【文档说明】北京市育英学校2021高三届统一练习2数学试卷参考答案及评分标准.pdf，共(7)页，431.878 KB，由管理员店铺上传

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12021高三统一练习2数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）5（12）24nSnn（13）5（14）13；22（15）①②（注：第14题第一

空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.）三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在ABC中，由正弦定理，因为3cossinaBbA，所以3sincos

sinsin.ABBA……………..2分因为sin0A，所以3cossin.BB所以tan3.B……………..4分因为0πB，所以π3B.……………..6分（Ⅱ）因为2b，2ca，由余弦定理2222cosbacacB可得2214

4222aaaa.……………..8分所以2343,.33ac……………..12分所以112343323sin223323ABCSacB.……………..14分题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（

9）（10）答案BDCABDAAAD2MzyxPABCDE（17）（本小题满分14分）解1；选择①因为PA平面ABCD，所以PAAD，PACD.……………..1分因为2PAADCD，所以22PD.因为23PC，所以222CDPDPC.所以CDPD.…………….4分因

为PAPDP，所以CD平面PAD.…………….6分所以CDAD.因为CDBC，所以//ADBC.…………….7分所以四边形ABCD是直角梯形.解2；选择②因为PA平面ABCD，所以PAAD，PACD.……………..1分因为2PAADCD，所以22PD

.因为23PC，所以222CDPDPC.所以CDPD.…………….4分因为PAPDP，所以CD平面PAD.所以CDAD.…………….6分因为//BC平面PAD，BC平面ABCD，平面PAD平面=ABCD

AD，所以//BCAD.所以四边形ABCD是直角梯形.…………….7分过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD，所以,PAAMPAAD.…………….8分如图建立空间直角坐标系Axyz.…………….9分3则(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2

)ACDP.因为E为PB中点，所以1(1,,1)2E.所以1(1,,1),(2,2,2),(0,2,2)2AEPCPD.…………….10分设平面PCD的法向量为(,,)nxyz，则0,0.nPCnPD即2220,220.xyzyz…………

….11分令1,y则1,0zx.于是(0,1,1)n.…………….12分设直线AE与平面PCD所成的角为，所以111122sin|cos,|36||||22nAEnAEnAE.所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26.…………….14分(18)（

本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为(0.05+0.1+0.18+0.320.10.030.02)11a，所以0.2a.…………….2分因为0.21100=20，所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在[5,6)的学生有20人.…….3分所以从该校高三年级中随机抽取一名

学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5,6)的概率为20=0.2100.…………….5分（Ⅱ）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2,3)和[8,9)的人分别有5人和3人.…………….6分所

以X的所有可能取值为0,1,2,3.…………….7分35385(0)28CPXC，21533815(1)28CCPXC,12533815(2)56CCPXC，33381(3)56CPXC

.…………….9分4所以X的分布列为X0123P52815281556156所以X的期望5151519()0123282856568EX.………….11分（III）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5,6).…14分(19)（

本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意得2225,524,,cababc解得5,2,1.abc…………….3分即椭圆的方程为22154xy．…………….5分（Ⅱ）法一由题意，直线l的斜率存

在.当0k时，直线l的方程为1y.代入椭圆方程有152x.则1515(,1),(,1)22CD.所以216216,.1515151522ACADkk所以6612.51515ACADkk…………….8

分当0k时，则直线l的方程为1ykx．由221,154ykxxy，得22(45)10150kxkx.…………….9分设11(,)Cxy，22(,)Dxy，5则1212221015,4545kxxxxkk

．…………10分又(0,2)A，所以112ACykx，222ADykx.…………….11分因为1212121222(3)(3)ACADyykxkxkkxxxx21212123()9kxxkxxxx2121

23()9kxxkxx222222103()93036451245.1515545kkkkkkkk即直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．…………….15分法二设直线

l的斜率为k，则直线l的方程为1ykx．…………….6分由221,154ykxxy，得22(45)10150kxkx.…………….7分设11(,)Cxy，22(,)Dxy，则1212221015,4545k

xxxxkk．…………….9分又(0,2)A，所以112ACykx，222ADykx.…………….11分因为1212121222(3)(3)ACADyykxkxkkxxxx21212123()9kxxkxxxx212123()9kxxkxx

222222103()93036451245.1515545kkkkkkkk即直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．…………….15分6(20)（本题14分）（I）1a时，2()xfxex．()2xfxex（或在这里求的()2xfxeax

也可以）．-------------2分∴0(0)01fe，0(0)01kfe．-------------4分所求切线方程为1yx---------------5分（II）方法一：()2xfxeax.若2()xf

xeax在(0,)上单调递增，则对任意(0,)x，都有()0fx-------6分即2xeax恒成立，等价于min()2xeax．----------------7分设()2xegxx，则2(1)

()2xexgxx，---------------8分令()0gx得1x当(0,1)x时，()0gx，()gx在(0,1)上单调递减；当(1,)x时，()0gx，()gx在(1,)上单调递增，所以函数()gx的

最小值为e(1)2g．------------------11分所以,2ea．------------------12分方法二：()2xfxeax．若2()xfxeax在(0,)上单调递增，

则对任意(0,)x，都有()0fx--------6分等价于min(())0fx．设()2xhxeax，()2xhxea．当(0,)x时，1xe----------------7分分类讨论：①当21a

，即12a时，()0hx恒成立，所以()2xhxeax在(0,)x上单调递增，那么()(0)1hxh，所以12a时，满足()0fx．-------------------8分②当

21a，即12a时，令()20xhxea，得ln2xa．当(0,ln2)xa时，()0hx，()hx在(0,ln2)xa上单调递减；当(ln2,)xa时，()0hx，()hx在(ln

2,)xa上单调递增；所以函数()hx的最小值为(ln2)2(1ln2)haaa----------------10分7由2(1ln2)0aa解得2ea，所以122ea．-------------------11分综上：,2ea．--

------------------12分（III）2个-------------------14分(21)（本小题满分14分）解：（I）14d，25d，32d．----------------3分（II）因为10a，公比01q，所以12,,,naaa是递减数列．因此，对1,2,,

1in，1,iiiiAaBa．----------------5分于是对1,2,,1in，1iiiiidBAaa11(1)iaqq．----------------7分因此0id且1iidqd（1,2,,2in），即1

21,,,nddd是等比数列．----------------9分(III)设d为121,,,nddd的公差，则0d对12in≤≤，因为1iiBB，所以1111iiiiiiiiiiABdBdBddBdA

，即1iiAA------------11分又因为11min{,}iiiAAa，所以11iiiiaAAa．从而121,,,naaa是递减数列．因此iiAa（1,2,,1in）．----------

------12分又因为111111++BAdada，所以1121nBaaa．因此1naB．所以121nnBBBa．iiiiniaABdad．因此对1,2,,2in都有1+1iiiiaaddd

，即121,,,naaa是等差数列．----------------14分