【文档说明】北京市陈经纶中学2020-2021学年高二12月月考数学试题 【精准解析】.doc，共(12)页，1.093 MB，由小赞的店铺上传

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北京市陈经纶中学高二数学12月月考试卷一、选择题1.空间四边形ABCD中，ABa=，BCb=，ADc=uuurr，则CD等于（）A.abc+−B.cab−−C.abc−−D.bac−+【答案】B【解析】【分析】根据向量的三

角形法则，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算，可得()CDBDBCADABBCabc=−=−−=−−+.故选：B.2.数列1111,,,57911−−，…的通项公式可能是na=（）A.1(1)32nn−−+B.(1)32nn−+C.1

(1)23nn−−+D.(1)23nn−+【答案】D【解析】【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式.【详解】因为数列1111,,,,...57911−−可写成()()()()2342322311111,1,1,

12,..24.333−−−++++−，所以其通项公式为(1)(1)23213nnnann−=−=++.故选：D.3.设不同直线1l：210xmy−−=，2l：(1)10mxy−−+=，则“2m=”是“

12ll//”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有2m＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，

故必要性成立，故选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用

等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．4.已知平面内的三点()0,0,1A，()0,1,0B，()1,0,0C，平面的一个法向量为()1,1,1

n=−−−，且与不重合，则（）A.//B.⊥C.与相交但不垂直D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】计算出0nABnAC==，可得出n也为平面的一个法向量，从而可判断出平面与的位置关系

.【详解】()0,1,1AB=−，()1,0,1AC=−，()()()()()1,1,10,1,11011110nAB=−−−−=−+−+−−=，()()1,1,11,0,1nAC=−−−−()()110110=−++−−=

，nAB⊥，nAC⊥，n也为的一个法向量，又与不重合，因此，//.故选：A.【点睛】本题考查利用向量判断两平面的位置关系，求出两平面的法向量是解题的关键，考查计算能力与推理能力，属于基础题.5.A是抛物线()220ypxp=上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当

4AF=时，120OFA=,则抛物线的准线方程是（）A.1x=−B.1y=−C.2x=−D.2y=−【答案】A【解析】过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，如图．由题意知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因为|AF|＝4，所以|AB|＝2.点A到准线的距离d＝|

AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.故选A.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理

的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用,尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.6.在空间直角坐标系Oxyz−中，平面OAB的法向量为(2,2,1)a=−，已知(1,3,2)P−，则P到平面OAB的距离

等于()A.4B.2C.3D.1【答案】B【解析】【分析】【详解】设点到平面的距离为，则OPa=|a|d，()()1322212211322441aPd−−=−−==++，，，，（，，），（，，），．，选B考点：点到平面的距离的计算.7.已知直线l：10()xay

aR+−=是圆22:4210Cxyxy+−−+=的对称轴.过点(4,)Aa−作圆C的一条切线，切点为B，则||AB=（）A.2B.42C.6D.210【答案】C【解析】试题分析：直线l过圆心，所以1a=−，所以切线长2(4

)14(4)216AB=−+−−++=，选C.考点：切线长8.已知数列na满足(),1nnanpnZop+=.对于说法：①当12p=时，数列na为递减数列；②当112p时，数列na不一定有最大项；③当102p时，数列

na为递减数列；④当1pp−为正整数时，数列na必有两项相等的最大项，正确的是（）.A.①②B.③④C.②④D.②③【答案】B【解析】【分析】【详解】①当时12p=时，1212aa==，所以不是递减数列，故①错；②当时112p时，()()1111nnnnnpnpaanpn

++++==，()12npppn+，所以数列na总是先增后减，一定有最大项，故②错；③当时102p时，()()1111nnnnnpnpaanpn++++==，()11npn+，所以数列na是递减数列，故③正确；④当1pp−为正整数时，1

12p，当12p=时，1234aaaa=，当112p时，令*112pmNp=−，解得1mpm=+，则()()111nnmnaamm++=+，当nm=时，1nnaa+=，结合②，数列na必有两项相等的最大

项，故④正确.故选B.二、填空题9.已知向量()3,2,1a=−，()2,4,0b=−，则42ab+=______.【答案】()10,0,4【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算法则直接计算即可.【详解】向

量()3,2,1a=−，()2,4,0b=−，则()412,8,4a=−，()22,8,0b=−，则()()42122,88,4010,0,4ab+=−−++=.故答案为：()10,0,4.10.在等差数列na中，若45615aaa++=，则28aa+=______.【答案】10【解析】【

分析】利用等差中项的性质可得出5a的值，进而利用等差中项的性质可求得28aa+的值.【详解】由等差中项的性质可得4565315aaaa++==，可得55a=，因此，285210aaa+==.故答案为：10

.11.已知椭圆22198xy+=的左、右焦点为1F，2F，椭圆上一点P满足152PF=，则2PF=______.【答案】72【解析】【分析】先计算长轴长2a，再根据椭圆定义122PFPFa+=，计算2PF即可.【详解】椭圆

22198xy+=中，29a=，即3a=，1226PFPFa+==，因为152PF=，所以257622PF−==.故答案为：72.12.求过原点且倾斜角为60的直线被圆2240xyy+−=截得的弦长．【答案】23【解析】【分析】首先求得圆心到直线的距离，然后利

用弦长公式可得弦长.【详解】过原点且倾斜角为60的直线方程为30xy−=，圆2240xyy+−=的标准方程为()2224xy+−=，圆心坐标为()0,2，半径为2圆心到直线的距离：02131d−==+，结合弦长公式可得弦长为：22

22123−=.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式，圆的弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.已知双曲线C的焦点为()10,2F，()20,2F−，实轴长为2，则双曲线C的离心率是______；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且12FQFQ⊥，则

12QFF的面积为______．【答案】(1).2(2).23【解析】【分析】易得2c=，1a=，再结合222bca=−，可知3b=，然后由cea=求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为33yx=，设点3(,)3Qxx，分别

求出1FQ和2FQ，根据120FQFQ=列出方程，求出x的值，然后可得点Q到y轴的距离，124FF=，最后计算12QFF的面积.【详解】易知2c=，22a=，所以1a=，又222413bca=−=−=，3b=，所以2cea==；所以双曲线的方程为：2213xy−=，其中经过一、三象限的渐近

线方程为33yx=，故可设点3(,)3Qxx，所以13(,2)3FQxx=−，23(,2)3FQxx=+，因为12FQFQ⊥，所以120FQFQ=，即23322033xxx+−+=，解之得：3x=，所以点Q到y轴的距离为3，又124

FF=，所以：1212113342322QFFSFF===△.故答案为：2；23.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.14.曲线C是平面内与定点()2,0F和定直线2x=−的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四

个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C与y轴有3个交点；④若点M在曲线C上，则MF的最小值为()221−.其中，所有正确结论的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】先设动点坐标为(,)xy，根据题意构建关系，令0x=，得0y=知图象过原点，即判断①正确③错误；关系

式中y用y−代替，等式不变，即判断②正确；利用关系解出2y，再计算22(2)MFxy=−+求解函数最值，即判断④正确.【详解】设动点的坐标为(,)xy，则22(2)24xyx−++=．①当0x=时，0y=，∴曲线C过坐标原点，故①正确；②将22(2)24xyx−++=中的y用y−代替，该等式

不变，∴曲线C关于x轴对称，故②正确；③令0x=，则0y=，故曲线C与y轴只有1个交点，故③错误；④∵22(2)24xyx−++=，∴22216(2)(2)yxx=−−+，由2216(2)0(2)xx−−+解得2222−x，∴若点M在曲线C上，则22222164(2)(2)(2)(2

)2MFxyxxxx=−+=−−=+−++42(21)222=−+，当22x=时等号成立，故④正确．综上所述，所有正确的结论为①②④.故答案为：①②④.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于求出动点的轨迹方程，才能利用方程研究性质，

即突破难点.三、解答题15.已知在等比数列na中,11a=,且2a是1a和31a−的等差中项.（1）求数列na的通项公式;（2）若数列nb满足()*21nnbnanN=−+,求nb的前n项和nS.【答案】(

1)12nna-=(2)nS221nn=+−【解析】【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列

nb的通项公式，然后分组求和即可求得数列nb的前n项和nS.【详解】(1)设等比数列na的公比为q,则2aq=,23aq=,∵2a是1a和31a−的等差中项,∴()21321aaa=+−,即()2211qq=+−,解得2q=,∴12nna−=.(

2)121212nnnbnan−=−+=−+,则()()11321122nnSn−=+++−++++()12112212nnn+−−=+−.221nn=+−.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位

相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．16.已知点()4,0P−在圆()222:0Oxyrr+=上，直线l与圆O交于A，B两点，且与圆()()22:112Cxy+++=交于M，N两点.（1）求圆O的方程；（2）如果点M为线

段AB的中点，且PMPN=，求直线l的方程.【答案】（1）2216xy+=；（2）30xy−=或340xy−+=.【解析】【分析】（1）把点代入圆O的方程求得半径，即得结果；（2）由PMPN=得PCMN⊥，求得直线l的斜率，再分点M与原点重合与不重合进行讨论求解即可.【详解】

解：（1）点()4,0P−在圆()222:0Oxyrr+=上，故代入方程计算得2160r+=，故4r=.所以圆O的方程为2216xy+=；（2）因为PMPN=，所以PCMN⊥，故由PC的斜率为011413k+==−−+，知直线l的斜率为3，①当点M与原点重合时，直线l的方

程为30xy−=，满足题意；②当点M不与原点重合时，因为点M为线段AB的中点，则OMMN⊥，所以直线OM的方程为13yx=−，设直线l的方程为3yxm=+，0m，由133yxyxm=−=+得310110xmym=−=，即31,1010

Mmm−，又由M在圆C上可知，22311010112mm+++=−，解得4m=或0m=（舍去），此时直线l的方程为34yx=+，即340xy−+=.综上，直线l的方程为30xy−=或340xy−+=.17.已知椭圆()222:133xyCaa+=

的离心率为12，过点()0,1的直线l与C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线l与直线OD分别交直线4x=于点M，N.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求线段MN的最小值.【答案】（1）22143xy+=；（2）431−.【解析】【分析】（1）根据题意列出关于,,abc

的等式再求解即可.（2）设直线l方程为1ykx=+，再联立直线与椭圆的方程,求得中点D的坐标，利用韦达定理可得3|||||41|MNMNyykk=−=++，再分析0k与0k两种情况分别利用基本不等式求解最值即可.【详解】解：（1）依

题意可知22223,1,2,bcaabc===+解得2a=.所以椭圆C的标准方程为22143xy+=；（2）显然直线l斜率存在，设过点(0,1)点的直线l方程为1ykx=+，（0k，否则直线OD与直线4x=无交点.）直线l与椭圆C的交点为1122(,),(,)AxyBxy.由

221,34120ykxxy=++−=得22(34)880kxkx++−=，则22(364324)0kk+=+，122834kxxk−+=+，121226()234yykxxk+=++=+.所以2243

(,)3434kDkk−++令4x=，41Myk=+.直线OD方程为34yxk=−，令4x=，3Nyk=−.所以3|||||41|MNMNyykk=−=++.①当0k时，3||41143MNkk=+++当且仅当34kk=时,即32k=时等

号成立；②当0k时，334[(4)()]43kkkk+=−−+−−当且仅当32k=−时取等号成立.此时3|||41|431MNkk=++−.综上，线段||MN的取值范围为)431,−+.故线段||MN的最小值为431−.【点睛】思路点睛：直线与椭圆的综合问题的常见处理方法：（1）对

椭圆上两点构成的弦及其中点相关的题型，我们常用“点差法”，其中直线AB的斜率1212yykxx−=−，AB中点的坐标M为1212,22xxyy++，点代入椭圆方程22112222222211xyabxyab+=

+=作差，就可以得到弦中点与直线斜率的关系式22ABOMkkba=−．（2）对于弦长问题，我们常让直线与椭圆方程组方程组，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距

离）设直线:lykxm=+，l上两点()()1122,,,AxyBxy，所以2121ABkxx=+−或21211AByyk=+−，斜率不存在时12AByy=−，解决相关问题.