【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第六章第二节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 含解析【高考】.doc，共(13)页，511.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第107页[基础梳理]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界

直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所

有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，不等式含等号，直

线在区域内，不含等号，直线不在区域内．(2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方)．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．(3)对于Ax

＋By＋C＞0的区域：当B＞0时，化为y＞－ABx－CB，直线上方；当B＜0时，化为y＜－ABx－CB，直线下方．[四基自测]1．(基础点：平面区域)不等式组x－3y＋6＜0，x－y＋2≥0表示的平面区域是()-2-答案：C2．(基础点：线性目标函数最值)若变量x，y满足

约束条件4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，则z＝3x＋2y的最小值为()A.315B．6C.235D．4答案：C3．(基础点：线性目标函数最值)(2018·高考全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x－2y－2≤0，x－y＋1

≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________．答案：64．(基础点：平面区域面积)不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案：43授课提示：对应学生用书第1

07页考点一平面区域及面积问题挖掘求区域面积或参数/自主练透[例](1)(2020·济南模拟)不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域的面积为()A．4B．1C．5D．无穷大[解析]不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分

)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为(1，2)，(2，2)，(3，0)，则△ABC的面积为S＝12×(2－1)×2＝1.-3-[答案]B(2)若函数y＝2x图像上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3

≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A.12B．1C.32D．2[解析]在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图像及x＋y－3≤0，x－2y－3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图像上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.[答案

]B(3)已知不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积被直线y＝kx＋43分为2∶1两部分，则k的值是________．[解析]不等式组表示的平面区域如图所示．-4-由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB的三等分点时

，直线y＝kx＋43能把平面区域分为2∶1两部分．因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB靠近A的三等分点为23，2，靠近B的三等分点为13，3，当y＝kx＋43过点23，2时，k＝1，当

y＝kx＋43过点13，3时，k＝5.[答案]1或5[破题技法]求平面区域的面积(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而作出平面区域．(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如

平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(3)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．考点二线性规划中的目标函数最值问题挖掘1不含参数的线性目标函数最值/自主练透[例1](1)

(2019·高考全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，x＋y－3≤0，y－2≤0，则z＝3x－y的最大值是________．[解析]作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由x＋y

－3＝0，2x＋3y－6＝0，解得x＝3，y＝0，即C点坐标为(3，0)，故zmax＝3×3－0＝9.[答案]9-5-(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为________．[解析]由不等式组画出可行域

，如图(阴影部分)，x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)的横截距最大，由图可得直线x＋y＝z过点C时z取得最大值．由x＝5，x－2y＋3＝0得点C(5，4)，∴zmax＝5＋4＝9.[答案]9(3)(2018·高考全国

卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件2x＋y＋3≥0，x－2y＋4≥0，x－2≤0，则z＝x＋13y的最大值是________．[解析]画出可行域如图所示阴影部分，由z＝x＋13y得y＝－3x＋3z，作出直线y＝－3x，并平移该直线，当直线y＝－3x＋3z过点A(2，3)时，目标函数z

＝x＋13y取得最大值为2＋13×3＝3.[答案]3[破题技法]求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的-6-数值，从而确定目标函数的最值．挖掘2含参数的线性目标函数问题/互动探究[

例2](1)变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0.若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于()A．－2B．－1C．1D．2[解析]如图所示，当m≤0时，比如在①的位置，此时为开放区域无最大值，当m>2时，比如在②的位

置，此时在原点取得最大值，不满足题意，当0<m<2时，在点A取得最大值，所以x－2y＋2＝0，mx－y＝0⇒A22m－1，2m2m－1，代入得m＝1.[答案]C(2)已知实数x，y满足x－y≤1，x－2y＋2≥0，2x＋y≥2，若z＝x－

ay只在点(4，3)处取得最大值，则实数a的取值范围是________．[解析]法一：由不等式组x－y≤1，x－2y＋2≥0，2x＋y≥2作出可行域如图，联立x－2y＝－2，x－y＝1，解得C(4，3)．-7-当a＝0时，目标函数化为z＝x，由图可知，可行

解(4，3)使z＝x－ay取得最大值，符合题意；当a＞0时，由z＝x－ay，得y＝1ax－za，此直线斜率大于0，当在y轴上的截距最小时，z最大，要使可行解(4，3)为目标函数z＝x－ay取得最大值的唯一最优解，则1a＞1，即0＜a＜1，符合题意；当a＜0时，由z＝x－ay，

得y＝1ax－za，此直线斜率为负值，当在y轴上的截距最大时，z最大，要使可行解(4，3)为目标函数z＝x－ay取得最大值的唯一最优解，则1a＜0，即a＜0.综上，实数a的取值范围是(－∞，1)．法二：作出不等式组所表示的平

面区域，如图中阴影部分所示，其中A(1，0)，B(25，65)，C(4，3)，当直线z＝x－ay过点A时得z1＝1；当直线z＝x－ay过点B(25，65)时，z2＝25－65a；当直线z＝x－ay过点C(4，3)时，z3＝4－3a，由题可知4－3a＞1，4－3a＞25－65a，解得a

＜1，即实数a的取值范围为(－∞，1)．[答案](－∞，1)[破题技法]由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离

含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．挖掘3非线性目标函数的最值/互动探究[例3](1)(2020·河南郑州一模)已知变量x，y满足x－2y＋4≤0，x≥2，x＋y－6≥0，则k＝y＋1x－3

的取-8-值范围是()A．k＞12或k≤－5B．－5≤k＜12C．－5≤k≤12D．k≥12或k≤－5[解析]由约束条件x－2y＋4≤0，x≥2，x＋y－6≥0作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A(2，4)，k

＝y＋1x－3的几何意义为可行域内的动点(x，y)与定点P(3，－1)连线的斜率，由图可知，k≤kPA＝4－（－1）2－3＝－5，或k＞12.故选A.[答案]A(2)(2020·广州模拟)若x，y满足约束条件

x－y＋2≥0，2y－1≥0x－1≤0，则z＝x2＋2x＋y2的最小值为()A.12B．14C．－12D．－34[解析]画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y

2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1，0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为12，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝14－1＝－34，选D.-9-[答案]D(3)实数x，y

满足不等式组x－y＋2≥0，2x－y－5≤0，x＋y－4≥0，则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．[解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5×5，其几

何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的5倍．由x－y＋2＝0，2x－y－5＝0，得B点坐标为(7，9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.[答案]21[破题技法]求解非线性目标函数的最值利用几何意义来求．(1)斜率型：z＝y－bx－a.(2)两

点间的距离型：z＝（x－a）2＋（y－b）2.(3)点到直线的距离型：z＝|Ax＋By＋C|.考点三线性规划的实际应用及创新应用挖掘1线性规划的建模/互动探究[例1](1)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60

人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元[解析]设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1600x＋2400y，则

约束条件为36x＋60y≥900，x＋y≤21，y－x≤7，x，y∈N，-10-作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin＝36800(元)．[答案]C(2)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克

；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400

元C．2800元D．3100元[解析]设该公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为x＋2y≤12，2x＋y≤12，x≥0且x∈N，y≥0且y∈N，目标函数z＝300x＋400y.作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．作直线l0：3x＋4y＝0

，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由2x＋y＝12，x＋2y＝12，得B(4，4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2800(元)．[答案]C[破题技法]1.在实际应用问题中，通过建立约束条件求出线性目标函数的最优解，体会线性规划的建模与实际意义．2

．一般步骤为：(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．-11-

(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．挖掘2线性规划的创新应用/自主练透[例2](1)(从“整点”视角)已知3x－2y－3≤0，x－3

y＋6≥0，2x＋y－2≥0，则不等式组所表示的区域内整数点的个数为________．[解析]法一：画出约束条件所表示的平面区域如图所示，在平面区域中画网格线，由图可见，平面区域内有6个整数点．法二：画出约

束条件表示的平面区域如图所示，计算出交点A(3，3)，B(0，2)，C(1，0)，则0≤x≤3，x∈Z.由3x－2y－3≤0，x－3y＋6≥0，2x＋y－2≥0，得y≥32x－32，y≤13x＋2，y≥2－2x.当x＝0时，y＝2，此时整数点

个数为1；当x＝1时，由0≤y≤73，y∈Z，得y取值为0，1，2，此时整数点个数为3；当x＝2时，由32≤y≤83，y∈Z，得y取值为2，此时整数点个数为1；当x＝3时，y＝3，整数点个数为1.综上所述，平面区域内有6个整数点．[答案]6(2)(从“命题条件”视角

)(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组x＋y≥6，2x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p∨q②綈p∨q③p∧綈q④綈p∧綈q这四个命题中，所有真命题的编号是()A．①③B．①②C．②③

D．③④[解析]法一：画出可行域如图中阴影部分所示．-12-目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2，4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9正确；

命题q，∀(x，y)∈D，2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．故选A.法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组x＋y≥6，2x－y≥0，且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．∴①③真，②④假．故选A.[答案]A(3)(从“概率”视角)已知3x－2y－3

≤0，x－3y＋6≥0，2x＋y－2≥0表示的区域为Ω，不等式x－122＋(y－1)2≤14表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒280颗豆子，则落在区域Γ中的豆子数约为________．(π≈3.1)[解析]画出约束条件表示的

平面区域如图所示，计算出交点A(3，3)，B(0，2)，C(1，0)．区域Ω的面积为S△ABC＝72，区域Γ的面积为π4，所以向Ω区域内随机撒豆子，落入区域Γ的概率为π872＝π28，故落入区域Γ的豆子数为π28×2

80＝10π≈31.[答案]31(4)(从“转化为二元变量”视角)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn.若4a1≤a3＋3，a4≤2a1＋6，S2≥2，则数列{an}的前4项和S4的最大值为________．-13-[解析]该题可用线性规划来求解，由已知

4a1≤a3＋3，a4≤2a1＋6，S2≥2，得3a1－2d－3≤0，a1－3d＋6≥0，2a1＋d－2≥0，S4＝4a1＋6d.如图所示，S4在点A(3，3)处取得最大值，即当a1＝d＝3时，(S4)

max＝4×3＋6×3＝30.[答案]30[破题技法]对于线性规划无论从哪个视角创新，都是涉及二元一次不等式(组)问题，用“形”表示区域，数形结合，直观想象来解决问题．