【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修二 6-2 平面向量的运算习题 Word版含解析.docx，共(19)页，857.214 KB，由小赞的店铺上传

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6.2平面向量的运算习题6.2复习巩固1.如果a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km”，那么下列向量具有什么意义？（1）aa+；（2）ab+；（3）ac+；（4）bd+；（5）bcb++；（6）dad+

+.【答案】（1）向东走20km；（2）向东走5km；（3）向东北走102km；（4）向西南走52km；（5）向西北走102km；（6）向东南走102km.【解析】【分析】由向量加法及其几何意义和位移的关系

可得.【详解】由题意知：a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km”（1）aa+rr表示“向东走20km”（2）ab+表示“向东走5km”（3）ac+表示“向东北走102km”（4）bd+rur表示“向西南走52km”（5

）bcb++表示“向西北走102km”（6）dad++表示“向东南走102km”【点睛】本题考查向量加法及其几何意义，属于基础题.2.一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行400km，求飞机飞行的路程及两次位移的

合成.【答案】飞机飞行的路程为700km；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行500km.【解析】【分析】由向量的加减运算，即可得出结论.【详解】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是700km；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行500km.【点睛

】本题考查向量的加法及其几何意义，考查学生的计算能力，区分路程、位移是关键.3.一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16/kmh，同时河水流速的大小为4/kmh求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l°）.【答案】417km，方

向与水流方向成76°角【解析】【分析】利用向量的加法运算，模的运算，勾股定理，即可得出结论.【详解】设船的航行速度为1v，水流速度为2v，船的实际航行速度为v，v与2v的夹角为，则222212||164416/17(/)

vvvkmhkmh=+=+=由16tan44==，得76.船实际航行的速度的大小为417km，方向与水流方向成76°角.【点睛】本题以实际问题为载体，考查向量的加法运算，考查三角函数知识，属于基础题.4.化简：（1）ABBC

CA++；（2）()ABMBBOOM+++；（3）OAOCBOCO+++；（4）ABACBDCD−+−；（5）OAODAD−+；（6）ABADDC−−；（7）NQQPMNMP++−.【答案】（1）0.（2）AB（3）BA.（4）0（5）0（6）CB.（7）0【解析】【分

析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可.【详解】解：（1）原式0ACAC=−=.（2）原式ABBOOMMBAB=+++=（3）原式OAOCOBOCBA=+−−=.（4）原式0ABBDDCCA=+++=（5）原式0OAADDO=++=（6

）原式()ABADDCABACCB=−+=−=.（7）原式0MNNQQPPM=+++=【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.5.作图验证：（1）11()()22ababa++−=（2）11()()22ababb+−−=【答案】(1)见解

析(2)见解析【解析】【分析】根据向量的平行四边形法则，画图验证即可.【详解】解：如图，在平行四边形ABCD中，设,ABaADb==，则11(),()22AOabOBab=+=−.（1）因为AOOBAB+=，所以11()()22ababa++−=（2）因为AOOBAOB

OAOODAD−=+=+=，所以11()()22ababb+−−=【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，属于基础题.6.（1）已知向量a,b,求作向量c，使0abc++=.（2）（1）中表示a,b,c的有向线段能构成三角形吗？【答案】（1）见解析.（2）当a，b共线时，不能构

成三角形，当a，b不共线时能构成三角形.【解析】【分析】作平行四边形OADB，使得OAa=，OBb=，可得abOD+=，由于0abc++=，可得ODcOC=−=−，或作ABC，使得ABa=，BCb=，CAc=，即可得出.【详解】

（1）方法一：如图所示，当向量a,b两个不共线时，作平行四边形OADB，使得OAa=，OBb=，则abOD+=，又0abc++=，所以0ODc+=，即ODcOC=−=−，方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作ABC，使得ABa=，BCb=，CAc=，则0

ABBCCA++=，即0abc++=，当向量a,b两个共线时，如下图：使得ABa=，BCb=，DEc=则ABBCab+=+，()DEab=−+，所以，0ABBCDE++=，即0abc++=.（2）向量a,b两个不共线时

，表示a,b,c的有向线段能构成三角形，向量a,b两个共线时，a,b,c的有向线段不能构成三角形.【点睛】本题考查了向量的三角形法则，平行四边形法则、分类讨论方法，考查了作图能力，属于基础题.7.已知a，b为两个非零向量，（1）求作向量,abab+−；（2）当向量a，b成什

么位置关系时，满足abab+=−？（不要求证明）【答案】（1）见解析.（2）ab⊥rr【解析】【分析】根据向量的三角形法则，作出图象即可.【详解】（1）当向量a,b两个不共线时，作ABC，使得ABa=，BCb=，ACc=，DBd=，所以abACc+==，

abDBd−==当向量a,b两个同向且共线时，作ABa=，BCb=，ACc=，所以abACc+==，abADd−==当向量a,b两个反向且共线时，作ABa=，BCb=，ACc=，所以abACc+==，abADd−==，（2）当ab⊥时

，满足abab+=−，如图，作矩形ABCD，作ABa=，ADb=，所以，ACab=+，DBab=−.【点睛】本题考查了平面向量的知识，考查了学生的动手能力，解题的关键是掌握三角形法则的应用，掌握数形结合思想的应用，属于

基础题.8.化简：（1）()()522423abba−+−；（2）()()634abcabc−+−−+−；（3）()()113256923abaab−+−−；（4）()()()()xyabxyab−+−−−.【答案】（1）22ab−−；（2）10221

0abc−+；（3）132ab+；（4）2()xyb−【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，对每一个小题进行计算即可．【详解】（1）()()522423101081222abbaabbaab−+−=−+−=−−.（2）()

()6346186444102210abcabcabcabcabc−+−−+−=−++−+=−+.（3）()()()()1115113256932693232262abaababaabab−+−−=−+−

−=+.（4）()()()()()()()2xyabxyabxyxyaxyxybxyb−+−−−=−−++−+−=−.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用问题，属于基础题．9.11,33AMABANAC==.求证13MNBC=.【答案】见解析【解

析】【分析】直接由已知结合向量减法的三角形法则可得13MNBC=.【详解】证明：因为MNANAM=−，而11,33ANACAMAB==，所以1111()3333MNACABACABBC=−=−=.【点睛】本题考查共线向量基本定理，考查了

向量减法的三角形法则，属于基础题.10.填空：（1）若a,b满足2,3ab==,则ab+的最大值为____________，最小值为____________；（2）当非零向量a,b满足_________

____时，ab+平分a与b的夹角.【答案】①.5②.1③.ab=【解析】【分析】利用ababab−++即可得到结论.【详解】（1）235abab++=+=，当且仅当a，b同向时取等号，max5ab+=又231abab+−=−=，当

且仅当a，b反向时取等号，min1ab+=.（2）当ab=rr时，ab+为以a,b为邻边的平行四边形的对角线，此时的平行四边形为菱形，对角线恰好平分a与b的夹角.答案：（1）5，1;（2）ab=rr【点睛】本题考查向量的数量积的运算及计算公式，

属于基础题.11.（1）已知3,4ab==,且a与b的夹角150=，求()2,ababab++，；（2）已知2,5ab==,且3ab=−,求,abab+−.【答案】（1）63−；25123−；25123

−（2）23；35【解析】【分析】（1）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出；（2）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出.【详解】解：（1）3cos15034632abab==−=−；222222123abaabbab+=+

+=+−223412325123=+−=−()225123abab+=+=−（2）22222||()2||2(3)||ababaabbab+=+=++=+−+2226523=−+=22222||(

)2||2(3)||ababaabbab−=−=−+=−−+2226535=++=【点睛】本题考查了向量的模和向量的数量积，考查了运算能力，属于基础题.12.求证：()()()ababab==.【答案】见解析【解析】【分析】分0=，0，0

讨论即可得到结论.【详解】证明：（1）设a，b的夹角为，当0=时，0,0,ab==()00abb==.()0()0,()00abababa====()()()ababab

==成立.（2）当0时，a与a同向，b与b同向，a与b的夹角为，a与b的夹角为.()cos||||cosababab==，()cos,()coscosababababab===，()()()abab

ab==成立.（3）当0时，a与a反向，b与b反向，a与b的夹角为−，a与b的夹角为−.()cos()(cos)cosabababab=−=−−=,()cosab

ab=,()cos()(cos)cosabababab=−=−−=,()()()ababab==成立.综上可知，原等式成立.【点睛】本题考查向量的数乘运算及运算律，属于基础题.综合运用13.根据下列各小题中的条件，分别判断

四边形ABCD的形状，并给出证明：（1）ADBC=；（2）13ADBC=；（3）ABDC=，且ABAD=.【答案】（1）平行四边形.见解析（2）梯形，见解析（3）菱形，见解析【解析】【分析】（1）由ADBC=，可得

//ADBC，ADBC=，即可判断出四边形的形状；（2）由13ADBC=，可得//ADBC，ADBC，即可判断出四边形的形状；（3）由ABDC=，且||||ABAD=，可得四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即可判断出四边形的形状.【详解】解：（1

）四边形ABCD是平行四边形，证明如下：,//ADBCADBC=且||||ADBC=.//ADBC且ADBC=，∴四边形ABCD是平行四边形.（2）四边形ABCD是梯形，证明如下：1,//,//3ADBCADBCAD

BC=.又1||||3ADBC=，13ADBC=，即ADBC，∴四边形ABCD是梯形.（3）四边形ABCD是菱形，证明如下：,//ABDCABDC=且||||ABDC=.//ABDC且ABDC=，∴四边形ABCD是平行四边形.又||||,ABAD

ABAD==，∴四边形ABCD是菱形.【点睛】本题考查了向量相等的意义、特殊四边形的判定，考查了推理能力，属于基础题.14.在ABC中，1,//4ADABDEBC=，且与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N.设,ABaACb==，用a，b分别表示向量,,,,,,AEB

CDEDBECDNAN.【答案】()11,,44AEbBCbaDEba==−=−，()331,,448DBaECbDNba===−()18ANab=+.【解析】【分析】直接利用向量共线即可得到结论.【详解】

如图()11,,44AEbBCbaDEba==−=−，()331,,448DBaECbDNba===−()1148ANAMab==+.【点睛】本题考查向量共线的表示，属于基础题.15.如图，在任意四边形ABCD中

，E，F分别是AD，BC的中点．求证：AB+DC=2EF．【答案】证明详见解析．【解析】【详解】根据平面向量的加法意义，得EFEAABBF=++，EFEDDCCF=++，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴EAED+

=0，BFCF+=0；∴2EF=（EA+AB+BF）+（ED+DC+CF）=（EA+ED）+（AB+DC）+（BF+CF）=AB+DC，即2EFABDC=+．16.飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东7

5°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？【答案】图见解析，北偏东45°方向，距甲地1400km.【解析】【分析】作出方位示意图，构造等腰三角形，解

这个三角形即可得出答案【详解】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.设甲地为A，乙地为B，丙地为C，作出示意图，则1400ABBCkm==，15NABSBA==，75SBC=，

60ABCSBCSBA=−=，ABC∴是等边三角形，60BAC=，1400ACkm=，45NACBACBAN=−=，即丙地在甲地北偏东45，丙地距甲地1400km.【点睛】本

题考查了解三角形的实际应用，画出草图是关键，属于基础题.17.（1）如图（1），在ABC中，计算ABBCCA++；（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算ABBCCDDA+++；（3）如图（3），在n边形123nAAAA中，12233411

?nnnAAAAAAAAAA−+++++=证明你的结论.【答案】（1）0（2）0（3）0，见解析【解析】【分析】根据向量的加法法则直接对各式计算即可.【详解】解：（1）0ABBCCAACCAACAC++=+=−=（2）0ABBCCDDAACCDDAADDAADAD+

++=++=+=−=.（3）122334n110nnAAAAAAAAAA−+++++=.证明如下：12233411nnnAAAAAAAAAA−+++++133411nnnAAAAAAAA−=++++1411nnnAAAAAA−=

+++L11110nnnnAAAAAAAA=+=−=【点睛】本题考查向量加法的运算法则，属于基础题.18.已知4,3,(23)(2)61ababab==−+=，求a与b的夹角.【答案】120【解析】【分析】根据4,3,(23)(2)61a

babab==−+=可求出ab，再根据cosabab=求夹角，即可得出结果.【详解】因为4,3,(23)(2)61ababab==−+=，所以2244361aabb−−=，即6442761ab−−=，所以6ab=−，因此1cos2abab==−

，所以a与b的夹角为120.【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.19.已知8,10ab==.且16ab+=.求a与b的夹角（精确到1°）.（可用

计算工具）【答案】55【解析】【分析】先利用模的运算得ab，再利用向量夹角公式即可得到结论.【详解】16ab+=2222222821016,abaabbab+=++=++=46ab=4623cos8104

0abab===，用计算器算得55.【点睛】本题考查了向量的模，向量夹角公式，属于基础题.20.已知a是非零向量，bc，求证：()abacabc=⊥−【答案】见解析【解析】【分析】从向量数量积相等入手，移项变形，得到数量积为0即可.【详解】证法1：0()0()abac

abacabcabc=−=−=⊥−证法2：设()()()112233,,,,,axybxycxy===.先证()abacabc=⊥−12121313,abxxyyacxxyy=+=+

.由abac=得12121313xxyyxxyy+=+.即()()1231230xxxyyy−+−=而()2323,bcxxyy−=−−，所以()0−=abc再证()abcabac⊥−=由()0−=abc得()()1231230xxxyyy−

+−=.即12121313xxyyxxyy+=+，因此abac=.【点睛】本题考查了向量的数量积为0的运算，属于基础题.拓广探索21.已知ABC的外接圆圆心为O,且2,AOABACOAAB=+=,则向量BA在向量BC上的投影向量为（）A.14BCB.34BCC.

14BC−D.34BC−【答案】A【解析】【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到OAOBOC==，进而得到ABO为正三角形，从而得到结论.【详解】如图，由2AOABAC=+知O为BC的中点，又∵O为ABC的外接圆圆心，OAOBOC==又||||OAAB=ABOBOAOC

===ABO为正三角形，60ABO=，BA在BC上的投影向量为1124BOBC=.故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的含义，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则，本题是基本知识与技能考查题，主要考查了向量运算能力，属于基础

题.22.如图，O是平行四边形ABCD外一点，用,,OAOBOC表示OD.【答案】ODOAOBOC=−+【解析】【分析】由ODOAAD=+，ADBC=，BCOCOB=−，即可得到结论.【详解】ODOAADOABC

OAOCOBOAOBOC=+=+=+−=−+.【点睛】本题考查向量加法，向量减法，属于基础题.23.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量,,,OAOBOCOD满足等式OAOCOBOD+=+.（1）作出满足条件的四边

形ABCD.（2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想.【答案】（1）见解析（2）平行四边形.见解析【解析】【分析】（1）直接作图即可；（2）结论：四边形ABCD为平行四边形；将表达式OAOCOBOD+=+变形，利用向量减法运算法则即可得到结论.【详解】（1）作图，

通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形.（2）四边形ABCD为平行四边形，证明如下：因为OAOCOBOD+=+，所以OAOBODOC−=−，因为,OAOBBAODOCCD−=−=.所以BACD=，即//ABCD，因此四边形ABCD为平行四边形.【点睛】本题考查

向量减法的运算法则，对表达式的灵活变形是解题的关键，属于基础题.24.如图，在C中，是不是只需知道C的半径或弦AB的长度，就可以求出ABAC的值？【答案】只与弦AB的长度有关，与半径无关【解析】【分析】由题意，设C的半径为r，AB的长度为2a，取

AB的中点D，连接CD，根据向量的数量积公式即可求出.【详解】只与弦AB的长度有关，与半径无关.理由如下：设C的半径为r，AB的长度为2a，取AB的中点D，连接CD，则CDAB⊥.在RtACD△中，,,cosaADaACrCADr===，22

cos22aABACarCADarar===.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数中，角与边的关系，属于基础题.