【文档说明】黑龙江省绥化市第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(14)页，613.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年黑龙江省绥化二中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数z＝+i3的共轭复数是（）A．1﹣iB．1+iC．D．2．已知向量＝（2，﹣6），＝（m，﹣2），且⊥（﹣），则m的值为（）A．4B．﹣2C．4或﹣2D．4或23．某工厂甲、乙

、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n＝（）A．9B．10C．12D．1

34．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.9，乙解决这个问题的概率是0.8，那么其中至少1人解决这个问题的概率是（）A．0.26B．0.72C．0.98D．0.185．某车间9名工人一天生产某产品的数量

分别为18.8，13，15.7，14.6，15.2，15、14.8，19，17，则所给数据的第75分位数为（）A．14.8B．17C．15.7D．156．设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（）A．B．C．9πD．3π7．已知在△ABC中，a＝2，b＝2，A＝30°，则B＝（）A．

B．C．或D．或8．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，设＝（c﹣a，b），＝（b﹣a，a+c），若∥，则C为（）A．B．C．D．9．空间四边形ABCD的对角线AC＝2，BD＝2，M，N分别为AB，CD的中点，MN＝2，则异面直线M

N与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．110．如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，则PB与平面PAC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．已知，

下列选项中正确的是（）A．B．与同向的单位向量是C．D．12．下列命题中正确的是（）A．垂直于同一条直线的两个平面互相平行B．a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a，c的位置关系也是异面C．已知平面α，β，γ，且α⊥γ，β∥α，

则β⊥γD．已知平面α，β，γ，且α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．i103＝．14．已知向量＝（1，2），＝（1，1），且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是．15．数据x1，x2，…，x

n的平均数为2，方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为；方差为．16．棱长为2的正四面体的表面积是，体积是．三､解答题(每题10分，共计40分)17．袋子中有5张大小形状质地完全相同的卡片，其中2张白色卡片（标号为1和2），3

张黑色卡片（标号为3、4和5），从中不放回的依次随机摸出2张卡片，设事件A＝“第一次摸到白色卡片”，事件B＝“第二次摸到黑色卡片”，事件C＝“两张卡片颜色相同”，（1）用集合的形式写出试验的样本空间Ω并求出P（C）．（2）求P（A∪B）

和P（AB）．18．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的500辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，绘制成如图所示

的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值及车速落在[60，70）的汽车数；（2）求这500辆汽车车速的平均数、中位数和众数．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，且M，N分别

是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求平面角PBC与平面ABCD所成角的正切值．20．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a+c）cosB＝﹣bcosC．（1）求角B的

大小；（2）若b＝，a+c＝5，求△ABC的面积．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数z＝+i3的共轭复数是（）A．1﹣iB．1+iC．D．解：∵z＝+i3＝，∴．故选：D．2．已知向量＝（2，﹣6），＝（m，﹣2），且⊥（﹣），则m的

值为（）A．4B．﹣2C．4或﹣2D．4或2解：根据题意，向量＝（2，﹣6），＝（m，﹣2），则﹣＝（2﹣m，﹣4），若⊥（﹣），则•（﹣）＝m（2﹣m）+8＝0，解可得：m＝4或﹣2，故选：C．3．某工厂甲

、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n＝（）A．9B．10C．12

D．13解：∵甲、乙、丙三个车间的数量之比依次为120：80：60＝6：4：3，现用分层抽样的方法抽出的样本中乙车间抽4件，∴由分层抽样性质，得：＝，解得n＝13．故选：D．4．甲、乙独立地解决同一数学问题，

甲解决这个问题的概率是0.9，乙解决这个问题的概率是0.8，那么其中至少1人解决这个问题的概率是（）A．0.26B．0.72C．0.98D．0.18解：甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.9，乙解决这个问题的概率是0.8，设事件A表示“甲解决这个问题”，事件B表示“乙解决这个

问题”，∴其中至少1人解决这个问题的概率为：P＝1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]＝1﹣0.1×0.2＝0.98．故选：C．5．某车间9名工人一天生产某产品的数量分别为18.8，13，15.7，14.6，15.2，15、14.8，19，17，则所给数据的第75分位数为（

）A．14.8B．17C．15.7D．15解：将9个数据按照从小到大排列为：13，14.6，14.8，15，15.2，15.7，17，18.8，19，因为9×75%＝6.75＞6，所以所给数据的第75分位数为17．故选：B．6．设正方体的棱

长为，则它的外接球的表面积为（）A．B．C．9πD．3π解：正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长，∵正方体的棱长为，∴其对角线长为，则其外接球的半径R＝，外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝9π．故选：C．7．已知在△ABC中，a＝2，b＝2，A

＝30°，则B＝（）A．B．C．或D．或解：在△ABC中，a＝2，b＝2，A＝30°，利用正弦定理：，整理得：，由于：0＜B＜π，故B＝，故选：D．8．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，设＝（c﹣a，b），＝（b﹣a，a+c），若∥，则C为

（）A．B．C．D．解：∵，∴（c﹣a）（a+c）﹣b（b﹣a）＝c2﹣a2﹣b2+ab＝0，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴，且C∈（0，π），∴．故选：B．9．空间四边形ABCD的对角线AC＝2，BD＝2，M，N分别为AB，CD的中点，MN＝2，则异面直线MN与BD所成角的余弦值为（）A

．B．C．D．1解：如图示：作EN∥BD，连接ME，异面直线MN与BD所成角的余弦值即cos∠ENM，∵AC＝2，BD＝2，∴ME＝1，EN＝，又MN＝2，∴△MEN是Rt△，∠MEN＝90°，∴cos∠ENM＝＝，故选：C．10．如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，

C是圆周上一点，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，则PB与平面PAC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：根据题意，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则BC⊥AC，又由PA⊥圆O所在平面，则PA⊥BC，则BC⊥平面PAC，故∠BPC是PB与平面PAC所成角，△ACB中，AC＝3

，BC＝5，AC⊥BC，则AB＝＝，△PAB中，AB＝，PA＝4，PA⊥AB，则PB＝＝5，△ACB中，BC＝5，PB＝5，则sin∠BPC＝＝，故选：A．11．已知，下列选项中正确的是（）A．B．与同向的单位向量是C．D．解

：，所以＝﹣2﹣18＝﹣20，所以A正确；与同向的单位向量是＝，所以B正确；，可知，所以C正确；＝＝，所以D不正确．故选：ABC．12．下列命题中正确的是（）A．垂直于同一条直线的两个平面互相平行B．a、b是异面直线，b、c也是

异面直线，那么a，c的位置关系也是异面C．已知平面α，β，γ，且α⊥γ，β∥α，则β⊥γD．已知平面α，β，γ，且α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ解：由直线与平面垂直的性质可得，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故A正确；a、b是异面直线，b、c也是异

面直线，那么a，c的位置关系也是平行、相交或异面，故B错误；已知平面α，β，γ，且α⊥γ，β∥α，作一平面M⊥γ分别交α、β于a、b，可得a⊥γ，a∥b，则b⊥γ，则β⊥γ，故C正确；已知平面α，β，γ，且α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，如图，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内直线a与b外任取一点

P，作PA⊥a，PB⊥b，则PA⊥l，PB⊥l，可得l⊥γ，故D正确，故选：ACD．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．i103＝﹣i．解：i103＝i4×25+3＝i3＝﹣i，故答案为：﹣i

．14．已知向量＝（1，2），＝（1，1），且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是{λ|}．解：根据题意，向量＝（1，2），＝（1，1），λ+＝（λ+1，2λ+1），若与的夹角为钝角，则•（λ+）＜0且与不共线，即，解可得λ＜﹣，即实数

λ的取值范围是{λ|}；故答案为：{λ|}．15．数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为5；方差为12．解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为3，∴数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为2×

2+1＝5，方差为22×3＝12．故答案为：5，12．16．棱长为2的正四面体的表面积是，体积是．解：如图，ABCD是棱长为2的正四面体，则该正四面体的表面积S＝4××＝；设底面三角形BCD的中心为G，则BG＝，可得AG＝，∴．故答案为：；．三､解答题(每题10分，共

计40分)17．袋子中有5张大小形状质地完全相同的卡片，其中2张白色卡片（标号为1和2），3张黑色卡片（标号为3、4和5），从中不放回的依次随机摸出2张卡片，设事件A＝“第一次摸到白色卡片”，事件B＝“第二次摸到黑色卡片”

，事件C＝“两张卡片颜色相同”，（1）用集合的形式写出试验的样本空间Ω并求出P（C）．（2）求P（A∪B）和P（AB）．解：（1）样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（

2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）}，共20种，事件C＝“两张卡片颜色相同”，包含的基本事件为：

{（1，2），（2，1），（3，4），（3，5），（4，3），（5，3），（4，5），（5，4）}，共8种，所以P（C）＝；（2）事件A＝“第一次摸到白色卡片”，包含的基本事件为：{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5）}，共8个，事件

B＝“第二次摸到黑色卡片”，包含的基本事件为：{（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，3），（4，5），（5，3），（5，4）}，共12个，事件AB＝“第一次摸到白色卡片

，第二次摸到黑色卡片”，包含的基本事件为：{（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）}，共6个，所以，．18．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/h是否合理，对通过该路段的500辆汽车的车速进行检测，将所得数据按

[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值及车速落在[60，70）的汽车数；（2）求这500辆汽车车速的平均数、中位数和众数．解：（1）由频率分布直方图的

性质，可得（a+0.035+0.03+0.01）×10＝1，解得a＝0.025，由图可得，车速落在[60，70）的频率为0.03×10＝0.3，故车速落在[60，70）的汽车数为500×0.3＝150．

（2）由平均数公式可得，＝（45×0.025+55×0.035+65×0.03+75×0.01）×10＝57.5，由中位数的计算方法，可得中位数，根据众数的定义，可得众数．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，且M，N分别是AB，PC的中点．（1）

求证：MN∥平面PAD；（2）求平面角PBC与平面ABCD所成角的正切值．【解答】（1）证明：取PD的中点S，连接AS，SN，因为PN＝NC，PS＝SD，所以NS∥CD且NS＝，又AM＝，AB∥CD且AB＝CD，故AM∥NS且AM＝NS

，则四边形AMNS为平行四边形，所以MN∥AS，又MN⊄平面PAD，AS⊂平面PAD，故MN∥平面PAD；（2）解：因为PA⊥平面ABCD，且BC⊂平面ABCD，则PA⊥BC，因为ABCD为矩形，则BC⊥AB，又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB

，故BC⊥PB，所以∠PBA为二面角P﹣BC﹣A的平面角，在Rt△PAB中，PA＝AB，则∠PBA＝45°，故二面角P﹣BC﹣A的正切值为1．20．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a+c）cosB＝﹣bcosC．（1）求角B的大小

；（2）若b＝，a+c＝5，求△ABC的面积．解：（1）∵（2a+c）cosB＝﹣bcosC，由正弦定理sinBcosC+2sinAcosB+sinCcosB＝0，即sinA+2sinAcosB＝0，∵sinA≠0∴cosB＝﹣，∵0＜B

＜π，∴B＝．（2）由（1）可得B＝，又b＝，a+c＝5，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得19＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣ac＝25﹣ac，解得ac＝6，故得△ABC的面积S＝acsinB＝6×＝．