【文档说明】广东省湛江市第四中学2022-2023学年高二上学期第一次月考 数学 试卷含答案.docx，共(14)页，787.881 KB，由小赞的店铺上传

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广东省湛江市第四中学2022-2023学年度第一学期高二数学第一次月考卷(考试时间：120分钟试卷满分：150分)第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设()2,3A−，()3,2B

−−，直线l过点()1,2P且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A．1k−或5kB．51k−C．15k−D．5k−或k≥12．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为()1,2,1a=−，平面的法向量为()2,3,4n=，

则（）A．//lB．l⊥C．l或//lD．l与斜交3．过点(3,23)P−且倾斜角为135的直线方程为（）A．3430xy−−=B．30xy−−=C．30xy+−=D．30xy++=4．已知(2,3,1),(2,0,4),(4,6,2)abc=−−==−−，则下列结论正确的

是（）A．//,//acbcB．//,abac⊥C．//,acab⊥D．以上都不对5．已知点()1,2M−、(),2Nm，若线段MN的垂直平分线的方程是12xy+=，则实数m的值是（）A．2−B．7−C．3D．16.在空间直角坐标系Oxyz中，与

点()1,2,1−关于平面xOz对称的点为（）A．()1,2,1−−B．()1,2,1−C．()1,2,1−−−D．()1,2,1−−7．在空间直角坐标系中，()1,2,1a=为直线l的一个方向向量，()2,,4nt=为平面的一个法向量，且//l，则t=（）A．3B．3−C．1D．1−

8．在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足()1AMxAByACxyAD=++−−，点N满足()1DNDADB=−−，当AMDN、最短时，·AMMN=（）A．13−B．13C．23−D．23二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题

给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．如果0AB，0BC，那么直线0AxByC++=经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．三棱锥ABCD−中，

平面ABD与平面BCD的法向量分别为12,nn，若12,3nn=，则二面角ABDC−−的大小可能为（）A．6B．3C．23D．5611．已知空间中三点()0,1,0A，()2,2,0B，

()1,3,1C−，则下列说法正确的是（）A．AB与AC是共线向量B．与AB同向的单位向量是255,,055C．AB和BC夹角的余弦值是5511D．平面ABC的一个法向量是()1,2,5−12．已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（）A．

直线l2的斜率为6m−.B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18C．直线l1倾斜角的正切值为3.D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l经过点P（0，1）且

一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______．14．已知()011110)1)1(0(abc===，，，，，，，，分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．15.直线ax+y+a﹣3＝0恒过定点（16题）16．已知E

､F､G､H分别是正方体1111ABCDABCD−，边AB，CD，11BC，11AD的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为___________.四．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.下图是一个机器人手臂的示意图．

该手臂分为三段，分别可用向量()2,3,4a=，()1,1,3b=−，()4,1,2c=−−代表．(1)若用向量d代表整条手臂，求d；(2)求d所代表的点与原点之间的距离．18.已知ABC的顶点坐标为()5,1A−−，()1,1B−

，()2,3C−．（1）试判断ABC的形状；（2）求AC边上的高所在直线的方程．19．如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，2PAADAB===，,MN分别为,ABPC的中点．（1）求证：MN⊥平面PCD；（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．20．已知直线1:(2)80lm

xmy++−=与直线2:40,lmxymR+−=．（1）若12ll//，求m的值；（2）若点()1,Pm在直线2l上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F分别

为AA1，AC，A1C1的中点，𝐴𝐵=𝐵𝐶=√5，AC＝AA1＝2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求点D与平面BEC1的距离；22．如图，在三棱柱111ABCABC−中，四边形11AACC是边长为3的正方形，1CCBC⊥，1BC=，2AB

=（1）证明：平面1ABC⊥平面1ABC；（2）在线段1AB上是否存在点M，使得1CMBC⊥，若存在，求1BMBA的值；若不存在，请说明理由参考答案：1．D【分析】如图，求出,PAPBkk可得斜率k的取值范围.【详解】由题设可得2(3)225,11231PAPBkk−−−−

==−==−−−，因为直线l与线段AB相交，则1k³或5k−，故选：D.2．C【解析】由0an=可得an⊥，所以l或//l，即可得正确选项.【详解】直线l的方向向量为()1,2,1a=−，平面的法向量为()2,3,4n=，因为()()

2,3,41,2,12640an=−=−+=，所以an⊥，所以l或//l，故选：C.3．D【分析】由倾斜角为135求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】解：因为直线的倾斜角为135，所以直线的斜率为135

tan1k==−，所以直线方程为23(3)yx+=−−，即30xy++=，故选：D4．C5．C6．A7．B【分析】由已知条件得出0an=，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数t的值.【详解】因为//l，则2240ant=++=，解得3t=−.B8.A【分析】由题知M平面BCD，N

直线AB，故当AM、DN最短时，AM⊥平面BCD，DNAB⊥，再根据向量的关系计算即可得答案.【详解】()1AMxAByACxyAD=++−−，()1DNDADB=−−，∴()()AMADxABADyACAD−=−+−，()DNDBDADB−=−，

即:DMxDByDC=+，BNBA=；M平面BCD，N直线AB，所以当AM、DN最短时，AM⊥平面BCD，DNAB⊥，M为BCD的中心，N为线段AB的中点，如图：又正四面体的棱长为1，63A

M=，AM⊥平面BCDAMBM⊥，2cosAMABAMABAMBAM==，AMMN()AMANAM=−12AMABAM=−212AMAMAM=−212AM=−161293=−=−．故选：A．【点睛】本题考查空间向量的数量

积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得M平面BCD，N直线AB，进而当当AM、DN最短时，AM⊥平面BCD，DNAB⊥，再求解.【分析】由已知条件得出0an=，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数t的值.9．ACD【分析】把

直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.【详解】因为0AB，故0B，故直线的斜截式方程为：ACyxBB=−−，因为0AB，0BC，故0,0ACBB−−，故直线经过第一象限、第三象限、第四象限，故选：ACD.10．BC【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互

补即可求得结果.【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角ABDC−−的大小可能为3或233−=.故选：BC.11．BD【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；根据与AB同向的单位向量为ABAB，计算可知B正确；利用向量夹角公式计算可知C错误；根据法向量的求法可知D正确.

【详解】对于A，()2,1,0AB=，()1,2,1AC=−，可知ABAC，AB与AC不共线，A错误；对于B，()2,1,0AB=，5AB=，255,,055ABAB=，即与AB同向的单位向量是255,,055，B正确；

对于C，()3,1,1BC=−，555cos,11511ABBCABBCABBC−===−，即AB和BC夹角的余弦值为5511−，C错误；对于D，设平面ABC的法向量(),,nxyz=，则2030nABxynBCxyz=+==−++=，令1x=，解得：2y=−，5

z=，()1,2,5n=−，即平面ABC的一个法向量为()1,2,5−，D正确.故选：BD.12．BD【分析】利用直线l1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A，利用两条直线垂直的充要条件可判断选项

B，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D．【详解】解：直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；当直线l1垂直于直线l2，则有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故选项B正确；直线l1

的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C错误；当直线l1平行于直线l2，则3601130mm−=+，解得m＝2，故选项D正确．故选：BD．13．112yx=+【分析】根据方向向量可得直线的斜

率，进而根据点斜式求解方程即可.【详解】因为直线l的一个方向向量为（2，1），所以其斜率为12，所以直线l的方程为()1102yx−=−，即112yx=+．故答案为：112yx=+14．0【分析】计算每两个向量的数量积，

判断该两个向量是否垂直，可得答案.【详解】因为()01()111010ab==，，，，，()·01()110110ac==，，，，，()·11()010110bc==，，，，.所以abc

，，中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直．故答案为：0.15．（﹣1，3）【分析】建立空间直角坐标系，分别计算平面APC与平面PBC的法向量，然后利用公式计算即可.【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A

，(1,0,0)B，(0,0,1)P，(1,1,0)C，所以(1,1,0)AC=，(0,0,1)AP=，(0,1,0)BC=，(1,0,1)PB=−.设平面APC的法向量为()1111,,xnyz=1100

nACnAP==，∴11100zxy=+=不妨设11y=，则11x=−，1(1,1,0)n=−设平面PBC的法向量为()2222,,nxyz=2200nBCnPB==，∴22200yxz=−=不妨设21x=，则21z=，20y=，2(1,0,1)n=设AP

CB−−为，则12121211coscos,222nnnnnn====.故答案为：1216．13【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】1111122EHEAAAAHABAAAD=++=−

++，1111122FGFCCCCGABAAAD=++=+−，设该正方体的棱长为1，显然11,,ABAAABADAAAD⊥⊥⊥，于是有110,0,0ABAAABADAAAD===，所以2222111111622442EHABAAADABAAAD=−++=++=

，2222111111622442FGABAAADABAAAD=+−=++=，所以222111144cos,36622ABAAADEHFGEHFGEHFG−+−===，因此异面直线EH与GF所

成角的余弦值为13，故答案为：1317．(1)(7,1,5)(2)53．解(1)由题意(2,3,4)(1,1,3)(4,1,2)(7,1,5)dabc=++=+−+−−=(2)由题意22271553d=++=．18（1）直角三角形；（2）3410xy+−=.【分析】(1)先求,,ABACBC直线的

斜率,再根据斜率关系即可判断;(2)由43ACk=得AC边上高线所在直线的斜率为34−,进而根据点斜式求解即可.【详解】解：（1）111152ABk+==−+,31221BCk−==−−+，314253ACk+==−+1ABBCkk=−，

ABBC⊥，ABC为直角三角形（2）因为()()314253ACk−−==−−−，所以，AC边上高线所在直线的斜率为34−直线的方程是()3114yx−=−+，即3410xy+−=19．（1）证明见解析；（2）33.【分析】（1）建立空间直

角坐标系，利用向量法证得MN⊥平面PCD.（2）利用直线PD的方向向量，平面PMC的法向量，计算线面角的正弦值.【详解】（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()1,0,0,0,0,2,2,2,0,1,1,1,0,2,0MPCND.()()()0,1,1,

2,2,2,0,2,2MNPCPD==−=−，220220MNPCMNPD=−==−=，所以,MNPCMNPD⊥⊥,由于PCPDP=，所以MN⊥平面PCD.（2）()0,2,2PD=−，()()1,0,2,1,2,0MPMC=−=，设平

面PMC的法向量为(),,nxyz=，则2020nMPxznMCxy=−+==+=，令1z=，则2,1xy==−，所以()2,1,1n=−.设直线PD与平面PMC所成角为，则43sin3622nPDnPD===.20．（1）1m=−，（2）10xy−+=或2

yx=【分析】（1）由题意可知0m，所以可得2814mmm+−=−，从而可求出m的值；（2）将点()1,Pm的坐标代入直线2l的方程中，求出m的值，从而可得点P的坐标，然后设出直线l方程，利用两坐标轴上的截

距之和为0，列方程可求出直线方程【详解】解：（1）因为12ll//，所以0m，且2814mmm+−=−，由21mmm+=，得220mm−−=，解得1m=−或2m=（舍去）所以1m=−，（2）因为点()1,Pm在直线2l上，所以40mm+−=，得2m=，所以点P的坐标为(1,2)，所以设

直线l的方程为2(1)ykx−=−（0k），令0x=，则2yk=−，令0y=，则21xk=−，因为直线l在两坐标轴上的截距之和为0，所以2120kk−+−=，解得1k=或2k=，所以直线l的方程为10xy−+=或2yx=

21．【解答过程】（1）证明：由于AB＝BC，E是AC的中点，所以AC⊥BE，由于E，F分别是AC，A1C1的中点，所以EF∥CC1，所以EF⊥平面ABC，所以EF⊥AC，由于BE⋂EF＝E，所以AC⊥平面BEF．（2）解：由（1）可知EA，EB，EF两两相互垂直，以E为空间坐标原

点建立如图所示空间直角坐标系，B（0，2，0），C1（﹣1，0，2），设平面BEC1的法向量为𝑚→=(𝑥1，𝑦1，𝑧1)，则{𝑚→⋅𝐸𝐵→=2𝑦1=0𝑚→⋅𝐸𝐶1→=−𝑥1+2𝑧1=0，故可设𝑚→=(2，0，1)，𝐷(1，0，

1)，𝐵𝐷→=(1，−2，1)，所以D到平面BEC1的距离为|𝑚→⋅𝐵𝐷→|𝑚→||=3√5=3√55．22.【详解】（1）在ABC中，3AC=，1BC=，2AB=，满足222ACBCAB+=，所以ACBC⊥，又1CCBC⊥，1CCACC=I，所以BC⊥面11

ACCA，又1AC面11ACCA，所以1BCAC⊥，又四边形11AACC是边长为3的正方形，所以11ACAC⊥，又1BCACC=，所以1AC⊥面1ACB，又1AC平面1ABC，所以平面1ABC⊥平面1ABC；（2）在线

段1AB上存在点M，使得1CMBC⊥，且114BMBA=，理由如下：由（1）得，以点C为原点，1,,CACBCC所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()3,0,0A，()0,0,0C，()0,

1,0B，()13,0,3A，()10,0,3C，设(),,Mxyz，1BMBA=，所以()(),1,3,1,3xyz−=−，解得3x=，1y=−，3z=，所以()3,1,3CM=−，()10,1,3CB=−，要使1CMBC⊥，则需10CMBC=，即13

0−−=，解得14=，故114BMBA=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com