【文档说明】高中数学人教A版选修2-1教案：2.3.2双曲线的简单几何性质 （系列一）含解析【高考】.doc，共(15)页，97.500 KB，由小赞的店铺上传

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12.3.2双曲线的简单几何性质●三维目标1.知识与技能(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．(2)理解渐近线的证明方法．(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系．2．过程与方法培养学生的观

察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．3．情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．●重点、难点重点：由方程导出性质及其应用．难点：渐近线的理解．从学生的认知水平来看，对渐近线分析

方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点．为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生

讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程．●教学建议本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索相结合的教学方法，体现学生的主体地位．●教学流程提出问题：类比椭圆的几何性质，你能得到双曲线的哪些几何性质？⇒引导观察双曲线图形，分析其几何性质，导出范围、对称性、顶点、离心率

等几何性质.⇒通过引导学生回答所提问题，引出渐近线的概念，理解渐近线的特征.2⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握已知双曲线方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由几何性质求双曲线标准方程的方法.⇒错

误!⇒错误!⇒错误!课标解读1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．能利用双曲线的简单几何性质解题．(难点)双曲线的简单几何性质【问题导思】类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的哪

些几何性质？【提示】范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)续表标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－

x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝ca且e＞1渐近线y＝±baxy＝±abx【问题导思】椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？【提示】双曲线的离心率描

述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.双曲线的相关概念1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．32．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝2.课堂探究由双曲线的方程研究几何性质例题

1求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．【思路探究】【自主解答】双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为x225－y24＝1.∴实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(

5,0)．由c＝a2＋b2＝29，焦点坐标为(29，0)，(－29，0)．离心率e＝ca＝295，渐近线方程y＝±25x.规律方法1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a、b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从

而写出双曲线的几何性质．2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错．变式训练求双曲线16x2－9y2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【解】把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程得y242－x232＝

1，由此可知，实轴长2a＝8，虚轴长2b＝6，c＝a2＋b2＝5.焦点坐标为(0，－5)，(0,5)．离心率e＝ca＝54.顶点坐标为(0，－4)，(0,4)．4渐近线方程为：y＝±43x.由双曲线的几何性质求双曲线的方程

例题2分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．【思路探究】(1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果

不确定该怎么办？(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题意知

2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)当焦点在x轴上时，由ba＝32且a＝3得b＝92.∴所求双曲线标准

方程为x29－4y281＝1.当焦点在y轴上时，由ab＝32且a＝3得b＝2.∴所求双曲线标准方程为y29－x24＝1.(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝

－2，∴双曲线标准方程为y22－x24＝1.规律方法1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a，5b的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之

间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax±By＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)或x2B2－y2A2＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷．3．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)

共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．变式训练已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．【解】法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝

0，当x＝4时，y＝2＜yP＝3.∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.法二

∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.求双曲线的离心率例题3

分别求适合下列条件的双曲线的离心率．(1)双曲线的渐近线方程为y＝±32x；(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为34c.【思路探究】(1)由渐近线方程能得到a、b、c

的关系吗？利用这种关系能求出离心6率吗？(2)由题意你能得到关于a、b、c的什么关系式？【自主解答】(1)若焦点在x轴上，则ba＝32，∴e＝b2a2＋1＝132；若焦点在y轴上，则ab＝32，即ba＝23，∴e＝b2a2＋1＝133.综上可知，双曲线的离

心率为132或133.(2)依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为34c，得aba2＋b2＝34c，即ab＝34c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，即3b4－10a2b2＋3a4＝0，∴3(b2a2)2－10×b

2a2＋3＝0.解得b2a2＝13或b2a2＝3.又∵0＜a＜b，∴b2a2＝3.∴e＝1＋b2a2＝2.规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的

值．而在解题时常把ca或ba视为整体，把关系式转化为关于ca或ba的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a＜b对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．变式训练已知F1，F2是双曲线x2a

2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．7【解】设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得c2a2－y2b2＝1，那么y＝±b2a.∴|PF1|＝b2a.由双曲线对称性，|PF2

|＝|QF2|且∠PF2Q＝90°.知|F1F2|＝12|PQ|＝|PF1|，∴b2a＝2c，则b2＝2ac.∴c2－2ac－a2＝0，∴ca2－2×ca－1＝0.即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋2或e＝1－2(舍去)．∴所求双曲线的离心率为1＋2.忽略点在双曲线上的位置

致误典例已知双曲线方程为x2－y2＝1，双曲线的左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是2，求a＋b的值．【错解】∵P(a，b)到直线y＝x的距离是2.故|a－b|2＝2，∴a－b＝±2.又∵a2－b2＝1，∴(a＋b)(a－b)＝1，∴a＋b＝±12.【错因分析】错解中忽略了点P

在双曲线的左支上，此时，a－b＜0，∴a－b＝－2.【防范措施】由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．【正解】∵点P(a，b)到直线y＝x的距离为2，故|a－b|2＝2，∴a－b＝±2.又∵P在双

曲线的左支上，故a－b＜0，则有a－b＝－2.又∵a2－b2＝1，即(a－b)(a＋b)＝1，∴a＋b＝－12.课堂小结81．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．2

．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：(1)当焦点在x轴上时，渐近线为y＝±bax；当焦点在y轴上时，渐近线为y＝±abx.(2)当渐近线为y＝bax时，可设双曲线标准方程为x2a2－y

2b2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．91．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.x225－y29＝1B.x225－y29＝1或y225－x29＝1C.x2100－y

236＝1D.x2100－y236＝1或y2100－x236＝1【解析】由题意：a＝5，b＝3，且焦点不确定，应选B.【答案】B2．双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是()A．y＝±23xB．y＝±49xC．y＝±32xD．y＝±94x【解析】由题意，焦点在x轴上，

且a＝2，b＝3，故渐近线方程为y＝±32x.【答案】C3．下列曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1【解析】选项B双曲线中a＝2，b＝2，∴c＝6，e＝62.【答案】B4．若双曲线的顶点在x

轴上，两顶点的距离为8，离心率是54，求双曲线的标准方程．【解】由题设，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．10∵2a＝8，∴a＝4，由e＝54＝ca，得c＝5，∴b2＝c2－

a2＝52－42＝9.因此所求双曲线标准方程为x216－y29＝1.课后习题一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是()A.y218－x218＝1B.x218－y218＝1C.x28－y2

8＝1D.y28－x28＝1【解析】设等轴双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a＞0)．∴a2＋a2＝62，∴a2＝18.故双曲线方程为x218－y218＝1.【答案】B2．(2012·湖南高考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，

点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1【解析】由2c＝10得c＝5，∵点P(2,1)在直线y＝bax上，

∴2ba＝1，又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5，故双曲线的方程为x220－y25＝1.【答案】A3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.6B.5C.62D.52

11【解析】∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．又其一条渐近线过点(4，－2)，∴ba＝24，∴a＝2b.因此c＝a2＋b2＝5b.∴离心率e＝ca＝52.【答案】D4．(2013·天门高二

检测)双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝()A.3B．2C．3D．6【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±22x，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，

且r＝|32＋0|2＋4＝3.【答案】A5．(2013·临沂高二检测)双曲线x2a2－y2b2＝1和椭圆x2m2＋y2b2＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是()A

．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】双曲线的离心率e1＝a2＋b2a，椭圆的离心率e2＝m2－b2m，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因

此三角形为直角三角形．【答案】B二、填空题6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.【解析】∵2a＝2,2b＝2－1m，∴－1m＝2，∴m＝－14.12【答案】－147．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦

点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．【解析】双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，离心率e＝ca＝2，∴a＝2，∴b＝c2－a2＝23.∴双曲线方程为x24－y212＝1.令x24－y212＝0，得渐近线方程为3

x±y＝0.【答案】(±4,0)3x±y＝08．(2013·北京高二检测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围为________．【解析】由双曲线的定义有|PF1|－|PF

2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝83a，|PF2|＝23a.容易知道|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即103a≥2c，∴e≤53，又e＞1，故e∈(1，53]．【答案】(1，53]三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x29－y216＝1有共同

渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．【解】(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，则由题意可知－329－23216＝λ，解得λ＝14.∴所求双曲线的标准方程为x294－y24＝1.(2)设所求双曲线方程为x

216－k－y24＋k＝1(16－k＞0,4＋k＞0)，∵双曲线过点(32，2)，∴32216－k－224＋k＝1，解得k＝4或k＝－14(舍)．13∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1.10．双曲线x2a2－y2b2＝1(

a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥45c，求双曲线离心率的取值范围．【解】∵l的方程为：bx＋ay－ab＝0.由点到直线距离公式且a＞1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝ba－

1a2＋b2，点(－1,0)到直线l的距离d2＝ba＋1a2＋b2.s＝d1＋d2＝2abc≥45c.即5ac2－a2≥2c2，即5e2－1≥2e2，∴4e4－25e2＋25≤0，解得54≤e2≤5，∵e＞1，∴52≤e≤5.即e的取值范围为[52，5

]．11．若原点O和点F(－2,0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求OP→·FP→的取值范围．【解】由双曲线方程x2a2－y2＝1(a＞0)知b＝1.又F(－2,0)，∴c＝2.∴a2＋1＝c2＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y

2＝1.设双曲线右支上点P(x，y)，且x≥3.OP→·FP→＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝43x2＋2x－1＝43x＋342－74.∵x≥3，∴当x＝3时，上式有最小值3＋23.14故OP

→·FP→的取值范围为[3＋23，＋∞).(教师用书独具)备选例题已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围，使直线l与双曲线有两个公共点；直线l与双曲线有且只有一个公共点；直线l与双曲线没有公共点．【解】由x2－y2＝4y＝kx－1消去y，得(1－k2)x2

＋2k2x－k2－4＝0.(*)(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上．(

2)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)．①4－3k2＞0，1－k2≠0，即－233＜k＜233，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，

即直线与双曲线有两个公共点．②4－3k2＝0，1－k2≠0，即k＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点．综上所述：当－233＜k＜233，且k≠±1时，直线l与双曲线有两个公共点，当k＝±1或k＝±233时，直线l与双曲线有且只有

一个公共点，当k＜－233或k＞233时，直线l与双曲线没有公共点．备选变式已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．【解】双曲线3x2－y2＝3化为x2－y23＝1，则a＝

1，b＝3，c＝2.15∵直线l过点F2且倾斜角为45°，∴直线l的方程为y＝x－2，代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵x1·x2＝－72＜0，∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72，∴|AB|＝1＋12|x1

－x2|＝2·x1＋x22－4x1x2＝2·－22－4－72＝6.因此弦AB的长为6.