【文档说明】四川省南充高级中学2021-2022学年高二下学期入学考试数学（理）试题 含解析.docx，共(20)页，1.151 MB，由管理员店铺上传

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南充高中高2020级高二下学期入学考试数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1.直线(310axa

yaR++=且)0a的倾斜角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】由直线方程可知其斜率，根据斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】直线方程可化为：13yxa=−−，直线的斜率3k=−，直线的倾斜角为23.故选：C.2.设x、y满足24122xyxyxy+−

−−则zxy=+（）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最小值3，无最大值D.既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】【分析】先作出不等式的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式的可

行域如图所示，由题知yxz=−+，直线的纵截距为z,当直线yxz=−+经过点A时，直线的纵截距z最小，联立2422xyxy+=−=，得(2,0)A，所以z最小2，由于纵截距没有最大值，所以z没有最大值

.故选：B.3.命题“若0xR，201x”的否定是（）A.xR，21xB.xR，21xC.xR，21xD.xR，21x【答案】C【解析】【分析】利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题“若0xR，201x”为特称命题，该命题的否定为“xR，21x”

.故选：C.4.已知斜率为1的直线1l与圆()22:11Cxy++=相切于点P，经过点P且与1l垂直的直线2l的方程为（）A.10xy++=B.10xy+−=C.10xy−+=D.10xy−−=【答案】A【解析】【分析】由1l与2l垂直可求

出直线2l的斜率为1−，由于2l过切点且与切线垂直，所以可知直线2l过圆心，从而可求出直线2l的方程【详解】圆()22:11Cxy++=的圆心为(1,0)C−，因为1l与2l垂直，直线1l的斜率为1，所以直线2l的斜率为1−，因为直线1l与圆()22:11Cx

y++=相切于点P，经过点P且与1l垂直的直线为2l，所以直线2l过圆心(1,0)C−，所以直线2l的方程为0(1)yx−=−+，即10xy++=，故选：A5.篮球比赛中，张英皓同学投球三次，设事件A为“三次投

球全不是三分球”，事件B为“三次全是三分球”，事件C为“三次投球不全是三分球”，则下列结论正确的是（）A.A与C对立B.B与C对立C.任两个均对立D.任两个均不对立【答案】B【解析】【分析】根据对立事件的定义判断可得；【详解】解：篮球比赛中，张英皓同

学投球三次，设事件A为“三次投球全不是三分球”，事件B为“三次全是三分球”，事件C为“三次投球不全是三分球”，对于A，事件A与事件C能同时发生，不是对立事件，故A错误；对于B，事件B与事件C是对立事件，故B正确；对于C，事件A与事件C能同时发生，不是对立事件，故C错误；对于D，事件B与事

件C是对立事件，故D错误．故选：B．6.在正方体1111ABCDABCD−中，AC与BD的交点为M.设1,,ABaADbAAc===则下列向量与1BM相等的向量是（）A.1122abc−−−B.1122abc−++C.1122abc−+−D.1122abc+−【答案】C【解析】【分析】根据空

间向量的运算法则，推出1BM的向量表示，可得答案.【详解】11111111()()2222BMBBBABBMCAAABADAAabc=−=+−=−+−=−+−，故选：C7.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为0.9，则判

断框内可填入的条件是（）A.i<10B.i>10C.i<9D.i<8【答案】A【解析】【分析】根据程序功能计算0.9S=时i值，然后确定循环条件．【详解】由程序框图知，111111111110.91223(1)22311Siiiii=+++=−+−++−=−=

+++，解得9i=，由于计算S后，赋值1ii=+，因此循环条件是10i，故选：A．8.若动点111222(,),(,)pxypxy分别在直线12:50,:150lxylxy−−=−−=上移动，则12PP的中点P到原点的距离的最小值是(）A.52B.1522C.152D.522.是【答案】A

【解析】【分析】先确定12PP的中点P轨迹，再根据点到直线距离公式求最小值.【详解】因为12//ll,所以12PP的中点P轨迹为直线：15502xy+−−=，100xy−−=，因此P到原点的距离的最小值是|-10|=522，选A.【点睛】本题考查点到直线距离公式，考查基本求解能力.

9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝3,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】【详解】取AC的中点F,连接DF,BF,因为D,

E分别是AC1和BB1的中点,所以DF=BE,且DF//BE,所以四边形DEBF是平行四边形,所以DE//BF,过点F作FG垂直于BC，交BC于点G，由题意得FBG等于直线DE与平面BB1C1C所成的角,因为AB＝1,AC＝2,

BC＝3,所以90,30ABCBCA==，CF=FA=FB=1,所以∠FBG=30°.即直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A．10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含带一个有趣的数学问题

—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221xy+，若将军从点()1,2P−处出发，河岸线所在直线方程为35xy+=，并假定将军只要到达军营所

在区域即回到军营，则“将军饮马回首”的最短总路程为A.4B.5C.3102D.51−【答案】A【解析】【分析】先求出点()1,2P−关于直线35xy+=的对称点(),Qab，再求得点Q到圆心O的距离减去半径即可.详解】如图所示：设点()1,2P−关于直线35x

y+=的对称点为(),Qab，则231123522baab+=−+−+=，交点34ab==，所以()3,4Q，点Q到圆心O的距离为22345OQ=+=，所以“将军饮马回首”的最短总路程为4故选：A11.已知直线:sincos1lxaya−

=，其中a为常数且[0,2)a．有以下结论：①直线l的倾斜角为a；②无论a为何值，直线l总与一定圆相切；③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；④若(,)pxy是直线l上的任意一点，

则221xy+．其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【【详解】对于①，直线l的倾斜角的取值范围为[0,)，与角a的不同，故①错误；对于②，

(0,0)点到直线的距离为2211sin(cos)aa=+−，则无论a为何值，直线l总与221xy+=相切，故②正确；对于③，若直线l与两坐标轴都相交，则截距分别为1sina，1cosa−，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112

sincossin2aaa=，故③正确；对于④，由②知直线l总与221xy+=相切，则直线l上的点到原点的距离大于等于1，即221xy+，故④正确；综上所述，②③④共3个正确；故选：C12.已知圆22:20Cxyx+−=与直

线:20(0)lmxymm−+=，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若线段AB长度的最小值为3，则实数m的值为（）A.32B.223C.334D.255【答案】D【解析】【分析】设02ACP=，则||2sinAB=，则由题意可求得3=，从而可得min||

2CP=，而CP的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值【详解】圆22:(1)1Cxy−+=，设02ACP=，则||2sinAB=，因为min||3AB=，所以min3(sin)2=，又02，所以32

，又1||cosCP=，所以min1||2cos3CP==，即2|2|21mmm+=+，又0m，所以255m=．故选：D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.摇两次骰子，将结果记为m，n，则mn为整数的

概率是___________.【答案】718【解析】【分析】先列出两次骰子的所有可能结果，在列出相除为整数的结果，最后相除可得结果.【详解】记摇两次骰子的结果为(),mn，则共有()()()()1,1,1

,2,1,3,6,6共36种情况，mn为整数的有：()()()()()()()()1,1,2,1,2,2,3,1,3,3,4,1,4,2,4,4,()()()()()()5,1,5,5,6,1,6,2,6,3,6,6共14种情况.mn为整数的概率为1436=718故

答案为：71814.如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的

内圈半径为1，外圈半径为1．2，相邻圆环圆心水平距离为2．6，两排圆环圆心垂直距离为1．1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为___________．【答案】2.9##29010【解析】【分析】根据题意作出辅助线直接求解即可.【详解】如图所示，由题意可知2.6AB=，在ABC中，取AB的中点

D，连接CD，所以1.3BD=，1.1CD=，又因为ACBC=，所以ABCD⊥，所以221.11.32.9BC=+=．即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为2.9.故答案为：2.915.张华和李明相约周日早上8：00～9：00到

市图书大厦门口见面，规定先到的同学等候20分钟，若还没有等到，则可以离去，则他们两个可以见面的概率为________．【答案】59【解析】【分析】根据题意设所有情况构成的区域为Ω(,)01,01xyxy=，满足条件的事件为1{(,)01,01,}3Pxyxyxy

=−，结合图象，利用几何概型的概率公式计算即可.【详解】由题意得，如图，设张华到的时间为x，李明到的时间为y，(,)xy可以看成平面中的点，所有情况构成的区域为Ω(,)01,01xyxy=，则对应的

面积为1；两人见面所包含的基本事件构成的区域为：1{(,)01,01,}3Pxyxyxy=−，则12(0,)(,1)(0,1)33DEA，，，所以ADE的面积为12222339S==，则事件P对应的集合表示的面积为251299

−=，由几何概型概率公式，得55919P==，所以两人见面的概率为59.故答案为：59.16.设mR，圆22:260Mxyxy+−−=，若动直线1:20lxmym+−−=与圆M交于点A、C，动直线2210:mxy

lm−−+=与圆M交于点B、D，则ACBD+的最大值是________．【答案】230【解析】【分析】求出圆圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出ACBD+，利用基本不等式即可求

出其最大值.【详解】2222260(1)(3)10xyxyxy+−−=−+−=，圆心M(1，3)，半径r＝10，()120210xmymxmyl+−−=−+−=过定点E(2,1)，()2210210mxymmxyl−−+=−−+=过定点E(2,1)，且1

l⊥2l，如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形，的设MFd=，05dME=，则222225MGMEEGMEMFd=−=−=−，则ACBD+＝()()222221021052105dddd−+−−=−++()2

222105dd−++=„230，当且仅当22105dd−=+即102d=时取等号.故答案为：230.三、解答题（本题共6小题，共计70分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.如图，在△ABC中，已知A(5，－2)

，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求AB边上的中线所在直线方程．【答案】（1）(－5，－3)；（2）7x－22y－31＝0.【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意得到可设设M(0，a)，N(

b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，根据中点坐标公式得到点C的坐标；（2）根据中点坐标公式得到点P的坐标为16,2，由两点式得到AB中线所在直线的方程.解析：（1）设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B

(7,3)，又M是AC的中点，∴5＋m＝0，m＝－5，N是BC的中点，∴3＋n＝0，n＝－3，∴C点坐标为(－5，－3)，（2）设AB的中点为P，则点P的坐标为16,2由两点式得AB边中线所在直线方程为3516532yx++=++整理得：

7x－22y－31＝0.18.已知命题p：2,10xRaxax++，命题:213qa−．(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【答案】(1))0,4(2)())1,02,4−【解析】【分析】

（1）根据命题为真命题，分类讨论a是否为0；再根据开口及判别式即可求得a的取值范围．（2）根据复合命题的真假关系，得出p,q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解可得范围.【详解】根据复合命题真假，讨论p真q假，p假q真两种情况下a的取值范围．（1）命题p是真命题时，21>0

axax++在R范围内恒成立，∴①当0a=时，有10恒成立；②当0a时，有2040aaa=−，解得：04a；∴a的取值范围为：)0,4.（2）∵pq是真命题，pq是假命题，∴p，q中一个

为真命题，一个为假命题，由q为真时得由213a−，解得1a2−，故有：①p真q假时，有041aa−或042aa，解得：24a；②p假q真时，有012aa−或412aa−，解得：10a−；∴a的取值

范围为：())1,02,4−.【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题．19.“一切为了每位学生的发展”是新课程改革的核心理念．新高考取消文理分科，采用选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．新高考模式下，学生是否选择物理为高考考试科目对大学

专业选择有着非常重要的意义．某校为了解高一年级600名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照[4050)，，[5060)，，[6070)，，[7080)，，[8090)，，[9010

0]，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这600名学生中物理测试成绩在[5060)，内的频数，并且补全这个频率分布直方图；（2）学校建议本次物理测试成绩不低于a分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，试求a的估计值．（结

果精确到0.1）【答案】（1）频数90，作图见解析（2）66.7a【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积之和为1求得成绩在[5060)，内的频率，再求频数，然后根据数据补全的频率分布直方图如图；（2）根据恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，先确定a所在区间，再求解.【小问1

详解】解：由频率分布直方图可知，成绩在[5060)，内的频率为:为110(0.0100.0150.0300.0250.005)0.15−++++=，所以这600名学生中物理成绩在[5060)，内的频数为6000.1590=，补全的频率分布直方图如图所示：【小问2详解】学生物理测试成绩在

[40,60)的频率为0.250.35，物理测试成绩在[40,70)的频率为0.40.35．故要使高一年级恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，则[60,70)a，且(60)0.0150.1a−=，解得66.7a．20.如图，在梯形ABCD中，//ABCD，1ADDCBC===，60A

BC=，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，1CF=，设点M在线段EF上运动.（1）证明：BCAM⊥；（2）设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由平面几何知识，余弦定理可得BC

AC⊥.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令()03FM=，由二面角的向量求解方法可表示()21cos34=−+，由二次函

数的性质可求得最值.【详解】（1）证明：在梯形ABCD中，因为//ABCD，1===ADDCCB，60ABC=，所以2AB=，所以2222cos603ACABBCABBC=+−=，所以222ABACBC=+，所以BCAC⊥.因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE平面A

BCDAC=，因为BC平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.所以BC⊥AM；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令()03FM=，则()0,0,0C，()3,0,0A，()0,1,0B，(),0,1M.∴

()3,1,0AB=−uuur，(),1,1BM=−uuur.设(),,nxyz=r为平面MAB的一个法向量，由00nABnBM==得30,0,xyxyz−+=−+=，取1x=，则()1,3,

3n=−r，∵()1,0,0m=是平面FCB的一个法向量，∴()()22||11cos133134nmnm===++−−+rrrr∵03，∴当3=时，cos有最大值12，的最小值为3.【点睛】向

量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求

出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围()0，和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值.21.改革开放以来，我国经济持续高速增长．如图给出了我国2012年至20

21年第二产业增加值与第一产业增加值的差值（以下简称为：产业差值）的折线图，记产业差值为y（单位：万亿元）．注：年份代码1-10分别对应年份2012-2021．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆ()niiiniittyybtt==−−=−

，ˆˆybxa=+．方差：()2211niisyyn==−参考数据：101110.810iiyy===，()()101132iiittyy=−−=，()1021211.6iiyy=−=．（1）求出y关于年份代码t的线

性回归方程；（2）结合折线，试求出除去2016年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差（精确到0．1）．【答案】（1）ˆ1.62yt=+（2）平均值为10.8万亿元，方差为23.5【解析】【分析】（1）根据题中数据与公式计算（2）根据平均值与方差的概念与数据计算【小问1详解】依题意，()112

3105.510t=++++=，()210110.8,82.5iiytt==−=，于是得：()()()1011021132ˆ1.682.5iiiiittyybtt==−−===−，则ˆˆ10.81.65.52aybt=−=−=，所以y关于年份代

码t的线性回归方程为ˆ1.62yt=+．【小问2详解】结合折线图，2014年产业差值为10.8万亿元，除去2014年（5t=时）产业差值外9年的产业差值的平均值为()11010.810.810.89−=，而()1021211.6iiyy=−=，则除去2014年（5t=时）产业差值外的9

年的产业差值的方差为()21211.610.810.823.59−−，所以除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值平均值为10.8万亿元，方差为23.5．22.已知点P到(2,0)A−的距离是点P到()10B,的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程

；（2）若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q的轨迹交于E，F两点，探索BEBF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，若点(5,8)C，求22QBQC+的最

大值．【答案】（1）()2224xy−+=（2）是，-3（3）138【解析】【分析】(1)设点(),Pxy，根据两点坐标求距离公式计算化简即可；(2)设()00,Qxy，根据中点坐标公式代入圆P方程中可得Q的轨迹方程，直线l的方程、()11,Exy，()22,Fxy，联立圆

Q方程，利用韦达定理表示出1212+、xxxx，结合向量数量积的坐标表示化简计算即可；(3)根据两点求距离公式写出22QBQC+，结合直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式即可求出22QBQC+的最大值.【小问1详解】设点(),Pxy，由题意可得2PAPB=，即()()2222221xyxy++=

−+，化简可得()2224xy−+=．【小问2详解】设()00,Qxy，由（1）P点满足方程:()2224xy−+=，00210xxyy+=+=代入上式消去可得22004xy+=，即Q的轨迹为224xy+=，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，

则直线l的方程为(1)ykx=−，由()2241xyykx+==−，消去y，得()22221240kxkxk+−+−=，显然0，设()11,Exy，()22,Fxy则212221kxxk+=+，212241kxxk−=+，又()111,BExy=−−，()221,BFxy=

−−，则()()()()21212121212121111BEBFxxxxyyxxxxkxx=−+++=−+++−−()()()()()()()222222221212224211111111kkkxxkxxkkkkkk−=+−++++=+−+++++42424222234222133311k

kkkkkkkk−−−−+++−−===−++；当直线l的斜率不存在时，()1,3E，()1,3F−，3BEBF=−【小问3详解】()()()2222222215822121690QBQCxyxyxyxy+=−++−+−=+−

−+()12169843498xyxy=−−+=−++令34zxy=+，所以340xyz+−=，则原点到直线340xyz+−=的距离为25zdr==，所以1010z−．因此22QBQC+的最大值为138获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com