余3人都不在自己原来的位置，②分析剩余的3人都不在自己原来位置的站法数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有251

0C=种选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故不同的调换方法有10220=种.而基本事件总数为55120A=,所以所求概率为2011206=，故选C.【点睛】

该题考查的是有关古典概型求概率的问题，涉及到的知识点有分步计数原理，排列组合的综合应用，古典概型概率求解公式，属于简单题目.9.定义在R上的奇函数()fx满足，当0x时，()xxfxee−=−，则不等式()()2230fxxf−−的解集为（）A.(-1,3)B.(-

3,1)C.()(),13,−−+D.()(),31,−−+【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知当xR时，()1xxfxee=−，从而利用导数的符号判断得出函数()fx是R上的单调递增函数，所

以得到()()223fxxf−，利用函数的单调性得到2230xx−−，解不等式求得结果.【详解】由题意可知，当xR时，()1xxfxee=−，所以()10xxfxee=+，()fx是R上的单调递增函数，

故由()()2230fxxf−−，得()()223fxxf−，即2230xx−−，解得13x-<<，故选A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有奇函数的解析式的求解，函数的单调性的判断与应用，属于

简单题目.10.过原点O作直线()():2220lmnxmnymn++−−+=的垂线，垂足为P，则P到直线30xy−+=的距离的最大值为（）A.21+B.22+C.221+D.222+【答案】A【解析】【分析】将直线l：()()222

0mnxmnymn++−−+=化为()()2220xymxyn+−+−−=，可得直线l经过定点()0,2Q，从而可以判断得出P的轨迹是以OQ为直径的圆，圆心为()0,1，半径为1，利用点到直线的距离公式，可得点P到

直线30xy−+=的距离的最大值为21+.【详解】()()2220mnxmnymn++−−+=整理得()()2220xymxyn+−+−−=，由题意得22020xyxy+−=−−=，解得02xy=

=，所以直线l过定点()0,2Q.因为OPl⊥，所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆，圆心为()0,1，半径为1，因为圆心()0,1到直线30xy−+=的距离为222d==，所以P到直线30xy−+=的距离的最大值为21+.【点睛】该题考查的是有关动

点到直线的距离的最值问题，涉及到的知识点有动直线过定点问题，动点的轨迹，圆上的点到直线的距离的最值，点到直线的距离公式，属于简单题目.11.已知圆锥的母线长l为4，侧面积为S，体积为V，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为（）A.22B.32C.62D.8

2【答案】D【解析】【分析】设底面半径为r，高为h，利用题的条件，可得22224=16rhl+==，之后应用公式表示出,VS，利用基本不等式得出VS取得最大值时对应的条件，得出答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为

h，则22224=16rhl+==，所以2221111623121221223rhVrhrhSrl+====，当且仅当22rh==时取等号.此时侧面积为12224822=.【点睛】该题考查的是有关圆锥的问题，涉及到的知识点有圆锥的性

质，母线、高、底面圆的半径之间的关系，圆锥的体积与侧面积公式，基本不等式，属于简单题目.12.已知点A是双曲线()222210,0xyabab−=的右顶点，若存在过点()3,0Na的直线与双曲线的渐近

线交于一点M，使得AMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（）A.存在最大值324B.存在最大值233C.存在最小值324D.存在最小值233【答案】B【解析】【分析】根据题意，写出其右顶点的坐标

(),0Aa，写出双曲线的渐近线方程，取byxa=，设出点M的坐标,bMmma，从而得到,bAMmama=−，3,bNMmama=−，根据题意可得0AMNM=，从而得到()()230bmamama−−+=，进一步整理得222214

30bmamaa+−+=，根据方程有解，利用判别式大于等于零，求得223ab，进一步求得其离心率的范围，得到结果.【详解】双曲线22221(0,0)xyabab−=的右顶点(),0Aa，双曲线的渐近线方程为byxa=，不妨取byxa=，设,bMmma，则,

bAMmama=−，3,bNMmama=−.若存在过()3,0Na的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得AMN是以M为直角顶点的直角三角形，则0AMNM=，即()()230bmamama−−+=，整理可得22221430bmamaa+−+

=，由题意可知此方程必有解，则判别式2222161210baaa=−+，得223ab，即22233aca−，解得2313cea=，所以离心率存在最大值233，故选B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的性质的问题，涉及到的知识点有双曲线

的渐近线，向量的坐标公式，向量垂直的条件，方程有解的条件，双曲线的离心率，属于简单题目.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上.13.已知向量()()2,3,1,abm==−，

且a与ab+垂直，则m=______.【答案】113−【解析】【分析】根据题意，可求得()1,3abm+=+，由于a与ab+垂直，结合向量数量积坐标公式可得()2330m++=，从而求得m的值，得到结果.【详解】向量()2,3a=，()1,bm=−

，()1,3abm+=+，a与ab+垂直，()2330m++=，解得113m=−，故答案是：113−．【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量加法坐标运算，向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于

简单题目.14.已知所有项均为正数的等比数列na的前项和为nS，若11a=，4421Sa=+，则公比q=_________.【答案】4【解析】【分析】根据题意可得321S=，设等比数列的公比为q，利用等比数列的求和公式表示出3S，得出关于q的方程

，求解即可得到q的值.【详解】由题意得4421Sa−=，所以321S=，又11,a=，所以331211qSq−==−，解得4q=或5q=−（舍），所以4q=，故答案是：4.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，属于简单题目.1

5.二项式72()3xx−的展开式中，4x的系数为__________.【答案】283【解析】【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数等于4，求得r的值，得到结果.【详解】723xx−展开式的通项公式为137

7221772233rrrrrrrTCxxCx−−−+=−=−，令3742r−=，解得2r=，故所求系数为22722833C−=，故答案是：283.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中指

定项的系数的问题，二项展开式的通项，属于简单题目.16.已知角3(,),(0,)22，且满足1sintancos+=，则=______.(用表示)【答案】522−【解析】【分析】化切为弦，整理后得到()sincos−=，利用

诱导公式可得()sinsin2−=−，结合题中所给的角的范围，最后确定出522=−，从而得到结果.【详解】由1sintancos+=得sin1sincoscos+=，所以()s

incoscos1sin=+，即()sincos−=.结合诱导公式得()sinsin2−=−.因为3,,0,22，所以3,,,222−−−−.由

诱导公式可得()sinsin22−=+−，易知32,22+−，因为sinyx=在3,22上单调递减，所以22−=+−

，即522=−.法二：由1sintancos+=得sincostan1222tantan24cossin1tan222++===+−−，所以tantan24=+.

因为3,,0,22，所以,2442+.由诱导公式可得()tantan−=，即()tantan24−=+因为tanyx=

在0,2上单调递增，所以24−=+，即522=−.【点睛】该题考查的是有关三角函数恒等变换的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦差角公式，诱导公式，属于简单题目.三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.在ABC中，内角,,ABC所

对的边分别为,,abc，且222coscossinsinsin.CBAAC−=−（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为33,13b=，求ac+的值.【答案】（1）3；（2）7【解析】【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定

理可将已知关系式化为222acbac+−=；利用余弦定理可求得cosB，从而得到B；（2）利用三角形面积公式可求得ac；利用余弦定理可构造关于ac+的方程，解方程求得结果.【详解】（1）2222222ccos1sin1sinsinsiosnsinsinsi

nCBCBBCAAC−=−−+=−=−由正弦定理得：222bcaac−=−，即222acbac+−=2221cos22acbBac+−==()0,B3B=（2）113sinsin332234SacBacac====12ac

=由余弦定理可得：()()222222cos22cos36133bacacBacacacac=+−=+−−=+−=即()249ac+=7ac+=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于常规题型.18.如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为

2的正方形，1//,,,2EDFBDEBFABFBFB==⊥平面ABCD.(1)设BD与AC的交点为O，求证:OE⊥平面ACF；(2)求二面角EAFC−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析；(2)63．【解析】【分析】（1）根据题意

，推导出ED⊥面ABCD，DEAC⊥，OEOF⊥，结合线面垂直的判定定理证得OE⊥面ACF；（2）以D为原点，DA，DC，DE方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值

，得到结果.【详解】(1)证明：由题意可知：ED⊥面ABCD，从而RtEDARtEDC，EAEC=，又O为AC中点，DEAC⊥，在EOF中，3,6,3OEOFEF===，222OEOFEF+=，OEOF⊥又ACOFO=，OE⊥面ACF．（2）ED⊥面ABCD，且DADC⊥，如

图以D为原点，DA，DC，DE方向建立空间直角坐标系，从而(0E，0，1)，(2A，0，0)，(0C，2，0)，(2F，2，2)，(1O，1，0)由（1）可知(1EO=，1，1)−是面AFC的一个法向量，设(nx=，y，)z

为面AEF的一个法向量，由·220·20AFnyzAEnxz=+==−+=，令1x=得(1n=，2−，2)，设为二面角EAFC−−的平面角，则·3coscos,3·EOnEOnEOn===，6sin3=．二面EAFC−−角的正弦值为63．【点睛】该

题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，同角三角函数关系式，属于简单题目.19.已知椭圆22221(0)xyabab+=的离心率32e=，且经过点1(3,)2，A，B，C，D为椭圆的四个顶点（如图），直线l过右顶点A且垂直

于x轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）P为l上一点（x轴上方），直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若2PCDPEFSS=，求点P的坐标．【答案】（1）2214xy+=（2）(2,2)【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率和经过的点13,2

，列方程组求解即可．（2）设P（2，m），m＞0，得直线PC方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出E的坐标，同理求F点横坐标，由S△PCD＝2S△PEF，转化求解即可．【详解】（1）因22221(0)xyabab+=的

离心率32e=，且经过点13,2，所以()2223,2311,4caab=+=解得24a=，21b=．所以椭圆标准方程为2214xy+=．（2）由（1）知椭圆方程为2214xy+=，所以直线l方

程为2x=，()0,1C，()0,1D−．设()2,Pm，0m，则直线PC的方程为112myx−=+，联立方程组2211,21,4myxxy−=++=消y得()()2222410mmxmx−++−=，所以E点的横坐标为()24122Emxmm−−=−+；又直线PD的方程为112m

yx+=−联立方程组2211,21,4myxxy+=−+=消y得()()2222410mmxmx++−+=，所以F点的横坐标为()24122Fmxmm+=++．由2PCDPEFSS=得11sin2sin22PC

PDDPCPEPFEPF=，则有2PCPDPEPF=，则()()22202024141222222mmmmmm−−=−++−−+++，化简得4442mm+=，解得22m=，因为0m，所以2m=，所以点P的坐标为()2,2．【点

睛】本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用.20.设函数()ln(1)fxx=+，()()gxxfx=，0x，其中()fx是()fx的导函数.（1）若()()fxagx恒成立，求实数a的取值

范围；（2）设*Nn，比较(1)(2)()gggn+++与()nfn−的大小，并说明理由.【答案】（1）(,1−；（2）(1)(2)()gggn+++()nfn−，理由见解析.【解析】【分析】（1）不等式(

)()fxagx恒成立等价于ln(1)1axxx++恒成立，再构造函数()ln(1)1axxxx=+−+(0)x，利用导数求最值即可得解.（2）利用分析法可得要比较(1)(2)()gggn+++与()nf

n−的大小，则只需比较111231n++++L与ln(1)n+的大小，再结合（1）可得11ln1nnn++，再不等式左右两边分别取值累加求和即可.【详解】解：（1）由题意有'1()1fxx=+，由已知()()fxagx恒成立，即ln(1)1axx

x++恒成立.设()ln(1)1axxxx=+−+(0)x，则2211()1(1)(1)axaxxxx+−=−=+++，当1a时，()0x仅当0x=，1a=时等号成立，()x在)0,+

上单调递减，又(0)0=，()0x在)0,+上恒成立，1a时，ln(1)1axxx++恒成立（仅当0x=时等号成立）.当1a时，对(0,1]xa−有()0x，()x在(0,1]a−上单调递增，(1)(0)0a−=，即1a时，存在0x

，使()0x，故知ln(1)1axxx++不恒成立.综上可知，a的取值范围是(,1−.（2）由题设知12(1)(2)()231ngggnn+++=++++，()ln(1)nfnnn−=−+，要比较

(1)(2)()gggn+++与()nfn−的大小，则只需比较111231n++++L与ln(1)n+的大小.在（1）中取1a=，可得ln(1)1xxx++，0x.令1xn=，Nn，则11ln1nn

n++.由累加法可得111ln(1)231nn+++++，即(1)(2)()gggn+++()nfn−.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，重点考查了运算能力，属中档题.21.某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一

个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.(1)求

系统不需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望;(3)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C可以正常工

作，问:p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率?【答案】(1)12；(2)见解析；(3)当112p时，可以提高整个G系统的正常工作概率.【解析】【分析】（1）由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法

公式求得系统不需要维修的概率；（2）设X为维修维修的系统的个数，根据题意可得13,2XB，从而得到500X=，利用公式写出分布列，并求得期望；（3）根据题意，当系统G有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，

求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.【详解】（1）系统不需要维修的概率为23233311112222CC+=.（2）设X为维修维修的系统的个数，则13,2XB，

且500X=，所以()()3311500,0,1,2,322kkkPkPXkCk−=====.所以的分布列为050010001500P18383818所以的期望为()150037502E==.（3）当系统G有5个电子元

件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G系统的才正常工作.若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为21223113228Cpp=；若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则

概率为()()2221222323111131222228CCppCppp−+=−；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为3331128C=.所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为

()2233131288848pppp+−+=+，于是由()3113214828pp+−=−知，当210p−时，即112p时，可以提高整个G系统的正常工作概率.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目.请考生

从第22、23题中任选一题做答，并在答题卡上填写所选题目的题号；多选、多答，按所选的首题进行评分；不填题号，按本选考题的首题进行评分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为2cos1cos2xy==+(为参数)，

以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为()3=R.(1)求曲线2C的直角坐标方程；(2)求曲线1C与曲线2C交点的直角坐标.【答案】(1)3yx=；(2)()0,0.【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标的转换关系求得结果；（2）将曲

线的参数方程化为普通方程，与直线方程联立，求得方程组的解，结合对应的坐标的范围，求得对应的交点的坐标，得到结果.【详解】（1）依题意，曲线2C的直角坐标方程为3yx=.（2）因为曲线1C的参数方程为2,12,xcosycos==+

（为参数），所以曲线1C的直角坐标方程为()212,22yxx=−，联立23,1,2yxyx==解方程组得0,0,xy==或23,6,xy==根据x的范围应舍去23,6,xy==故交点的直角坐标为()0,0

.【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，平面直角坐标方程与极坐标方程的互化，曲线交点的坐标的求解，属于简单题目.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()124fxxx=−++.(1)

求不等式()6fx的解集；(2)若()10fxm−−恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)()(),31,−−+；(2)2,4−.【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）通过求函数()fx的最小值，将恒成立问题转化为最值问题，得到关于m的不等关系

，从而求得结果.【详解】（1）依题意，1246xx−++，当2x−时，原式化为1246xx−−−，解得3x−，故3x−；当21x−时，原式化为1246xx−++，解得1x，故无解；当1x时，原式化为

1246xx−++，解得1x，故1x；综上所述，不等式()6fx的解集为()(),31,−−+；（2）因为()124122123fxxxxxxxx=−++=−++++−++，当且仅当2x=−时，等号成立.故()10fxm−−恒成立等价于13m

−；即313m−−，解得24m−，故实数m的取值范围为2,4−.【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有零点分段法解绝对值不等式，恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.