【文档说明】天津市经济技术开发区第二中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷【精准解析】.doc，共(14)页，1.095 MB，由小赞的店铺上传

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2020－2021学年第一学期高三数学月考第I卷（选择题共45分）一、选择题，本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数12i2i+=−（）．A.iB.1i+C.i−D.

1i−【答案】A【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5iiiiiiiii+++++−===−−+，故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似

于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.2.等差数列na中，4810aa+=，106a=，则公差d=（）A.12−B.14C.12D.2【答案】B

【解析】【分析】由条件486210aaa+==，可得65a=，又106410aad=+=可得答案.【详解】等差数列na中，486210aaa+==，则65a=1064546aadd=+=+=，所以41d=，

则14d=故选：B3.已知向量(1,2)a=，(3,4)b=−，(,3)cx=，若()//abc+，则x=（）A.－2B.－4C.－3D.－1【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得(2,6)ab+=−，再利用向量共线条件，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量(1,2)a=，(3,4)

b=−，(,3)cx=，可得(2,6)ab+=−，因为()//abc+，所以2360x−−=，解得1x=−.故选：D.4.函数()2sin3fxx=+在区间0,2上的最小值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】由0,2x时，53

36x+，，则1sin123x+可得答案.【详解】当0,2x时，5336x+，1sin123x+，所以12sin23x+所以函数()2s

in3fxx=+在区间0,2上的最小值为1故选：A5.设na是由正数组成的等比数列，nS为其前n项和，已知31a=，37S=，则5S=（）A.152B.314C.334D.172【答案】B【解析】【

分析】由331,7aS==，求得数列na的公比q，进而求得1a，结合求和公式，即可求解.【详解】设正项等比数列na的公比为(0)qq，因为331,7aS==，可得312321117Saaaqq=++=++=，解得12q=或13q=−（舍去），又由2231

11()12aaqa===，可得14a=，所以555114[1(()]31214121)1aSqq−−=−==−.故选：B.6.若单位向量1e，2e的夹角为3，向量12()aeeR=+，且3||2a=，则=（）A.12−B.312−C.12D.32【答案】A【解析】【分析】由条

件可得222212122aeeee=++，即2104++=从而可得答案.【详解】由12()aeeR=+，可得222212122aeeee=++所以231211cos43=++，即2104++=，所以12=−故选：A7.在ABC中，内角A，B，C的对

边分别是a，b，c，且()224abc+−=，120C=，则ABC的面积为（）A.33B.233C.3D.23【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可求ab的值，从而可求三角形的面积.【详解】因为120C=，故222222cos120cabababab=+−=

++，而()224abc+−=，故2222224cabababab=++−=++，故4ab=，故三角形的面积为13sin1204324ab==，故选：C.8.将函数()2sin24fxx=+的图像向右平移（0）个单位长度，再

将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图像关于直线4x=对称，则的最小值为（）A.34B.2C.8D.38【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的平移和伸缩变换，求得变换后的解析式；根据对称轴代入即可求得的表达式，进而求得的最小

值．【详解】将函数()2sin24fxx=+的图像向右平移（0）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍后解析式变为()2sin424fxx=−+因为图像关于直线4

x=对称所以42242xk−+=+代入4x=化简得38k=+，k∈Z所以当k=0时，取得最小值为38所以选D【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，三角函数对称轴的应用，属于中档题．

9.已知函数f(x)＝1,01,0xxx„则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是（）A.(1，2)B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞)D.(－∞，1]∪[2，＋∞)【答案】D【解析】【分析】分别讨

论x≤0和x>0，方程有解时，m的取值.【详解】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即1xmx+=，解得m≥2，即实数m的取值范围是(,1][2,)−+故选：D【点睛】本题考查了方程有解

求参数的取值问题，考查了计算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题，本大题有6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题卷中的横线上.10.在ABC中，若2b=，30B=，105C=，则a=__________.【答案

】22【解析】【分析】由三角形内角和求得A，根据正弦定理sinsinbaBA=求得a.【详解】解：因为1801803010545ABC=−−=−−=,由正弦定理sinsinbaBA=得，22sin2sin452221sinsin302bAaB====，故答案为：22.11.已知i为虚数单

位，复数z满足()212zii−=+，则复数z的实部为__________.【答案】255【解析】【分析】()2125zii−=+=，然后算出52zi=−即可.【详解】()2125zii−=+=，所以()()()()525525522

22555iziiiii+===+=+−−+所以复数z的实部为255故答案为：25512.已知02，向量(cos,1)a=−，(3,sin)b=，若a与b垂直，则=__________.【答案】3【解析】【分析】由a⊥b，则a3coss

in0b=−+=，根据02可得答案.【详解】由a⊥b，则a3cossin0b=−+=即tan3=，由02，所以3=故答案为：313.函数()2sin()(0,||)2fxx=+的图象如图所示

，则=，=.【答案】2；6【解析】试题分析：由题设所提供的图形信息可知,即,所以；又,故,由于,所以,应填2,6.考点：正弦函数的图象和性质．14.菱形ABCD边长为2，3B=，点P满足APAB=uuuruuur，R，若3BDCP=−，则λ=_____

_____.【答案】12【解析】【分析】用,ABAD表示,BDCP，利用数量积的运算律可求的值.【详解】因为3CBP=，故23A=.(),1BDADABCPCDDAAPADAB=−=++=−+−，

所以()()()()114412262ADABADABBDCP−−+−=−−−+−=−=，所以63−=−即12=.故答案为：12.15.定义12nnppp+++为n个正数1p，2p，…，nP的“均倒数”，若正数数列

na的前n项的“均倒数”为121n+，且14nnab+=，则12231011111bbbbbb+++=__________.【答案】1011【解析】【分析】由“均倒数”的定义可得2122naaann+++=+，由数列的递推式可得na，nb，再由裂项相消求和可得答

案．【详解】已知正整数列{}na前n项的“均倒数”为121n+，可得12121nnaaan=++++，可得2122naaann+++=+，当1n=时，13a=，2n…时，2222(1)(1)41nannnnn=

+−−−−=−，对1n=也成立，可得41nan=−，*nN，14nnabn+==，则1223101111111111111110111223101122310111111bbbbbb+++=+++=−+−++−=−=

．故答案为：1011三、解答题，本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin7aBb=.（Ⅰ）若ABC的面积为7，8+=bc，求a﹔（Ⅱ）求sin23A

+的值.【答案】（1）6；（2）37316+.【解析】【分析】（1）由已知条件及正弦定理，化简求得sinA，进而求得cosA，结合面积公式和余弦定理，即可求解；（2）利用二倍角公式求得sin2,cos2AA

的值，再根据两角和的正弦函数公式，即可求解.【详解】（1）由4sin7aBb=，根据正弦定理，可得4sinsin7sinABB=，因为(0,)2B，可得sin0B，所以7sin4A=，又因为(0,)2A，可得2273cos1sin1()44AA=−=−=，由ABC的面积为7

，即11sin77242SbcAbc===，解得8bc=，又由余弦定理2222cosabcbcA=+−，可得22237736()64836222bcbcbcbc=+−=+−=−=，解得6a=.（2）由733

7sin22sincos2448AAA===，2271cos212sin12()48AA=−=−=，所以37113373sin2coscossin22sin338282163AAA+=+=+=

+.【点睛】方法规律总结：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.17

.已知向量(3sin,cos)axx=，(2cos,2cos)bxx=，函数()fxab=（Ⅰ）求函数()fx的最大值及取得最大值时的x值；（Ⅱ）求函数()fx在0,2上的单调递减区间.【答案】（Ⅰ）max()3fx=，,6=+xkkZ；（Ⅱ）,6

2.【解析】【分析】（Ⅰ）将()fx的解析式化为()2sin216fxx=++，然后可得答案；（Ⅱ）求出()fx的所有单调递减区间，然后与0,2取公共部分即可.【详解】（Ⅰ）2()23si

ncos2cos3sin2cos212sin216fxabxxxxxx==+=++=++所以当22,62xkkZ+=+，即,6=+xkkZ时，max()3fx=（Ⅱ）令32

22262kxk+++，解得2,63kxkkZ++当0k=时，263x，与0,2的公共部分为,62所以函数()fx在0,2上的单调递减区间为,6218.设数列na满足：13a=，13nnaa+

=，*nN.设nS为数列nb的前n项和，且1110,2nnbbbSS−=，*nN.（I）求数列na，nb的通项公式；（Ⅱ）设3lognnncba=，求数列nc的前n项和nT.【

答案】（I）3nna=，12nnb−=；（2）()121nnTn=−+.【解析】【分析】（I）利用等比数列的通项公式可求na的通项公式，由112nnbbSS−=可得12nnbb−=，利用等比数列的通项公式可求nb的通项.（Ⅱ）利

用错位相减法可求nT.【详解】（I）因为130a=，且13nnaa+=，故0na，所以13nnaa+=，所以na为等比数列且公比为3，故1333nnna−==.因为112nnbbSS−=，故2111112bbSSb−==，因为10b，故11

b=.又1122nnnnnbbSSb−−−=−=，所以12nnbb−=，因110b=，故0nb且12nnbb−=，故nb为等比数列且公比为2，故11122nnnb−−==.（Ⅱ）1133log2log32nnnnnncban−−===，故0121122

2322nnTn−=++++，所以12321222322nnTn=++++，所以()123-1122222121nnnnTnn−=+++++−=−−，故()121nnTn=−+.【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列

与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19.已知三次函数()326fxx

axxb=+−+，a，bR，若函数()fx的图象在1x=处的切线方程为12210xy+−=（I）求函数()fx的解析式；（II）求函数()fx的极小值；（Ⅲ）若存在()0,x+，使得()3ln21xfxm+−成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）323()612f

xxxx=−−+，（2）()fx的极小值为()29f=−，（3）5722m−剟.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出a，求出切点坐标，代入函数的解析式，求出b，然后可得函数的解析式；（2）利用导数求出()fx的单调性即可；（3）令2()3ln336gxxxx=−++，利用

导数求出()gx的最大值，然后转化不等式求出m的范围．【详解】（1）因为2()326fxxax+=−，直线12210xy+−=的斜率为6−所以()1=6f−，32a=−当切点坐标为11(1,)2−，11(1)2f=−，1b=323()612fxxxx=−−+（2）2()336fxxx

=−−，由()0fx可得2x或1x−由()0fx可得12x−所以()fx在(),1−−、()2,+上单调递增，在()1,2−上单调递减所以()fx的极小值为()29f=−（3）令()3ln()gxxfx=−，则()2()3ln336,0gxxxxx=−++2

16(1)()36332()63xxxxgxxxxx−+−++=−+==−令()0gx=，则1x=或12x=−当1x时，()0gx，函数()gx单调递减当01x时，()0gx，函数()gx单调递增所以函数()gx在(0,)+内取得最大值()16g=存在(0,)x+，使得3

ln()21xfxm+−…成立即使得3ln()21xfxm−−…成立216m−„5722m−剟20.在等比数列na中，已知12a=，且2a，13aa+，4a成等差数列.（I）求数列na的通项公式na；（II）设2nnnbaa=−，求数列nb的前n项和为nS；（Ⅲ）记2nnn

cS=，求证：数列nc的前n项和32nT.【答案】（I）2nna=（II）12(21)(21)3nnnS+=−−(Ⅲ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）利用2a，13aa+，4a成等差数列及12a=，计算即得答案；（Ⅱ）通过22222123123()(

)nnnSaaaaaaaa=++++−++++由等比数列的求和公式可得答案.(Ⅲ）由得（Ⅱ）12311()22121nnnnnbS+==−−−，由裂项相消法求和可得结论．【详解】（Ⅰ）解：设等比数列na的公比为q，由已知得：13242()aaa

a+=+，即2311112()aaqaqaq+=+，即32220qqq−+−=，即()()2210qq−+=解得2q=，又12a=，112nnnaaq−==；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：2222123123()()nnnSaaaaaaaa=++++−++++()2223

222482(2222)nn=++++−++++22334444(2222)nn=++++−++++4(14)2(12)1412nn−−=−−−12(21)(21)3nn+=−−，（Ⅲ）由得（Ⅱ）12311()22121nnnnn

bS+==−−−，所以122313111111()2212121212121nnnT+=−+−++−−−−−−−11311()22121n+=−−−131(1)221n+=−−32．【点睛】关键点睛：本题考查等差数列与等比数列的综合应用以及分组求和、公式法、裂项相消法求和.解

答本题的关键是先分组求和即22222123123()()nnnSaaaaaaaa=++++−++++，将nb的表达式裂项即12311()22121nnnnnbS+==−−−，用裂项相消法求和，属于中档题.