【文档说明】《九年级数学讲义上海专用》专题14 代几综合（解答题25题压轴题）（解析版）.docx，共(44)页，1.800 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-0d0b6228cf8e829d2d0a0f6cb9fc4107.html

以下为本文档部分文字说明：

12020年上海市16区中考数学一模汇编专题14代几综合（解答题25题压轴题）1.（长宁、金山25）.如图，已知在RtABCV中，90C=，8AC=，6BC=，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且APCQ=，过点P作PMAB⊥，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，

设APx=，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求PQM的正切值；（2）当点N在ABCV内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．【整体分析】（1）当四边形P

QMN是矩形时，PQ∥AB．根据tan∠PQM＝PMPQ求解即可．（2）如图1中，延长QN交AB于K．求出MK，PM，根据y＝PM•MK求解即可．（3）分两种情形：①如图3−1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC

交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．根据EG＝12PC构建方程求解．②如图3−2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．根据PC＝GH构建方程求解即可．【满分解答】（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，∴AB＝22A

CBC+＝2286+＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．2∴tan∠PQM＝PMPQ＝3955253PAPA=．（2）如图1中，延长QN交AB于K．∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，AB=10∴sinA=cosB=BCAB=63105=,cosA=sinB=84105ACAB==，

由APx=，得BQ＝6−x，QN＝PM＝APsinA=35x，AM＝APcosA=45x，KQ＝BQsinB=45BQ＝2445x−，BK＝BQcosB=35BQ＝1835x−，∴MK＝AB−AM−BK＝325x−，∵QN＜QK，∴35x＜2445x−，∴x＜247，∴y＝PM•MK＝

35x×325x−=296325xx−（0≤x＜247）．（3）①如图3−1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．3∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM

，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝12PC，∵四边形EGHN是矩形，∵PMAB⊥∴QN⊥AB则∠ABC+∠NQH=∠NQH+∠QNH=90°∴∠ABC=∠QNH∴NH＝EG＝NQcos∠QNH=NQcos∠ABC=35NQ＝35PM＝

35×35x=925x，PC＝8−x，∴925x＝12•（8−x），解得x＝20043．②如图3−2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．4∵DH＝PC，∴8−x＝12•925x，解得x＝40

059，综上所述，满足条件x的值为20043或40059．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2.（闵行区25）.已知：

如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(点A、B分别在直线CD的左右两侧)，射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD=x，CE=y.(1)求证：∠DAB=∠DCF.(2)当点E在边CD上时

，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.(3)如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.【整体分析】（1）首先根据点G是Rt△ABC的重心，得出CF是Rt△ABC的中线.，又由AC=BC，∠ACB=90°，得出CF⊥AB，即∠AFC=90°，然后等量转换即可得出∠D

AB=∠DCF；（2）首先判定△CAD≌△BCH，得出BH=CD，CH=AD，又根据∠ADC=∠BHC=90°，得出AD∥BH，5进而得出ADDEBHEH=，列出等式，即可得出y关于x的函数关系式；（3）分两种情况进行求解

：①当GC=GD时，根据直角三角形斜边中线定理得出MD=MC，进而得出MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，即可得出AD；②当CG=CD时，CG=2，点G为△ABC的重心，然后运用勾股定理即可得出AD.【满分解答】(1)证明：∵点G是Rt

△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线.又∵在Rt△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，∴CF⊥AB，即∠AFC=90°.∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF，且∠ADE=∠EFC=90°，∴∠DAB=∠DCF.(2)解：如图，过点B作BH⊥CD

于点H.DACHCBACCBDCAHBC===∴△CAD≌△BCH（ASA）.∴BH=CD=2，CH=AD=x，DH=2-x.∵∠ADC=∠BHC=90°∴AD∥BH.∴ADDEBHEH=.2xDEEH=，22xDEEHDHEHEH++==，422xEHx−=+.2424

(02)22xxyCECHHExxxx−+==+=+=++.(3)解：当GC=GD时，如图1，6取AC的中点M，联结MD.那么MD=MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B.那么BH与MG共线.又CH=AD，那么AD=CH=11

2CD=.当CG=CD时，如图2，即CG=2，点G为△ABC的重心，332CFCG==，AB=2CF=6，2322ACAB==，2218414ADACCD=−=−=.综上所述，AD=1或14.【点睛】此题主要考查三角形

与函数的综合应用，涉及到的知识点有直角三角形斜边中线定理、重心、勾股定理等，熟练掌握，即可解题.3.（静安区25）.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2=BE·DC，DE

:EC=3:1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；（3）如图，当∠BAC=90°，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．【整体分析】（1）根

据相似三角形的判定方法，即可找出与△ACD相似的三角形；7（2）由相似三角形的性质，得DGDEADDFADCD==，由DE=3CE，先求出AD的长度，然后计算得到DFDG；（3）由等腰直角三角形的性质，得到∠DAG=∠ADF=45°，然后证明△ADE∽△DFA，得到AD

AEDFAD=，求出DF的长度，即可得到DFDG.【满分解答】解：（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2=BE·DC，∴BEABABDC=．∵AB=AC，∴∠B=∠C，BEACABDC=，∴△ABE∽△DCA

．∴∠AED=∠DAC．∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，∴∠DAE=∠C．∴△ADE∽△CDA．（2）∵△ADE∽△CDA，DF平分∠ADC，∴DGDEADDFADCD==，

设CE=a，则DE=3CE=3a，CD=4a，∴34aADADa=，解得23ADa=（负值已舍）∴23342DFADaDGCDa===；（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∴∠DAE=∠C=45°，∵DG⊥AE，∴∠DAG=∠ADF=45°，∴AG=DG=2223622AD

aa==，8∴223EGDEDGa=−=，∵∠AED=∠DAC，∴△ADE∽△DFA，∴ADAEDFAD=，∴2463ADDFaAE==−（），∴224DGDF+=.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题

的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确找出证明三角形相似的条件.4.（崇明区25）.如图，在ABC中，10ABAC==，16BC=，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作AD

EB=，射线DE交AC边于点E，过点A作AFAD⊥交射线DE于点F.（1）求证：ABCEBDCD=；（2）当DF平分ADC时，求AE的长；（3）当AEF是等腰三角形时，求BD的长．【整体分析】（1）根据题意证明BDACED∽即可求解；9

（2）根据OF平分ADC得到ADECDE=，再根据//DFAB得到AEBDACBC=得到BADC=，从而得到BDABAC∽，即可求解；（3）过点A作AHBC⊥，垂足为H，根据三线合一得到182BHCHBC===，由勾股定理得出6AH=，再得到3tan4AFA

DFAD==，设3AFk=，则4ADk=，5DFk=，根据BDACED∽得到ADABDECD=，再分①点F在线段DE的延长线上，②点F在线段DE上，当AEF是等腰三角形进行讨论求解.【满分解答】（1）证明：ABACBC==QADCBBAD

=+Q即ADECDEBBAD+=+ADEB=QBADCDE=BDACED∽ABBDCDCE=ABCEBDCD=（2）QOF平分ADC，ADECDE=CDEBAD=QADEBAD=//,AEBDDFABACBC=ADEBC==

QBADC=又BQ是公共角，BDABAC∽102510164BDBABDBDBABC===102541016AE=12532AE=（3）过点A作AHBC⊥，垂足为H,ABACAHBC=⊥Q182BHCHBC===由勾股定理得出6AH=，3ta

n4B=∴,ADEBAFAD=⊥Q3tan4AFADFAD==设3AFk=，则4ADk=，5DFk=，BDACEDQ∽ADABDECD=①点F在线段DE的延长线上，当AEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：1.3FAFEk==，则2DEk=10

45165112kCDBDCDk===−=2.EAEF=，则2.5EDk=104252539162.5444kCDBDCDk===−=3.3AEAFk==，则75DEk=10477251672225

kCDBDCDk===−=②点F在线段DE上，当AEF是等腰三角形时，90AFEADF=+Q11AFE是一个钝角只存在3FAFEk==这种可能，则8DEk=1048kCDk=2016CD=，不符合题意，

舍去综上所述，当AEF是等腰三角形时，BD的长11或394或252.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质.5.（奉贤区25）.如图，已知平行四边形ABCD中，5AD=，5AB=，tan2A=，点E在射线AD上，过点E作EFA

D⊥，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结,CECF，设AEm=.（1）当点E在边AD上时，①求CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当4DCEBFGSS=时，求:AEED值；（2）当点

E在边AD的延长线上时，如果AEF与CFG相似，求m的值.【整体分析】(1)①作EM⊥AB，DN⊥AB，由CEFAFCDAEFDCESSSS=−−，即可求解；②易证：∆AEF~∆BGF，得：222(55)()(5)AEFBGFSBFmSAFm−==VV，即：BGFSV=2

255mm−+，结合=55DCESm−，4DCEBFGSS=，即可得到答案；(2)由∠AEF=∠FGC=90°，AEF与CFG相似，分两种情况讨论：①当AEF~FGC时，②当AEF~CGF时，分别求出答案，即可.【满分解答】的12(1)①作EM⊥AB，DN⊥

AB，如图1，∵tan2A=，∴EM：AM：AE=2：1：5，DN：AN：AD=2：1：5，∵AEm=，∴EM=25255mm=，DN=5225=，∵EFAD⊥，∴tan2=EFAEA=，即：EF=2m，AF=5m，∴CEFAFCDAE

FDCESSSS=−−=11125(55)225(2)2225mmmm+−−−，即：225CEFSmm=−+②∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∆AEF~∆BGF，∴222(55)()(5)AEFBGFSBFmSAFm−==VV，∴

222(55)(5)BGFmSmm−=V=25105255mm−+=2255mm−+，∵1255(2)=5525DCESmm=−−，∴当4DCEBFGSS=时，55m−=24(255)mm−+，解得：1354m=，25m=（舍）∴A

E=354，DE=3155544−=，∴:AEED=3：1；(2)∵∠AEF=∠FGC=90°，∴AEF与CFG相似，分两种情况讨论：①当AEF~FGC时，如图1，∴∠AFE=∠FCG，∵∠AFE+∠GBF=90°，13∴∠FCG+∠GBF=90°，∴∠BFC=9

0°，∴BF：CF：BC=1：2：5，∵BC=AD=5，∴BF=1，∴AF=AB+BF=5+1=6，∵AE：EF：AF=1：2：5，∴AE=6÷5=655，即：m=655；②当AEF~CGF时，如图3，∴∠AFE=∠CFG，在∆BFG和∆CFG中，∵AFECFGGFGFBGFCGF=

==∴∆BFG≅∆CFG(ASA)，∴BG=CG=1522CD=，∵BG：GF：BF=1：2：5，∴BF=52，∴AF=5+52=152，∵AE：EF：AF=1：2：5，∴AE=152÷5=352，即：m=352；综上所述：m=

655或352.14图1图2图3【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，进行分类讨论，画出图形，是解题的关键，体现了数形结合和分类讨论的数学思想.6.（黄埔区25）如图12，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线

AC的两侧，且AD=AC,联结BD、CD，BD交直线AC于点E.（1）当∠CAD=90°时，求线段AE的长.（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD<120°时，设AEx=，BCEAEFS

yS=VV（其中BCESV表示△BCE的面积，AEFSV表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当7BCEAEFSS=VV时，请直接写出线段AE的长.15评分标准：（1）∵△ABC是等边三角形，∴

AB=BC-AC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.∵AD=AC,∴AD=AB.∴∠ABD=∠ADB.∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD=180°，∠CAD=90°，∠ABD=15°.∴∠EBC=45°.……………………………………………………………（1分）过点E作

EG⊥BC，垂足为点G.………………………………………………………（1分）设AEx=，则2ECx=−.在Rt△CGE中，∠ACB=60°，∴3sin(2)2AEGECBxC==−，1cos12CEC

xACBG−==.…………………（1分）∴1212BGEGx=−=+.在Rt△BGE中，∠EBC=45°，∴131(2)22xx+=−.………………………………………………………………（1分）解得4

23x=−.所以线段AE的长是423−.………………………………………………………………（1分）（2）①设ABD=，则BDA=，1202DACBADBAC=−=−o∵AD=AC,AH⊥C

D，∴1602CAFDAC==−o.…………………………………………………………（1分）又∵60AEF=+o，∴60AFE=o.…………………………………………………（1分）∴AFEACB=.ECABDCAB16又∵AEFBEC=，∴△AEF∽△BEC.………

………………………………………（1分）∴22BCEAEFSBESAE=VV.……………………………………………………………………………（1分）由（1）得在Rt△CGE中，112BGx=+，3(2)2EGx=−∴222224BEBGEGxx=+=−+.∴2224xxyx−+

=(02x)………………………………………………………（2分）②当∠CAD<120°时，23AE=；…………………………………………………………（2分）当120°<∠CAD<180°时，1AE=.…………………………

…………………………（2分）7.（嘉定区25）.25.已知：点P在△ABC内，且满足∠APB=∠APC(如下图)，∠APB+∠BAC=180°，（1）求证：△PAB∽△PCA：（2）如下图，如果∠APB=120

°，∠ABC=90°求PCPB的值；（3）如图，当∠BAC=45°，△ABC为等腰三角形时，求tan∠PBC的值.【整体分析】（1）由已知和等量代换得∠PBA=∠PAC，再根据∠APB=∠APC可证明△PAB∽△PCA（2）由△PAB∽△PCA可得PAPBABPCPAAC==，通

过变形得到2PCACPBAB=（），再利用∠APB=120°，∠ABC=90°求出ACAB，则可得出PCPB值.（3）当∠BAC=45°时，可以推出tan∠BPC=2PCACPBAB=（），△ABC为等腰三角形，分BA=BC，CA=CB,AB=AC三种情况，分情况讨论即可.

的17【满分解答】（1）∵∠APB+∠PBA+∠PBA=180°，∠APB+∠BAC=180°∴∠BAC=∠PAB+∠PBA∴∠PBA=∠PAC∵∠APB=∠APC∴△PAB∽△PCA（2）∵△PAB∽△PCA∴PAPBABPCPAAC==∴2PCPCPAA

C.PBPAPBAB==（）∵∠APB=120°∴∠BAC=60°∵∠ABC=90°∴2ACAB=∴PC4PB=（3）18∵∠BAC=45°∴∠APB=135°=∠APC∴∠BPC=90°tan∠BPC=2PCACPBAB=（）

∵∠BAC=45°，△ABC是等腰三角形当BA=BC时，由勾股定理可得2ACAB=，tan∠BPC=2(2)2=当CA=CB时，由勾股定理可得2ABBC=，tan∠BPC=211()22=当AB=AC时，tan∠BPC=1综上所述，tan∠PBC=2或12或1

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形分情况讨论等，能够找到三角形相似的条件和分情况讨论是解题的关键.评分标准：证明：（1）∵=++180APBBAPABP，=+180BACAPB，·····1分∴=++APBBAPABPBAC

APB+.··················1分即=++APBBAPABPCAPBAPAPB++.∴CAPABP=.·····························1分又∵APCAPB=，∴PAB△∽PCA△.··················1分（2）如图

10-1，∵=+180BACAPB，=120APB，∴=60BAC.··1分在ABC△中，∵=90ABC，=60BAC，∴ACAB21=.··········1分又∵PAB△∽PCA△，∴21===ACABPC

PAPAPB.················1分∴41==PCPAPAPBPCPB，即4=PBPC.······················2分（3）∵=45BAC，=+180BACAPB，APCAPB=，∴=APB=135APC.CPABCPAB

CPAB19∴=−−=−−=90135135360360APCAPBBPC.············1分∵PCA△∽PAB△，∴ABACPAPCPBPA==，∴2)(ABACPBPAPAPC

PBPC==.①如图10-2，当ABC△是等腰三角形，且ACAB=时，1)(tan2===ABACPBPCPBC.·····1分②如图10-3，当ABC△是等腰三角形，且BCAB=时，==45BACACB,=90A

BC，易得2=ABAC，∴2)(tan2===ABACPBPCPBC················2分③如图10-4，当ABC△是等腰三角形，且BCAC=时，==45BACABC，=90ACB，易得22=ABAC，∴21)(tan2===ABACPB

PCPBC.·············1分备注：写出2tan=PBC，21tan=PBC这两个答案之中的一个，即可得到2分；两个全部写出，得3分.8.（浦东新区25）.在RtABC中，90,4,3AABAC===，DAB边上一动点（点D与点AB、不重合），联结CD，过点D作DEDC

⊥交边BC于点E．（1）如图，当EDEB=时，求AD的长；（2）设,ADxBEy==，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把BCD沿直线CD翻折得'CDB，联结'AB，当'CAB是等腰三角形时，直接写出AD的长．【整体分析】（1）过E作EM⊥AB于

M，构建“一线三垂直”，即证△ACD∽△MDE,利用相似三角形对应边成比例列比例式，再结合等腰三角形性质求解；为20（2）作EN⊥AB于N，用三角函数将线段EN，BN用y表示，再根据△ACD∽△NDE列出比例式，将比

例式变形求解；（3）作B´H⊥AB,交AB或AB延长线于点H,作B´G⊥AC，交CA延长线于G，构建直角三角形，先结合Rt△AGB´和Rt△CGB´，利用勾股定理求出AG，GB´长，再结合Rt△AB´H和Rt△DB´H，利用勾股定理列含x的方程，即可求解

.【满分解答】解：（1）如图，过E作EM⊥AB，垂足为M,在Rt△CAB中，AC=3，AB=4，∴tanB=34,∵ED=EB,∴DM=BM,设AD=x,则DM=BM=42x−,∴EM=34123428xx--?,∵∠CDE=∠A=∠EMD=90°,∴∠

EDM+∠ADC=90°,∠ACD+∠ADC=90°,∴∠ACD=EDM,∴△ACD∽△MDE,∴ACADDMEM=,∴3412328xxx=--,∴194x=，24x=（不符合题意，舍去）.即94AD=.21（2）如图，过E作EN⊥AB，垂足为N,在Rt△CAB中，AC=3

，AB=4，由勾股定理得BC=5,∴sinB=35,cosB=45,tanB=34,∴EN=35y,BN=45y,∴DN=445yx--∵∠CDE=∠A=∠END=90°,∴∠EDN+∠ADC=90°∠ACD+

∠ADC=90°,∴∠ACD=EDN,∴△ACD∽△NDE,∴ACADDNEN=,∴343455xxxy=--,∴2205(04)94xxyxx−=+（3）如图，过B´作B´H⊥AB,交AB或AB延长线于点H,作B´G⊥AC，交CA延长线于G，,22由折叠可得CB´=CB=5，B

´D=BD=x，∵'CAB是等腰三角形,∴AC=AB´=3，设AG=m，B´G=n,由勾股定理得，m2+n2=32，(m+3)2+n2=52，解得，m=76，n=5116,∴B´H=76，AH=5116,第一种情况：在Rt△B´HD中，由勾股定理得，解得，x=7215114343+即AD=7

215114343+；第二种情况：在Rt△B´HD中，由勾股定理得，解得，x=7215114343+即AD=7215114343−；∴AD=7215114343.【点睛】本题考查三角形相似的综合应用及勾股定理的综合应用，构

建“一线三垂直”得相似三角形和构建直角三角形得勾股定理是解答此题的突破口.239.（普陀区25）如图13，在梯形ABCD中，ADBCP，90C=，2AD=，5BC=，3DC=，点E在边BC上，tan3AEC=，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，

设DMx=，ANy=.（1）求BE的长；（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45，请直接写出这时线段DM的长.【满分解答】

（1）作高，构建直角三角形，利用三角比来求解，2BE=；（2）延长BM，AD交于点G，53DMDGxCBCDMGx==−，53xDGx=−，563233xxAGxx+=+=−−ANAGENBE=，633210xyxy

+−=−.解得：310610(03)12xyxx+=+24【总结】添加辅助线，构造X型，利用比例线段求解；（3）①当45BNE=时，ENBEBA△∽△，2EBENEA=，则有210(3)41012xx−=+，解得：12x=②当45ANB=时，BNAEBA

△∽△，2ABANEA=，则有2210(3)(32)101012xx−=++，解得13x=综上所述：线段DM的长为12或13.【总结】分类讨论，等角转换找到子母型相似.2510.（青浦区2

5）.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6．点P是线段BD上的动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE=DQ=BP，联结EP、EQ．（1）求证：EQ∥DC；（2）如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角

形，求线段BP的长；（3）当BP=m（0<m<5）时，求∠PEQ的正切值．（用含m的式子表示）【整体分析】（1）利用两边成比例且夹角相等可判定△DEQ∽△BCD，从而证得结论；（2）设BP的长为x，则DQ=x，QP=2x-10，利用（1）的结论△DEQ∽△BCD，求得25=

EQx．分类讨论：当EQ=EP、QE=QP时，分别求得答案即可；（3）过点P作PH⊥EQ，交EQ的延长线于点H；过点B作BG⊥DC，垂足为点G，易证得△PHQ∽△BGD，利用对应边成比例通过计算得到PHEH、的值，从而求得答案.【满分解答

】（1）∵AD//BC，∴∠EDQ=∠DBC．∵1=DEDQ，1=BDBC，∴=DEBDDQBC．∴△DEQ∽△BCD．∴∠DQE=∠BDC，∴EQ//CD．（2）设BP的长为x，则DQ=x，QP=2x-10．∵△

DEQ∽△BCD，∴=EQQDDCCB，∴25=EQx．26（i）当EQ=EP时，∴∠EQP=∠EPQ，∵DE=DQ，∴∠EQP=∠QED，∴∠EPQ=∠QED，∴△EQP∽△DEQ，∴EQQPDEEQ=，∴()222105xxx

=−，解得12523x=，或0x=（舍去）．（ii）当QE=QP时，∴22105xx=−，解得254x=，∵2564，∴此种情况不存在．∴12523BP=（3）过点P作PH⊥EQ，交EQ延长线于点H；过点B作BG⊥DC，

垂足为点G．∵BD=BC，BG⊥DC，∴DG=2，BG46=，∵BP=DQ=m，∴PQ=10-2m．∵EQ∥DC∴∠PQH=∠BDG．又∵∠PHQ=∠BGD=90°，∴△PHQ∽△BGD．∴PHPQHQBGBDGD=

=，∴10210246PHmHQ−==．∴1025mHQ−=，()261025mPH−=．∴1022255mmEH−=+=，∴()26102126tan26525mPHPEQmEH−===−的27【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，等腰三

角形的性质，分类讨论是正确解答第(2)小题的关键，作出辅助线构建两个相似的直角三角形是正确解答第(3)小题的关键.11.（松江区25）.已知tan∠MON=2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足为点F.（1）如图（1），作AE⊥ON，

垂足为点E.当m=2时，求线段EF的长度；图（1）（2）如图（2），联结OC，当m=2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；图（2）（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值.图（3

）【整体分析】（1）如图1，延长FC交OM于点G，证∠BCG=∠MON，在Rt△AOE中，设OE=a，可求得OA，OG，OF的长，则655EFOFOE=−=；28（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得25CG

=，推出25COCG==，在Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的长，可求出cos∠COF的值，进一步推出sin∠COF的值；（3）需分情况讨论：当D在∠MON内部时，△FDA∽△FDC时，此时CD=AD=2，m=2；当△FDA∽△CDF时，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，

可利用三角函数求出m的值；当D在∠MON外部时，可利用相似的性质等求出m的值．【满分解答】解：（1）如图1，延长FC交OM于点G，90BCGCGB+=Q，90MONCGB+=，BCGMON=，则tantan2BCGM

ON==，24BGBC==，525CGBC==，在RtAOE中，设OEa=，由tan2MON=，可得5OAa=，则56OGa=+，16555OFOGa==+，655EFOFOE=−=；（2）如图2，29延长FC交OM于点G，由（1）得25CG=，CDQ平分

FCO，FCDDCO=，//CDOMQ，FCDCGO=，DCOCOG=，CGOCOG=，25COCG==，在RtCOB中，由222BCBOOC+=，得2222(52)(25)a++=，解得1655a=−（舍去），2255a=，658555OFa=+=，4

cos5OFCOFOC==，3sin5COF=；（3）当D在MON内部时，①如图31−，30FDAFDC∽时，此时2CDAD==，2m=；②当FDACDF∽时，如图32−，延长CD交ON于点Q，过F作FPCQ⊥于P，则135FDCFDA==，45FDP=，tanta

n22PCFPPFCFPMONFPDPCDDP=====+Qgg，FPPDCDm===，2FDm=，FDACDFQ∽，FDCDDAFD=，2FDADCDm==g，22mm=，1m=；31当D在MON外部时

，90ADF，90DFC，ADFDFC=，DFIFDI=，IDIF=，如图33−，FDADFC∽时，此时FDADFC，2CFAD==，DAFFCDFHD==Q，A、O重合，延长BC交ON于R，24FRCF==，25CR=，225B

R=+，1152mCDABBR====+；如图34−，32FDACFD∽时，设25(0)CFtt=，延长BC交ON于R，过F作FSCD⊥于S，DFCFDHQ，DHFC=，152IDIFCFt===，ISt=，2FSt=，4CSt=，(51)DSt=+，25DHFCt==，F

DACFDQ∽，ADDFDFFC=，2245DFADFCDHt===g，222DFDSFS=+Q，222454(51)ttt=++，解得，1512t−=，20t=（舍去），25552DHtAD==−=，矛盾，综上所述：1m=或2m=，或15m=+．33【点睛】本题考查了解

直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想的运用．12.（徐汇区25）.如图，在ABC中，5ABAC==，6BC=，点D是边AB上的动点（点D不与点,AB重合）

，点G在边AB的延长线上，CDEA=，GBEABC=，DE与边BC交于点F.（1）求cosA的值；（2）当2AACD=时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，:ADBE的值是否会发生变化？如果不变化，请求:ADBE的值；如

果变化，请说明理由.【整体分析】（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．解直角三角形求出BM，AM即可解决问题．（2）设AH交CD于K．首先证明AK=CK，设AK=CK=x，在Rt△CHK中，理由勾股定理求出x，再证明△ADK∽△CDA，理由相似三角形的性质

构建方程组即可解决问题．（3）结论：AD：BE=5：6值不变．证明△ACD∽△BCE，可得56ADACBEBC==．【满分解答】（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．34∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=3，∴2222534AHABBH=−=−=

，∵1122ABCSBCAHACBM==V，∴BM=245BCAHAC=，∴2222247555AMABBM=−=−=，∴7cos25AMAAB==．（2）设AH交CD于K．∵∠BAC=2∠ACD，∠BAH=

∠CAH，∴∠CAK=∠ACK，∴CK=AK，设CK=AK=x，在Rt△CKH中，则有x2=（4-x）2+32，解得x=258，∴AK=CK=258，∵∠ADK=∠ADC，∠DAK=∠ACD，∴△AD

K∽△CDA，∴255885ADAKDKCDACAD====，设AD=m，DK=n，则有252588258mnmnn=+=+，解得125625,39312mn==．∴AD=12539．（3）结论：AD：BE=5：6值不变．

理由：∵∠GBE=∠ABC，∠BAC+2∠ABC=180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC=180°，∴∠EBC=∠BAC，35∵∠EDC=∠BAC，∴∠EBC=∠EDC，∴D，B，E，C四点共圆，∴∠

EDB=∠ECB，∵∠EDB+∠EDC=∠ACD+∠DAC，∠EDC=∠DAC，∴∠EDB=∠ACD，∴∠ECB=∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴56ADACBEBC==．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形

的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．13.（杨浦区25）.已知在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC，在∠PCD内部

作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ=30°.（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP=3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设,BPxCQy==，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果QCEV与BCPV相似，求线段BP的

长.【整体分析】（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，由勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△B

OC，推出∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ，推出PQ=CQ=y，推出PC=3y，在Rt△PHB中，BH=12x，PH=32x，根据PC2=PH2+CH2，可得结论．36（3）分以下几种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左

侧于E．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．③如图④中，点P在AB的延长线上，直线PQ与BC的交点E在线段BC上．分别求解即可.【满分解答】解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠A=120°，∴∠PBH=60°，∵PB=3，∠PHB=90°，∴BH=PB•cos60°=32，PH=PB•sin60°=332，∴CH=BC-BH=4-32=52，∴PC=22PHCH+=13．（2）如图

1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵∠PCQ=30°，∴∠PBO=∠QCO，∵∠POB=∠QOC，∴△POB∽△QOC，37∴POBOQOCO=，∴OPQOBOCO=，∵∠P

OQ=∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ，∴PQ=CQ=y，∴PC=3y，在Rt△PHB中，BH=12x，PH=32x，∵PC2=PH2+CH2，∴3y2=（32x）2+（4-12x）2，∴y=2312834xx−+（0≤x＜8）.（3）①如图2中，若直线QP

交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE=120°，∵∠PBC=60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE=∠ABC

=∠QBC+∠QCP=60°=∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP=∠QCE=75°，38作CF⊥AB于F，则BF=2，CF=23，∠PCF=45°，∴PF=CF=23，此时PB=2+23.③如图4中，若点P在AB的延长线上，直线PQ与BC的交点

E在线段BC上，因为∠EQC=∠PBC=120°，要使QCEV与BCPV相似，只有∠QCE=∠PCE=15°，此时∠BPC=45°，过点C作CF⊥AB于F，可得BF=2，CF=23=PF,此时PB=PF-BF=23-2.综上所述，满足条件的PB的值为2+23或23-2．【点睛】本题考查相似

形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3914（宝山区25）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果O

D＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重

合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．【整体分析】（1）通过证明△ODE∽△OCA，可得，即可求解；（2）通过证明△OEM∽△BAC，可得∠EOM＝∠ABC＝36°，分两种情况

讨论可求解；（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【满分解答】解：（1）∵OC是△ABC中AB边的中线，△ABC的面积为26，∴S△OAC＝13，∵DE∥AC，∴△ODE∽△OCA，∠OEM＝∠OAC，∴，且OD＝k⋅OC，∴S△ODE＝13k2，（2）∵△ODE∽△OCA，∴，∵O

C是△ABC中AB边的中线，点M是DE的中点，40∴AB＝2AO，EM＝DE，∴＝＝，且∠OEM＝∠OAC，∴△OEM∽△BAC，∴∠EOM＝∠ABC＝36°，如图2，当0＜α＜144°时，∵∠AON＝∠B+∠ONB，∴∠AOE+∠EOM＝∠B+∠ONB∴y＝α如图3，当144°＜α＜180°

时，∵∠BON＝∠EOM﹣∠BOE＝36°﹣（180°﹣α）∴∠NOB＝α﹣144°，∵∠BNO＝∠ABC﹣∠NOB＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；（3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠A

BC＝∠BNO＝36°＝α，若OB＝BN，则∠ONB＝＝72°＝α，若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°，∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，当144°＜α＜180°时，若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，∴α＝162°．4115.（虹口区

）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝35，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC

的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．【整体分析】（1）求出AC

＝3，可得∠DAC＝∠FBC，则tan∠FBC＝tan∠DAC＝＝；（2）由条件可得∠AGF＝∠CBF，可得，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则S△DAF＝，可用x表示结果；（3）分两种情况，①当点D在BC的延长

线上时，②当点D在BC的边上时，可求出AE长AD的长，则DE＝AD﹣AE可求出．【满分解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴（3x）2+16＝（5x）2，∴x＝1，即AC＝3，∵BE⊥AD，∴∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠C

FB，∴∠DAC＝∠FBC，42∴tan∠FBC＝tan∠DAC＝＝；（2）∵AG∥BD，∴∠AGF＝∠CBF，∴tan∠AGF＝tan∠CBF，∴，，∴，∴．∴＝．∵∠EAF＝∠CBF，∴，∴，∴S△DAF＝＝；（3）①当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AG＝

8，BC＝4，AG∥BD，∴，∴AF＝2CF，∵AC＝3，∴AF＝2，CF＝1，∴，∴，43设AE＝x，GE＝4x，∴x2+16x2＝82，解得x＝，即AE＝．同理tan∠DAC＝tan∠CBF，∴，∴DC

＝，∴AD＝＝＝．∴＝．②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴，∴，同理，∴，44∴．∴DE＝AE﹣AD＝．综合以上可得DE的长

为或．