【文档说明】山西省大同市2022-2023学年高二上学期期中数学试题含解析.docx，共(20)页，1.639 MB，由小赞的店铺上传

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大同市2022-2023年度高二期中测试题（卷）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面α和平面β的法向量分别为(3,1,5)m=−，(6,2,10)n=

−−，则（）A.α⊥βB.α∥βC.α与β相交但不垂直D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面α和平面β的位置关系.【详解】解：∵(3,1,5)m=−，(6,2,10)n=−−∴2nm=−，∴//mn，∴//故选：B.2.

椭圆22221(0)xyabab+=和2222(0,0)xykkabab+=具有（）A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长、短轴【答案】A【解析】【详解】试题分析：第一个椭圆的焦点22(,0)ab−，第二个椭圆的焦点为22((),0)kab−；第一个椭圆的顶点(,0

),(0,)ab，第二个椭圆的顶点(,0),(0,)kakb；第一个椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，第二个椭圆的长轴长为2ka，短轴长为2kb；第一个椭圆的离心率为222aba−；将第二个椭圆方程化为标准式：故离心率为(

)222222kababkaa−−=，故两椭圆的离心率相同.考点：椭圆的离心率.3.直线34xyb+=与圆222210xyxy+−−+=相切，则b=A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12【答案】D【解析】【详解】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.

考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.4.已知点(1,3)A，(2,1)B−−.若过点(2,1)P的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.12k…B.2k−„C.12k…或2k−„D.122k−剟【答案】D【解析】

【详解】由已知直线l恒过定点()2,1P，如图．若l与线段AB相交，则PAPBkkk，∵2PAk=−，12PBk=，∴122k−，故选D.5.如图所示，空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc===，点M在OA上，且2OMMA=，N为BC中点，则MN等于（）A.121

232abc−+B.211322abc−++C.112223abc+−D.221332abc+−【答案】B【解析】【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】()1223MNONOMOBOCOA=−=+−=211322abc−++,故选：B.6

.设抛物线22ypx=上的三个点()12323,,1,,,32AyByCy到该抛物线的焦点距离分别为123,,ddd．若123,,ddd的最大值为3，则p的值为（）A.32B.2C.3D.143【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义直接分析可

得33,2Cy到抛物线的焦点距离最大,再根据焦半径公式求解即可.【详解】根据抛物线的定义可得33,2Cy到抛物线的焦点距离最大为3322p+=.故3p=.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的定义性质,属于基础题型.7.设1F和2F为双曲线()222210,0xyaba

b−=的两个焦点，若点()0,2Pb，12,FF是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是A.3yx=B.217yx=C.33yx=D.213yx=【答案】C【解析】【详解】若()0,2Pb，设()()12,0,,0FcFc−，则2214FPcb=+，(

)12,,0,2FFPb是等腰直角三角形的三个顶点，2222242,42cbccbc+=+=，，()222242ccac+−=，，2234ca=，即2223334,3babaa+==，双曲线的渐近线方程为byxa=，即为33yx=，

故选C.8.鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑−PABC中，PA⊥平面ABC，2ABBCPA===，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是（）A.38B.64C.118D.224【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表

示出对应点的坐标，然后利用空间几何点到直线的距离公式即可完成求解.【详解】因为ABBC=，且ABC是直角三角形，所以ABBC⊥.以B为原点，分别以BC，BA的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz

−.因为2ABBCPA===，所以()0,2,0A，()2,0,0C，()0,1,0D，()1,1,1E，则()2,2,0AC=−，11,1,22AF=−.故点F到直线AC的距离2221136144422AFAFACACd=−=++

−=.故点F到直线AC的距离是64.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（多选）设0r，圆()()22213xyr−++=与圆2216x

y+=的位置关系不可能是（）A.内切B.相交C.外离D.外切【答案】CD【解析】【分析】计算两圆的圆心距及半径之和，由两圆位置关系求解即可.【详解】两圆的圆心距()()22310010d+−−=−=，两圆的半径之和为4r+，因为104r+，所以两圆不可能外切或外离，

故选：CD10.若方程22131xytt+=−−所表示的曲线为C,则下面四个命题中错误的是A.若C为椭圆,则13tB.若C为双曲线,则3t或1tC.曲线C可能是圆D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则12t【答案

】AD【解析】【分析】就t的不同取值范围分类讨论可得曲线C表示的可能的类型.【详解】若3t，则方程可变形为22113yxtt−=−−，它表示焦点在y轴上的双曲线；若1t，则方程可变形为22131xytt−=−−，它表示焦点在x轴上的双曲线；若23t，则031tt−

−，故方程22131xytt+=−−表示焦点在y轴上的椭圆；若12t，则013tt−−，故方程22131xytt+=−−表示焦点在x轴上的椭圆；若2t=，方程22131xytt+=−−即为221xy+=，它表示圆，综上，选AD.【点睛】一般地，方程221mxny+=为双

曲线方程等价于0mn，若0,0mn，则焦点在x轴上，若0,0mn，则焦点在y轴上；方程221mxny+=为椭圆方程等价于0,0mn且mn，若mn，焦点在y轴上，若mn，则焦点在x轴上；若0mn=，则方程为圆的方程.11.若

实数x，y满足2220xyx++=，则（）A.1yx−的最大值为3B.1yx−的最小值为3−C.1yx−的最大值为33D.1yx−的最小值为33−【答案】CD【解析】【分析】确定2220xyx++=的圆心和半径，明确1yx−为圆上的点与定点(1,

0)P连线的斜率，数形结合，利用圆心到直线的距离等于半径，结合1yx−的几何意义即可确定答案.【详解】由题意可得方程2220xyx++=为圆心是()–1,0C，半径为1的圆，则1yx−为圆上的点与定点(1,0)P连线的斜率，由

于直线1x=和2220xyx++=没有交点，故设过(10)P，点的斜率存在的直线为()1ykx=−，即kxyk0−−=，当直线kxyk0−−=与圆2220xyx++=相切时，圆心()–1,0C到该直线的距离dr=，即2|2|11kk−=+，可得231k=，解得3

3k=，所以33,133yx−−，即1yx−最大值为33，最小值为33−故选：CD12.已知P是椭圆22194xy+=上一点，椭圆的左､右焦点分别为12,FF，且121cos3FPF=，则（）A.12FPF△的周长为12B.1222FPFS=VC.点P到x轴的距离为21

05D.122PFPF=uuuruuur【答案】BCD【解析】【分析】A．根据椭圆定义分析12FPF△的周长并判断；B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出12PFPF的值，结合三角形的面积公式求解出12FPFS并判断；C．根据三角形等面积法求解出点P到x轴距离并

判断；D．根据向量数量积运算以及12PFPF的值求解出结果并判断.【详解】A．因为1226PFPFa+==，所以121212226294625FPFCPFPFFFac=++=+=+−=+，故错误；B．因为1

226PFPFa+==，222121212122cosFFPFPFPFPFFPF=+−，所以()121224943623PFPFPFPF−=−−，所以126PFPF=，所以121221111sin6122229FPFSPFFPFPF=−==V，故正确；C．设点P到x轴的距离

为d，所以121222FFd=，所以124242210525dFF===，故正确；D．因为2112121cos623PFPFPFPFFPF===uuuruuuruuuruuur，故正确；故选：BCD.三、填空题：本题共4小

题，每小题5分，共20分.13.直线1l、2l的斜率1k、2k是关于k的方程2240kkm−+=的两根，若12ll⊥，则实数m=______．的【答案】2−【解析】【分析】依题意121kk?-，利用韦达定理得到方程，解得即可；【详解】解：因为12ll⊥

，所以121kk?-，又1k、2k是关于k的方程2240kkm−+=的两根，所以1212kkm==−，解得2m=−；故答案为：2−14.已知()()()1,0,1,2,1,1,3,1,0abc==−−=，则2abc−+=__________．【答案】310【解析】【详解】因为()()()1,0

,1,2,1,1,3,1,0abc==−−=，所以()29,3,0abc−+=,所以2229+3=310abc−+=．答案：31015.已知双曲线22142xy−=被直线截得的弦AB，弦的中点为(4,2)M，则直线AB的斜率为______.【答案】1【解析】【分析】设出A，B点坐标

，根据点差法即可求得斜率的值.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，显然12xx，则有2211142xy−=，2222142xy−=，两式作差可得，2222121204422xxyy−−+=，即()()()()1212121242xxxxyyyy+−+−=，又弦

中点为(4,2)M，则128xx+=，124yy+=，代入可得1212yyxx−=−，即12121yyxx−=−，所以直线AB的斜率为1.此时直线方程为24yx−=−，即2yx=−，的联立直线与双曲线方程222142yxx

y=−−=可得，28120xx−+=，()284112160=−−=，即直线与双曲线相交，所以直线AB的斜率为1满足条件.故答案为：1.16.如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，1ADAB==，ADAB⊥，45BCD=，将ABD△沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A

，并且平面ABD⊥平面BCD.则下面四个命题中正确的是______.（把正确命题的序号都填上）①ADBC⊥；②三棱锥ABCD−的体积为22；③BACA⊥；④平面ABC⊥平面ADC.【答案】③④【解析】【分析】根据空间几何中的垂直

关系即可进行证明与判断.【详解】若ADBC⊥，由已知平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD与平面BCD交线为BD.如图过A作BD的垂线，垂足为M,易知AM⊥平面BCD，又因为BC平面BCD，所以AM⊥BC，ADBC⊥，AM与AD平面

ABD，AMADA=可得：BC⊥平面ABD，又因为BD平面ABD，所以BCBD⊥与已知矛盾，故ADBC⊥不成立.所以①错误.三棱锥ABCD−的体积1122223226V==，故②错误.在ACD△中，222ACCDAD=+，所以3AC=，同理在BDC中

，2BC=，又因为1AB=，在ABC中满足222ACABBC+=，故BACA⊥，所以③正确.⊥BAAD，⊥BACD，AD平面ADC，CD平面ADC，CDADD=所以⊥BA平面ADC，BA平面ABC，所以，平面ABC⊥平面ADC.所以④正

确.故答案为：③④【点睛】1.空间几何中垂直关系为重点考察内容，也是直观想象核心素养的直接体现.2.线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质是解决此类问题的关键.3.注意通过现有的垂直关系和可证明的垂直关系，利用直角三角形来减少运算量.，四、解答题：本题共6小题，共70分.解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知(1,0)A−，(1,0)B，C为平面内的一个动点，且满足2ACBC=.（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线l为10xy+−=，求直线l被曲线C截得的弦的长度.【答案

】（1）22610xyx+−+=（2）26【解析】【分析】(1)首先设点(),Cxy，利用两点间距离表示2ACBC=，化简求轨迹方程；（2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解.【小问1详解】由题意可设点C的坐标为(,)xy，由2ACBC=及两点间的距离公式可

得22(1)(0)xy++−=222(1)(0)xy−+−，整理得22610xyx+−+=.【小问2详解】由（1）可知，曲线()22:38Cxy−+=圆心()3,0到直线:10lxy+−=的距离002230122

AxByCdAB+++−===+，所以弦的长度22226−=rd.18.如图.在正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点．（1）求证：1//BD平面ACE；（2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）6

6【解析】【分析】（1）连连接BD与AC交于点O，根据中位线定理可知1//OEBD，然后根据线面平行的判定定理可得.（2）建立空间直角坐标系，计算AD，平面ACE的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可

.【小问1详解】如图所示：，连接BD与AC交于点O，因为O，E为中点，所以1//OEBD,又OE平面ACE，1BD平面ACE，所以1//BD平面ACE；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系令2AB=，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,,0,0,2,1ADCE()()

()0,2,0,2,2,0,0,2,1ADACAE===设平面ACE的一个法向量为(),,nxyz=所以2200200xynACyznAE+==+==，令1,1,2yxz=−==所以()1,1,2n=−，所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值

()2222661122nADnAD−==+−+19.已知点()0,2A−，椭圆2222:1(0)xyEabab+=的离心率为22，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点.（1）求E方程；（2）设过点()03P,-且斜率为k的直线l与椭圆E交于不

同的两M、N，且82||7MN=，求k的值.【答案】（1）2212xy+=；（2）3.【解析】【分析】（1）根据离心率和斜率公式可解得,,abc，从而可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根

据弦长公式求出弦长，结合已知弦长列方程可解得结果.【详解】（1）由离心率22cea==，则2ac=，设(c,0)F，的则直线AF的斜率()0220kc−−==−，则1c=，2a=，2221bac=﹣＝，∴椭圆E的方程为221

2xy+=；（2）由题意得直线:3lykx=−，设()11,Mxy，()22,Nxy，则22312ykxxy=−+=，整理得：()22124340kxkx++=−，()()224344120kk=−−+，即21k，∴1224312k

xxk+=+，122412xxk=+，∴()222121212114MNkxxkxxxx=+−=+−+2222431611212kkkk=+−++()()22241182127kkk+−==+，即4217325

70kk−−=，解得：23k=或21917k=−（舍去），∴3k=，【点睛】关键点点睛：根据弦长公式()222121212114MNkxxkxxxx=+−=+−+求出弦长是本题解题关键.20.如图，在三棱锥−PABC中，侧面PAC是等边三角形，ABBC⊥，P

APB=.（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若2ACAB=，则在棱PC上是否存在动点M，使得平面MAB与平面ABC所成二面角的大小为45.【答案】（1）证明见解析；（2）存在.M为靠近P三等分点【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连接,POBO，证明PO⊥平面ABC，根据面面

垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设(01)PMPC=，求得平面MAB的法向量，利用向量的夹角公式求得，即可求得答案根据线面【小问1详解】证明：取AC的中点O，连接,POBO

，因为PAC△为等边三角形，所以POAC⊥，在RtABC△中，有OAOBOC==，又因为PAPBPC==，所以POAPOBPOC≌≌△△△，所以90POBPOA==，即POOB⊥，又因为POAC⊥，,,ACOBOA

COB=平面ABC，所以PO⊥平面ABC，又因为PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.【小问2详解】不妨设4PA=，在RtABC△中，1cos2ABCABAC==，所以60CAB=，在底面ABC内作ODAC⊥于点O，则,,ODOCOP两两垂直，以点O为原点，OD所在的直线

为x轴，OC所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,2,0)A−，(3,1,0)B−，(0,2,0)C，(0,0,23)P所以(3,1,0)AB=，(0,4,0)AC=，(

0,2,23)AP=，(0,2,23)PC=−，设(0,2,23)(01)PMPC==−，则(0,22,2323)AMAPPM=+=+−，设平面MAB的法向量为(,,)mxyz=，所以()

()302223230mABxymAMyz=+==++−=，令1x=−，可得33y=−，1z=−−，所以(1,33,1)m=−−−−，可取平面ABC的一个法向量为(0,0,1)n=，所以22212cos45|cos,|2(1)(33

)(1)mnmnmn+====−+−++，整理可得231030−+=，即(31)(3)0−−=，解得13=或3=（舍去）.所以13PMPC=，所以当13PMPC=时，二面角MABC−−的大小为45.

21.已知抛物线C：22ypx=（0p）上的一点(),2Mm到它的焦点的距离为21+.（1）求p的值.（2）过点()2,Nt−（tR）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线PQ过定点.【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1

）根据抛物线的定义列方程可得结果；（2）设过N直线：()2ytkx−=+，代入24yx=得，24480kyytk−++=．根据判别式等于0，得12tkk=−，代入24480kyytk−++=可得2yk=，设NP，NQ的斜率分别为1k，2k，则1212kk=−．21112,Pkk

，22212,Qkk，根据点斜式可得直线PQ的方程，结合1212kk=−，可得结论.【详解】（1）曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离．∴2212p+=+，∴12p=，∴2p=．（2）依题意，过点N的抛物线切线的斜率存在，故可设过N的直

线：()2ytkx−=+，代入24yx=得，24480kyytk−++=．因为直线与曲线C相切，则0,0,k=得164(48)0ktk−+=，即2210ktk+−=．所以12tkk=−，代入24480kyytk−++=并化简得22()0yk−=

，解得2yk=，设NP，NQ的斜率分别为1k，2k，则1212kk=−．所以21112,Pkk，22212,Qkk，当12kk时，直线PQ的方程：122112212222111kkyxkkkk−−=−−．即：1221121221kkyxkkkk−

=−+．212111xkkk−=−+．即：()2121211112yxkkkkkk−=++++．()()112212121121kkkxkkkkk++−=+++．()2121212121kxkkkkk−=+++．的()1212121212xxkkkkk

k−=+=−−+++．∴直线PQ过定点()2,0．当12kk=时，即1222kk==，则PQ所在的直线为2x=.过点()2,0综上可得，直线PQ过定点()2,0.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了

直线与抛物线相切的问题，考查了直线方程的点斜式，考查了直线过定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题.22.已知双曲线2222:1xyCab−=的左、右焦点分别为12,FF，其离心率为62，且过点()42,22P（1）求双曲线C的方程（2）过1F的两条相互垂直的交

双曲线于,AB和,CD，,MN分别为,ABCD的中点，连接MN，过坐标原点O作MN的垂线，垂足为H，是否存在定点G，使得||GH为定值，若存在，求此定点G.若不存在，请说明理由.【答案】（1）221168xy−=；（2）存在，()26,0G−.【解

析】【分析】（1）首先根据题意得到22222623281ceaabcab==−==+，再解方程组即可；（2）首先当直线AB和CD其中一条没有斜率时，H点为()0,0，直线MN方程为0y=，当直线AB和CD都有斜率时，设直线AB的方程为：()26ykx=+，联立方程组()22261

168ykxxy=+−=，利用韦达定理得到224612Mkxk=−，22462612Mkykk=+−，同理得到2462Nxk=−，的2146262Nykk=−+−，从而得到直线MN的方程为()21262

21kyxk=−+−，恒过()46,0P−，根据OHMN⊥得到点H的运动轨迹是以点()26,0−为圆心，以26OP=直径的圆，从而得到存在定点()26,0G−，使得||GH为定值26.【详解】（1）由题可知：22222222621632

81824ceaababccab===−====+，双曲线C的方程是221168xy−=.（2）存在定点()26,0G−，使得||GH为定值，理由如下：由题意可知，若直线A

B和CD其中一条没有斜率，则H点为()0,0，直线MN的方程为0y=，当直线AB和CD都有斜率时，因为点()126,0F−，设直线AB的方程为：()26ykx=+设(),AAAxy，(),BBBxy，(),MMMxy，联立方程组()22261168ykxx

y=+−=得：()()2222128616310kxkxk−−−+=所以228612ABkxxk+=−，()22163112ABkxxk−+=−，故22224646,261212MMkkxykkk==+−−

，设直线CD的方程为：()126yxk=−+设(),CCCxy，(),DDBxy，(),NNNxy，同理可得2862CDxxk+=−，()221632CDkxxk−+=−，故2246146,2622NNxyk

kk==−+−−所以()2222222461462626122214646122MNMNMNkkkkkyykkxxkkkk+++−−−===−−−−−−，所以直线MN的方程为()22222464626121221kkkykxkk

k−+=−−−−−，化简得：()2126221kyxk=−+−，可知直线MN过定点()46,0P−又因为OHMN⊥，所以点H的运动轨迹是以点()26,0−为圆心，以26OP=直径的圆，所以存在定点()26,0G−，使得||GH为定值26.【点睛

】方法点睛：（1）解答直线与双曲线题目时，常用把两个曲线方程联立，得到关于x的一元二次方程，利用根系关系，结合已知条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不

存在的特殊情况.