【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 选择性必修一 3-1 椭圆 Word版含解析.docx，共(25)页，1.106 MB，由小赞的店铺上传

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第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)−，(2,0)，并且经过点53,22−，求它的标准方程．解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22221(0)xyabab+=．由椭圆的定义知2c=，22225353222

2102222a=++−+−+−=，所以10a=，所以2221046bac=−=−=．所以，所求椭圆的标准方程为221106xy+=．例2如图3.1-5，在圆224xy+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为

垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？图3.1-5分析：点P在圆224xy+=上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的

坐标所满足的方程．解：设点M的坐标为(,)xy，点P的坐标为()00,xy，则点D的坐标为()0,0x，由点M是线段PD的中点，得0xx=，02yy=．因为点()00,Pxy在圆224xy+=上，所以22004xy+=．①把0xx=，02yy=代入方程①，得

2244xy+=，即2214xy+=．所以点M的轨迹是椭圆．例3如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为(5,0)−，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49−，求点M的轨迹方程．图3.1-6分析：设点M的坐标为

(,)xy，那么直线AM，BM的斜率就可用含x，y的关系式分别表示．由直线AM，BM的斜率之积是49−，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(,)xy，因为点A的坐标是(5,

0)−，所以直线AM的斜率(5)5AMykxx=−+．同理，直线BM的斜率(5)5BMykxx=−．由已知，有4(5)559yyxxx=−+−，化简，得点M的轨迹方程为221(5)100259xyx+=．点M的轨迹是除去(5,

0)−，(5,0)两点的椭圆．练习1.如果椭圆22110036xy+=上一点P到焦点1F的距离等于6，则点P到另一个焦点2F的距离为____【答案】14【解析】【分析】根据椭圆的定义122PFPFa+=及椭圆22110036xy+=上一点P到焦点1F的距离等于6，可得2PF的

长.【详解】解：根据椭圆的定义122PFPFa+=，又椭圆22110036xy+=上一点P到焦点1F的距离等于6，2620PF+=，故214PF=，故答案：14.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单性质，相对简单.2.求适合下列条件的椭圆的标

准方程．（1）4a=，1b=，焦点在x轴上；（2）4a=，15c=，焦点在y轴上；（3）10ab+=，25c=．【答案】（1）22116xy+=；（2）22116yx+=；（3）2213616xy+=或2213616yx+=.【解析】【分析】

（1）根据已知直接得出方程；（2）根据已知求得b，即可得出方程；（3）由已知联立求得,ab即可得出方程.【详解】（1）4a=，1b=，焦点在x轴上的椭圆方程为22116xy+=；（2）由4a=，15c=可得2221bac=−

=，又焦点在y轴上，所以标准方程为22116yx+=；（3）联立2221025abcabc+===+，解得6,4ab==，所以标准方程为2213616xy+=或2213616yx+=.3.已知经过椭圆2212516xy+=的右焦点2F作垂直于x轴的直线AB

,交椭圆于,AB两点,1F是椭圆的左焦点.（1）求1AFB的周长;（2）如果AB不垂直于x轴,1AFB的周长有变化吗?为什么?【答案】（1）20；（2）不变，理由见解析【解析】【分析】根据椭圆的定义1AFB的周长为12124AFAFBFBFa+++=求解.【详解】（1）由椭圆

的定义得：1212210,210AFAFaBFBFa+==+==，所以1AFB的周长为1212420AFAFBFBFa+++==.（2）不变，由椭圆的定义1AFB的周长为12124AFAFBFBFa+

++=.只受a的影响，不受AB与x轴的位置关系影响.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4.已知A，B两点的坐标分别是(1,0)−，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为

什么？【答案】点M的轨迹是直线3x=−，并去掉点()3,0−【解析】【分析】设出点M的坐标，求出直线,AMBM斜率，由2AMBMkk=可求出.【详解】设点M的坐标为(),xy，则()11AMykxx=−+，()11BMykxx=−，当0y时，121AM

BMkxkx−==+，整理得()30xy=−，所以点M的轨迹是直线3x=−，并去掉点()3,0−.3.1.2椭圆的简单几何性质例4求椭圆221625400xy+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把原方程化成标准方程，得2222154xy+=，于是5a=，4b

=，25163c=−=．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是210a=和28b=，离心率35cea==，两个焦点坐标分别是1(3,0)F−和2(3,0)F，四个顶点坐标分别是1(5,0)A−，2(5),0A，1(0,4)B−和2(0,4)B．练习5.你能

用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？【答案】能.依据见解析.【解析】【分析】根据椭圆中222abc=+的几何表示，即原点、焦点、短轴端点构成直角三角形，且体现222abc=+求解.【详解】能.如图，以点2B(或1B)为圆心,2||OA(或1||OA)为半径画圆弧，与x轴交于点12,F

F，则点12,FF就是椭圆的两个焦点.依据：因为在22RtBOF△中，2222||,||||OBbBFOAa===，所以2||OFc=，同理有1||OFc=.6.求下列椭圆的焦点坐标：（1）22110

036xy+=；（2）2228xy+=．【答案】（1）()8,0和()8,0−；（2）()0,2和()0,2−【解析】【分析】由椭圆方程得到2a，2b，根据222cab=−求出c，即可得解；【详解】解：（1）因为椭圆方程为22110036xy+=，焦点在x轴，所以210

0a=，236b=，因为222cab=−，即22100368cab=−=−=，所以椭圆的焦点坐标为()8,0和()8,0−（2）因为2228xy+=，所以22184yx+=，焦点在y轴，所以28a=，24b=，因为222cab=−，即22842cab=−=−=，所

以椭圆的焦点坐标为()0,2和()0,2−7.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．【答案】（1）2213632xy+=（2）2212516yx+=【

解析】【详解】试题分析：（1）由离心率公式，求得c，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；（2）由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程试题解析：（1）a=6，e=，即，

解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1．考点：椭圆方程及性质8.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过(3,0)P−，(0,2)Q−两点；（2）

长轴长等于20，离心率等于35．【答案】（1）22194xy+=（2）22110064xy+=或22110064yx+=.【解析】【分析】（1）设出椭圆方程,根据椭圆经过点()30A−,,()0,2B−,得出32ab==,代入方程即可.（2）由条件可得22035aca==,则

可得1068acb===,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可.【详解】解:（1）设椭圆方程为:22221xyab+=,因为椭圆经过点()30A−,,()0,2B−,()30A−,,()0,2B−分别为左顶点和下顶点,所以得32ab==,所以椭圆标准方程为22194xy+=.（2

）椭圆的长轴长等于20,离心率等于35依题意:22035aca==,所以106ac==，由22264,bac=−=即8b=所以椭圆标准方程为:22110064xy+=或22110064yx+=.9.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更

接近于圆？为什么？（1）22936xy+=与2211612xy+=；（2）22936xy+=与221610xy+=．【答案】（1）2211612xy+=更接近于圆；（2）221610xy+=更接近于圆.【解析】【分析】探究可得离心率e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.所以只需比较离心率的大小即可

得出结果.【详解】因为椭圆的离心率21cbeaa==−，所以e越大，ba越小，椭圆越扁；e越小，ba越大，椭圆越圆.（1）椭圆22936xy+=即221436xy+=，其离心率14221363e=−=，椭圆2211612xy+=的离心率21211162e=−=，因为21e

e，所以椭圆2211612xy+=更接近于圆；（2）椭圆22936xy+=即221364xy+=，其离心率34221363e=−=，椭圆221610xy+=的离心率46101105e=−=，因为43ee，所以椭圆221610xy+=更接近于圆.例5如

图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F上，片门位于另一个焦点2F上．由椭圆一个焦点1F发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F．已知12BCFF⊥，12.

8cmFB=，124.5cmFF=．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）．图3.1-11解：建立如图3.1-11所示平面直角坐标系，设所求椭圆方程为22221(0)xyabab+=

．在12RtBFF中，222221122.84.5FBFBFF=+=+．由椭圆的性质知，122FBFBa+=，所以()()2212112.82.84.54.122aFBFB=+=++；22224.12.253.4bac=−=−．的所以，所求的椭圆方程为22

2214.134xy+=．例6动点(,)Mxy与定点(4,0)F的距离和M到定直线25:4lx=的距离的比是常数45，求动点M的轨迹．解：如图3.1-12，设d是点M到直线25:4lx=的距离，根据题意，动点M轨迹就是集合𝑃={𝑀||𝑀𝐹|𝑑=4

5}．由此得22(4)42554xyx−+=−．将上式两边平方，并化简，得22925225xy+=，即221259xy+=．所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．例7如图3.1-13，已知直线:450lxym−+=和椭圆22:1259xyC+=．m为何值时，直线l与椭圆C：

（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？图3.1-13分析：直线l与椭圆C的公共点的个数与方程组的{4𝑥−5𝑦+𝑚=0,𝑥225+𝑦29=1解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答．解：由方程组{4𝑥−

5𝑦+𝑚=0,𝑥225+𝑦29=1消去y，得222582250xmxm++−=．①方程①的根的判别式()()2222644252253625mmm=−−=−．由0，得2525m−．此时方程①有两

个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．由0=，得125m=，225m=−．此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．由，得25m−，或25m．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．练习10.求

下列直线与椭圆的交点坐标：（1）310250xy+−=，221254xy+=；（2）320xy−+=，221164xy+=．【答案】（1）83,5；（2）()0,2，4870,3737−−.【解析】【分析】联立直线方程与椭圆方程，解方程组，方程组得解即

为其交点坐标.【详解】（1）联立223102501254xyxy+−=+=，消去y，得2(3)0x−=，即3x=，代入310250xy+−=得85y=，所以310250xy+−=与221254xy+=的交点坐

标为83,5；（2）同理可得320xy−+=与221164xy+=的交点坐标为()0,2，4870,3737−−.11.经过椭圆2212xy+=的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长.【答案】827【解析】【分析】求出椭圆的左

焦点1(1,0)F−，根据点斜式设出AB方程，联立直线方程与椭圆方程消去y，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦AB的长．【详解】椭圆方程为2212xy+=，焦点分别为1(1,0)F−，2(1,0)F，直线AB过左焦点1F倾斜角为60，直线AB的方程为3(1)yx=+，将AB方程与椭圆

方程消去y，得271240xx++=设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，可得12127xx+=−，1247xx=21212442||()4777xx−=−−=因此，1282||13||7ABxx=+−=．故答案为：827【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的

计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.习题3.1复习巩固12.如果点(,)Mxy在运动过程中，总满足关系式2222(3)(3)10xyxy+−+++=，那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程．【答案

】椭圆，理由见解析，2251162xy+=【解析】【分析】由2222(3)(3)10xyxy+−+++=的意义及椭圆的定义即可求解.【详解】点M的轨迹是椭圆，由(,)Mxy满足2222(3)(3)10xyxy+−+++=可知，动点(,)M

xy到定点(0,3),(0,3)−的距离之和为10，且106，所以动点的轨迹为椭圆.由210,26ac==可得，22225916bac=−=−=，焦点(0,3),(0,3)−在y轴上，所以椭圆的标准方程为：2251

162xy+=13.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点坐标分别为(0,4)−，(0,4)，5a=；（2）10ac+=，4ac−=．【答案】（1）221259yx+=（2）2214940xy+=或2214940y

x+=【解析】【分析】（1）由条件可得椭圆焦点在y轴上且4c=，由5a=，求出b得到答案.（2）由10ac+=，4ac−=，解出,ac，求出b，根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可得到答案.【详解】（1）由焦点坐标分别为(0,4)−，(0,4)，则椭圆焦点在y轴上.所以4

c=，设椭圆方程为:()222210yxabab+=,所以2222543bac=−=−=所以椭圆方程为:221259yx+=（2）由10ac+=，4ac−=，解得7,3ac==22249940bac=−=−=所以椭圆方程为:2214940xy+=或2214940yx+=14

.求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出图形：（1）22416+=xy；（2）22981xy+=．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】将椭圆方程改写为标准形式，即可确定a、b、c及长轴、短轴的位置，进而求出（1）（

2）椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出椭圆图形.【详解】（1）由题设，椭圆的标准方程为221164xy+=，∴4,2,23abc===且长轴在x轴上，长轴长28a=，短轴长24b=，∴32cea==，焦点坐标为(23,0)，顶点坐标为(4,0

)、(0,2)，（2）由题设，椭圆的标准方程为221981xy+=，∴9,3,62abc===且长轴在y轴上，长轴长218a=，短轴长26b=，∴223cea==，焦点坐标为(0,62)，顶点坐标为

(0,9)、(3,0)±，15.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过(22,0)P−，(0,5)Q两点；（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P；（3）焦距是8，离心率等于0.8．【答案】（1）2285xy+=1；（2）2219

xy+=或221279yx+=；（3）221259xy+=或221925xy+=【解析】【分析】（1）根据题意，分析可得要求的椭圆的焦点在x轴上，且22a=，b5=，将a、b的值代入椭圆的标准方程即可得答案；（2）根据题意，分析可得：a＝3b，分2种情况讨论椭圆的焦点位置，综合即可得答

案；（3）依题意求出c、a，再根据222acb−=，求出2b，最后根据焦点的位置分类讨论即可；【详解】解：（1）根据题意，椭圆经过点(22,0)P−，(0,5)Q，且225，则椭圆的焦点在x轴上，且22a=，b5=，则椭圆的方程为：2285xy+=1；（2）根据题意，要求椭圆

长轴长是短轴长的3倍，即3ab=，若椭圆经过点(3,0)P，分2种情况讨论：①椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝1，椭圆的标准方程为：2219xy+=，②椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，a＝9，椭圆的标准方程为：221279yx

+=，（3）根据题意，28c=即4c=，又0.8cea==，所以5a=，因为222acb−=，所以29b=若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为：221259xy+=．若椭圆的焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为：221925xy+=．16.已知P是椭圆22154xy+=上的一点，且以点P及焦点1

F，2F为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．【答案】15,12，15,12−，15,12−，15,12−−.【解析】【分析】设(),Px

y是椭圆上一点，由面积可得1y=，代入椭圆可得152x=，即可求出坐标.【详解】由椭圆方程可得()()121,0,1,0FF−，设(),Pxy是椭圆上一点，则1212112PFFSFFyy===，代入椭圆

21154x+=，则152x=，所以点P的坐标为15,12，15,12−，15,12−，15,12−−.17.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径

OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？【答案】椭圆，理由见解析【解析】【分析】如图，连接QA，由题得||+||QAQOr=，且||rOA,即得点Q的轨迹是椭圆.【详解】如图，连接QA，则||||PQQA=,所以||||rOQQA−=,所以||+||QAQOr

=，且||rOA,所以当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是椭圆.【点睛】本题主要考查轨迹问题，考查椭圆的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点

（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约81.510km），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程．【答案】（1）2212.42210028

.2166618xy+=【解析】【分析】以近日点和远日点的中点为坐标原点，近日点和远日点连线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，从而可得5.5631.486acac+=−=，解出,ac，求出2b可得答案.【详解】以近日点和远日点的中点

为坐标原点，近日点和远日点连线所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设该椭圆的方程为()222210xyabab+=，222cab=−由条件可得5.5631.486acac+=−=，解得3.52452.0385ac==所以()223.524512.

4221002a==，()()2228.266618bacacac=−=+−=所以2212.42210028.2166618xy+=19.点(),Mxy与定点()2,0F的距离和它到定直线8x=的距离的比是1:2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

【答案】2211612xy+=；椭圆．【解析】【分析】用坐标表示已知条件，列出方程并化简可得点M的轨迹方程．【详解】设d是点M到直线8x=的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MFPMd==，由此得()22

21|8|2xyx−+=−．将上式两边平方，并化简，得223448xy+=，即点M的轨迹方程为：2211612xy+=；轨迹是椭圆．综合运用20.如图，DPx⊥轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且||3||2DMDP=，当点P在圆224xy+=上运动时，求点M的轨迹方程，并

说明轨迹的形状．【答案】点M的轨迹方程为221,(0)49xyy+=，点M的轨迹为椭圆，除去与x轴的交点【解析】【分析】设点M的坐标为(),xy，点()00,Pxy，可得0032xxyy==，根据点P在圆上即可求出.【详解】设点M的坐

标为(),xy，点()00,Pxy，由题意可知00y，则由题可得0032xxyy==，即0023xxyy==，点P在圆224xy+=上运动，2224,(0)3xyy+=，即点M的轨迹方程为221,(0)49xyy+=，点M的轨

迹为椭圆，除去与x轴的交点.21.一动圆与圆22650xyx+++=外切，同时与圆226910xyx+−−=内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?【答案】2213627xy+=；椭圆.【解析】【分析】

利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程．【详解】设动圆圆心为(,)Mxy，半径为R，设圆22650xyx+++=和圆226910x

yx+−−=的圆心分别为1O、2O，将圆的方程分别配方得：圆()221:34Oxy++=，圆()222:3100Oxy−+=当动圆M与圆1O相外切时，有12OMR=+…①当动圆M与圆2O相内切时，有210OMR=−…②将①

②两式相加，得121212OMOMOO+=，∴动圆圆心(,)Mxy到点10()3,O−和2()3,0O的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为点10()3,O−、2()3,0O，长轴长等于12的椭圆．设该椭圆的长轴为2a，短轴为2b

，焦距为2c；∴26,212ca==，∴3,6ca==∴236927b=−=∴动圆圆心轨迹方程为2213627xy+=，轨迹为椭圆．【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键．22.如图，矩形ABC

D中，||2ABa=，||2(0)BCbab=．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R，S，T是线段CF的四等分点．证明直线ER与GR、ES与GS、ET与GT的交点L，M，N都在椭圆22

221(0)xyabab+=上．【答案】证明见解析.【解析】【分析】先求出直线,ERGR的方程，再求出它们的交点L的坐标，再证明L在椭圆上，同理可得ES与GS、ET与GT的交点M，N都在椭圆

22221(0)xyabab+=上．【详解】由题得(0,)Eb−，1(,0)4Ra，所以414ERbbkaa−==−，所以直线ER的方程为4byxba=−，（1）由题得3(0,),R(,)4Gbab，所以3404GRbbbkaa−==−−，所以直线GR的方程为4byxba=−+，（

2）联立方程（1）（2）解之得815,,1717abxy==所以直线,ERGR的交点为815(,)1717abL，代入椭圆方程得2222226528421989abab+=，所以直线,ERGR的交点L在椭圆上.同理ES与GS、ET与GT的交点M，N都在椭圆22221(0)xyabab+=

上．23.已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010kma=，离心率0.0192e=的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．【答案】1.5288×108km，1.4712×1

08km【解析】【分析】根据地球到太阳的最大距离是a+c，最小距离是a﹣c，即可求得结论．【详解】∵椭圆的长半轴长约为=a1.5×108km，离心率e＝0.0192，∴半焦距约为cae==2.88×106km，∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.

5288×108km，最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km．拓广探索24.已知椭圆221259xy+=，直线:45400lxy−+=．椭圆上是否存在一点，使得：（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？（2）它到直线l的距离最大？

最大距离是多少？【答案】（1）存在点94,5P−到直线距离最小，最小值为154141；（2）存在点94,5P−到直线距离最小，最小值为654141.【解析】【分析】设椭圆上点(5cos,3sin)P，利用点到直

线距离公式求出距离，根据三角函数的性质可求得.【详解】设椭圆上点(5cos,3sin)P，则点P到直线l距离22|45cos53sin40|5|4cos3sin8|414(5)d−+−+==+−4355cossin8555|5cos(

)8|4141−+++==，其中43cos,sin55jj==，（1）当cos()1+=−时，min1515414141d==，此时2,kkZ+=+，即2,kkZ=−+，所以4coscos(2)cos5k

=−+=−=−，3sinsin(2)sin5k=−+==，所以存在点94,5P−到直线距离最小，最小值为154141；（2）当cos()1+=时，max6565414141d==，

此时2,kkZ+=，即2,kkZ=−+，所以4coscos(2)cos5k=−+==，3sinsin(2)sin5k=−+=−=−，所以存在点94,5P−到直线距离最大，最大值为654141；25.

已知椭圆22149xy+=，一组平行直线的斜率是32．（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．【答案】（1）纵截距在(32−，32)时与椭圆相交；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出平行直线的方程：32yxm=+，

代入椭圆方程，消去y，由判别式大于0，可得m的范围；（2）运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论．【详解】（1）设一组平行直线的方程为32yxm=+，代入椭圆方程，可得222994(3)364xxmxm+++=，即为221812436

0xmxm++−=，由判别式大于0，可得2214472(436)0mm−−，解得3232m−，则这组平行直线的纵截距在(32−，32)，与椭圆相交；（2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得2218124360xmxm++−=，即有1223xxm+=−，代入直线方程可得截得

弦的中点为1(3m−，1)2m，由1312xmym=−=，消去m，可得32yx=−．则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线32yx=−上．