【文档说明】江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 含答案.docx，共(12)页，756.187 KB，由小赞的店铺上传

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南师附中2020~2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知O，A，B，C是平面内的四个点，满足30ACCB

+=，则OB=（）A．1233OAOC−B．2133OAOC+C．2133OAOC−D．1233OAOC+2．已知正方形ABCD的边长为3，若2DEEC=，AEBD=（）A．3B．3−C．6D．6−3．已知平面向量()2,4a=，()1,2b=−，若()caabb=−

，则实数c=（）A．42B．25C．8D．824．已知2π3−=，且1coscos3+=，则()cos+=（）A．15B．15−C．79−D．795．若3sin5=，5π3π2，则tanc

os22+=（）A．10310+B．10310−C．310310+D．310310−6．已知a为正整数，tan1lga=+，tanlga=，且π4=+，则当函数()()sin3cos0,πfa=−取最大值时，=（）A．π2B．2π3C．5π6D．4π

37．在ABC△中sinsinsincoscosABCAB+=+，则此三角形的形状为（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．如图，在平行四边形ABCD中，12DEEC=，F为BC的中点，G为线段EF上

一点，且满足79AGABmAD=+，则实数m=（）A．23B．13C．13−D．23−二、多项选择题:本大题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分．9．已知复数z1=

2+i，z2在复平面内对应的点在直线1x=上，且满足12zz是纯虚数，则（）A．212zi=−B．212zi=+C．2z的虚部为2−D．2z的虚部为210．下列四个等式中正确的是（）A．tan25tan353tan25tan353++=B．

2tan22.511tan22.5=−C．221cossiπnπ882−=D．134sin10cos10−=11．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（）A．若5a=，10

b=，π4A=，则符合条件的三角形不存在B．若coscossinbCcBaA+=，则ABC△为直角三角形C．若AB，则tantanABD．若AB，则cos2cos2BA12．已知()231sin222cosfxxx=−+，（0

）那么下列结论正确的是（）A．若()yfx=的最小正周期是π，则2=B．若()yfx=在()0,π内无零点，则106C．若()yfx=在()0,π内单调，则203D．当2=时，直线2π3x=−是函数()yfx=图像的一条对称轴三、填空题（本大题共4小题，每

小题5分，共20分）13．在复平面内，AB对应的复数是1i−，AD对应的复数是2i3−，则DB对应的复数是______．14．22cos71cos49cos71cos49++=______．1

5．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距302海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则BC______海里，cos=______．16．对于集合1

23,,,,n和常数0，定义：()()()22210200coscoscosnn−+−++−=为集合123,,,,n相对0的“余弦方差”．集合π2π,,π33相对常数0的“余弦方差”是一个常数T，则T=______．四、

解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（10分）在平面四边形ABCD中，90ADC=，45A=，2AB=，5BD=．（1）求cosADB；（2）若22CD=，求BC．18．（12分）已知平面向量()1,2a=，()3,

2b=−−．（1）若()//2cab+，且25c=，求c的坐标；（2）当k为何值时，kab+与3ab−垂直；（3）若a与ab+的夹角为锐角，求实数的取值范围．19．（12分）已知平面向量()cos,5sin2sina=+，()sin,5cos2cosb=−，且//ab．（1）

求()cos+的值；（2）若，π0,2，且1tan3=，求2+的值．20．（12分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin4sinaAbB=，()2225acabc=−−．（1）求cosA的

值；（2）求()sin2BA−的值．21．（12分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知πsin62bAc=+．（1）求角C的大小；（2）若ABC△是锐角三角形，且1b=，求ABC△面积的取值范围．22．（12分）在ABC△

中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin23coscosCAB=．（1）求tantanAB+的值；（2）求22coscosAB+的最大值．南师附中2020~2021学年度第二学期期中考试试卷高

一数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【答案】D【考点】平面向量的线性运算【解析】由题意可知，()22123333OBOAABOAAC

OAOCOAOAOC=+=+=+−=+，故答案选D．2．【答案】A【考点】平面向量是数量积运算【解析】由题意可知，在正方形ABCD中，0ABAD=，且2DEEC=，所以()()222222233333AEBDADDEADABADDEADADABDEABADA

B=+−=+−−=−=−=，故答案选A．3．【答案】D【考点】平面向量的坐标运算、模的求解【解析】由题意，()()2,41,2286ab=−=−+=，所以()()()2,461,28,8c=−−=−，所以()228882c=+−=，故答案选D．

4．【答案】C【考点】三角恒等变换构造角度或和差化积公式【解析】法一：因为1coscos3+=，且2π3−=，所以2π31coscos3+=+，即化简为131cossin223−=，则sinπ613=−，所以

()2ππ33coscos2cosπ2+=+=−+222ππ7cos212sin2sin121π136639=−−=−−−=−−=−=−，故答案选C.法二：因为1coscos3+=，

所以由和差化积公式可得12coscos223+−=，又2π3−=，所以π23−=，所以1cos22−=，所以1cos23+=，则()27cos212cos9+==−+−，故答案选C.5.【答案】B【考点】三角函数的化简求值：半角公式的应用【解析】由题

意可知，因为3sin5=，5π3π2，所以24cos1sin5=−−=−，因为5π3π422，所以sin02，cos02，所以1cos310sin2210−=−=−，1cos10cos2210+=

−=−，所以sin2tan32cos2==，则10tancos32210+=−，故答案选B.6.【答案】C【考点】两角和与差的正切公式、三角函数的图象与性质综合应用【解析】由题意，因为π4=+，所以

π4−=，所以()tan1−=，即()tantan1lglg11tantan11lglgaaaa−+−==+++，解得1a=或110a=（舍去），则()πsin3cos2sin3f=−=−，因为0,π，所以ππ2π,333−−，则

当ππ32−=，5π6=时，函数()f取得最大值，故答案选C.7.【答案】C【考点】正余弦定理的应用：判断三角形的形状【解析】法一：由题意可知，利用正弦定理可化简为coscosabcAB+=+，即coscoscAcBab+=+，由余

弦定理可得22222222bcaacbccabbcac+−+−+=+，即22222222bcaacbabcc+−+−+=+，同分化简可得3223220acababcbab−++−+=，因式分解得到()()2220abcab+−+=，因为0ab+，所以2220abc+−=，即ABC△为

直角三角形，故答案选C.法二：由题意可知，因为()πCAB=−+，所以()sinsinsinsincoscosABCABAB+=+=+，所以2sincos222sincos222coscos22ABABABABABAB+−++=+−，所以22co

s12AB+=，即()cos0AB+=，所以π2AB+=，所以π2C=，即ABC△为直角三角形，故答案选C.8.【答案】A【考点】平面向量的基本定理应用【解析】由题意可知，在平行四边形ABCD中，因为12DEEC=，F为BC的中点，所以13DEAB=，12BFAD=，则存在实数使得

()()()()11AGAEAFADDEABBF=+−=++−+()11311132222ADABABADABAD=++−+=−+−，又因为79AGABmAD=+，所以271,391,22m−==+解得23m

=，故答案选A.二、多项选择题:本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.9.【答案】BC【考点】复数的概念【解析】由题意可知，因为12iz=+，可得12iz=−，又2z在复平面内对应的点在直

线1x=上，则可设()21izbb=+R，则()()()122i1i221ibbzzb=−+=++−，因为12zz是纯虚数，所以20b+=，解得2b=−，所以212iz=−，则212iz=+，所以选项B、C正确，故答案选BC.10.【答案】AD【考点】三角恒等

变换公式应用【解析】由题意可知，对于选项A，因为()tan25tan35tan60tan253531tan25tan35+=+==−，所以tan25tan353tan25tan353++=，所以选项A正确；对于选项B，22tan22.5

tan4511tan22.5==−，所以2tan22.511tan22.52=−，所以选项B错误；对于选项C，22ππ2cossin882−=，所以选项C错误；对于选项D，()2cos601013

cos103sin102sin20411sin10cos10sin10cos10sin20sin2022+−−====，所以选项D正确；综上，答案选AD.11.【答案】ABD【考点】利用正弦余弦定理判断三角形解的个数、判断三角形的形状、三角恒等变换公式在三角形中

的应用【解析】由题意可知，对于选项A，若5a=，10b=，π4A=，则由正弦定理可得210sin2sin215bABa===，所以符合条件的三角形不存在，所以选项A正确；对于选项B，若coscossinbCcBaA+=，则由正弦定理可得，2sincos

sincossinBCCBA+=，即2sinsinAA=，在ABC△中，()0,πA，所以sin0A，则sin1A=，解得π2A=，则ABC△为直角三角形，所以选项B正确；对于选项C，若AB，可令120A=，10B=，则tan0A，tan0B，所以选项C错误；对于选项D，若AB

，可得到sinsinAB，所以22sinsinAB，则22sinsinAB−−，则2212sin12sinAB−−，即cos2cos2BA，所以选项D正确；综上，答案选ABD.12.【答案】BCD【考点】三角恒等变换、三角函数的图象与性

质【解析】由题意可知，()23131πsincossincossi22n2226fxxxxxx=−+=−−=，则对于选项A，若()yfx=的最小正周期是π，则()fx的最小正周期为2π，所以2π2π

=，解得1=，所以选项A错误；对于选项B，因为()0,πx，所以πππ,π666x−−−，若()yfx=在()0,π内无零点，则ππ06−，解得16，所以106，所以选项B正确；对于选项C，若()yfx=在()0,π内单调，则πππ62−

，解得23，则203，所以选项C正确；对于选项D，当2=时，()πsin26fxx=−，令2π2ππsin21336f=−−−=−，所以直线2π3x=−是函数()yfx=图像的一条对称轴，所以选项D

正确；综上，答案选BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】4-3i【考点】复数与平面向量综合【解析】由题意可知，DBABAD=−，则DB对应的复数是()()1i2i343i−−−=−.14.【答案】34【考点】三

角恒等变换：降幂公式、两角和与差的余弦公式【解析】法一：由题意，()()2211cos71cos49cos71cos491cos142cos120cos2222++=+++()()11111113111cos98cos142cos22cos98cos142cos98cos222

224222422++=+−+++=+++()()311313cos12022cos12022cos22cos120cos22cos22422424=+++−+=++

=法二：由题意，令22cos71cos49cos71cos49x=++，22sin71sin49sin71sin49y=++，则()2cos71492cos22xy+=+−=+①，()cos142cos98cos1

20cos12022xy−=++=+()1cos12022cos1202cos120cos22cos120cos222+−+=+=−−②，则+①②，得132222x=−=，所以34x

=，即223cos71cos49cos71cos494++=.15.【答案】1034；1717【考点】解三角形在实际问题中的应用【解析】由题意可知，135CAB=，则在ABC△中，由余弦定理可得，2222cos1800400120

03400BCACABACABCAB=+−=++=，所以1034BC=海里，所以()()()222534cos234ACCBABACBACCB+−==，则334sin34ACB=，所以()222coscos45cossincossin222()ACBACBACBACBAC

B=+=−=−5343343432172147−==.16.【答案】12【考点】新情景问题下的三角恒等变换公式的应用【解析】由题意，当集合为π2π,,π33时，相对

常数0的“余弦方差”()22222200000001313π2πcossincossincoscoscoscosπ22223333++−++−+−+−==22200

013cossincos22231+=+=，即常数12T=，故答案为12.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.【考点】正弦定理、余弦定理在平面几何中的应用【解析】（1）在ABD△中，由

正弦定理可得sinsinBDABAADB=，即52sin45sinADB=，所以2sin5ADB=，因为ABBD，所以45ADBA=，所以22223cos1sin155ADBADB=−=−=；（2）由（1）知2cossin5BDCADB

==，则在BCD△中，由余弦定理可得，2222cosBCBDDCBDDCBDC=+−22582522255=+−=，所以5BC=.18.【考点】平面向量的坐标运算、数量积计算等【解析】（1）设(),cxy=，()()()

221,23,21,2ab+=+−−=−，因为()//2cab+，所以2xy=−，因为25c=，所以2225xy+=，解得：2,4,xy==−2,4,xy=−=所以()2,4c=−或()2,4−；（2）()()(),23,23,22kabkkkk+=+−−=−−，()()()31,2

9,610,8ab−=−−−=，因为kab+与3ab−垂直，所以()()1038220kk−+−=，解得：2313k=.（3）因为()1,2a=，所以()()()1,23,213,22ab+=+−−=−−，因为a与ab+的夹角为锐角，所以()()0,22213,aab

+−−解得：57且0，即()5,00,7−.19.【考点】平面向量的坐标运算、三角恒等变换、给值求角问题【解析】（1）因为//ab，所以()()coscos2cossinsin2sin550−−+=，所以()()22coscossins

in52cossin2=+=−.所以()5cos2+=，()2os55c=+.（2）因为，π0,2，所以0π+，因为()2os55c=+，所以()5in5s+=，所以()1tan

2+=.因为1tan3=，所以()()()11tantan32tan21111tantan132++++===−+−.因为0π+，且()cos0255=+，所以π02+，因为π02，所以02π+，因为()tan21+=，所以π24

+=.20.【考点】正余弦定理的综合应用、三角恒等变换【解析】（1）由sin4sinaAbB=，且由余弦定理sinsinabAB=，得2ab=．由()2225acabc=−−，及余弦定理，得222555cos25ac

bcaAbcac−+−==−=−；（2）由（1）知5cos5A=−，且()0,πA，所以225sin1cos5AA=−=，代入sin4sinaAbB=，可得sin5sin45aABb==.由（1）知5cos05A=−，则A为

钝角，所以225cos1sin5BB=−=.所以4sin22sincos5BBB==，23cos212sin5BB=−=，故()4532525sin2sin2coscos2sin55555BABABA−=−=−−

=−.21.【考点】正余弦定理的综合应用、三角恒等变换、求面积的范围问题【解析】（1）在ABC△中，由正弦定理可得31sinsincos222sinBAAC+=，可化为3sinsincossinsinACACB+=，因为πABC++=，所以()()sinsinπsinBA

CAC=−−=+，所以()3sinsincossinsinsincoscossinACACACACAC+=+=+，则3sinsinsincosACAC=，因为()0,πA，所以sin0A，所以3sincosCC=，所以当π2C=，不符合题意，所以3tan3C=，又()0,πC，所以π6C=，

（2）由（1）知5π6AB+=，且ABC△是锐角三角形，所以π0,25ππ0,62BAB=−，解得π,2π3B，在ABC△中，由正弦定理可得，5π13sincossinsinsin31323622,

sinsinsinsin22tan23BBBbAAaBBBBB−+=====+，所以ABC△面积为1133sin,2486abCa==，所以ABC△面积的取值范围为33,8

6.22.【考点】正余弦定理的综合应用、三角恒等变换、求三角函数值或最值问题【解析】（1）在ABC△中，因为πABC++=，所以()()sinsinπsinCABAB=−−=+，又因为sin23coscosCAB=

，所以()sin23coscosABAB+=，化简得sincoscossin23coscosABABAB+=，因为coscos0AB，所以等式两边同时除以coscosAB，得到tantan23AB+=；（2）由题意2222222222c

oscos11coscossincossincostan1tan1ABABAABBAB+=+=+++++()2222222227tantantantan2tantantantan1tantan2tan13ABABABABABB−++==+

++−+.法一：因为23tantan2tantanABAB=+，所以(tantan0,3AB，令)7tantan4,7uAB=−，则()()()222227tantan22tantan2tan1312487271

3ABuuABBuuuu−==−+−+−−−+22233486831212uu+==−+−，当且仅当43u=，即tantan743AB=−，解得tan3231tan3231AB=+−=−−或tan3231tan3231AB=−−=+−时取等号，所以

22coscosAB+的最大值为2336+.法二：令tan3At=+tan3Bt=−，()3,3t−，则()2227tantantantan2tan13ABABB−−+242221128416234234ttttttt+=+=−+++−+，令24mt=

+，)4,7m，则化为22222334812486831212mmmmm+==−+−+−，所以22coscosAB+的最大值为2336+.