【文档说明】九年级数学专题1.4 解直角三角形章末重难点题型（举一反三）（华东师大版）（原卷版）.docx，共(17)页，665.955 KB，由管理员店铺上传

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1专题1.4解直角三角形章末重难点题型【华东师大版】【考点1锐角三角函数的定义】【方法点拨】锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）

等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.【例1】（2020•平房区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（）A．𝑚𝑐𝑜𝑠𝛼B．m•cosαC．m•sinαD．m•tanα【变式1-1】（2019秋•沈河区校级期中）如图，在Rt

△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（）A．𝐵𝐷𝐵𝐶B．𝐵𝐶𝐴𝐵C．𝐶𝐷𝐵𝐶D．𝐶𝐷𝐴𝐶【变式1-2】（2019秋•包河区期末）如图，BD⊥

AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线2段的比不能表示sinA的式子为（）A．𝐵𝐷𝐴𝐵B．𝐶𝐷𝑂𝐶C．𝐴𝐸𝐴𝐷D．𝐵𝐸𝑂𝐵【变式1-3】（2020•下城区模拟）如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的

长可表示为（）A．a•（cosα﹣cosβ）B．𝑎𝑡𝑎𝑛𝛽−𝑡𝑎𝑛𝛼C．acosα−𝑎⋅𝑠𝑖𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽D．a•cosα﹣asinα•a•tanβ【考点2网格中的锐角三角函数值计算】【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，

有时还会运用面积法来求解关键边的长度.【例2】（2020•岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）A．45B．43C．34D．35【变式2-1】（2020•南海区一模）如图，在网格中，小正方形

的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是．3【变式2-2】（2020•铁东区三模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为．【变式2-3】（2020•泰兴市一

模）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．【考点3锐角三角函数的增减性】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随

着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）【例3】（2019秋•新乐市期中）sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．si

n58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°【变式3-1】（2020春•兴庆区校级月考）比较大小：（1）cos35°cos45°，tan50°tan60°；（2）若sinα＝

0.3276，sinβ＝0.3274，则αβ．【变式3-2】（2020•高邮市一模）比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．【变式3-3】（2019•丰台区模拟）如图所示的网格是正方形网格，

∠AOB∠COD．（填“＞“，“＝”4或“＜“）【考点4同角三角函数的关系】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这

个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA或sinA＝tanA•cosA．【例4】（2019•东明县一模）如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα=45，则tanα＝（）A．35B．34C．43

D．45【变式4-1】（2020春•西湖区校级月考）若∠a为锐角，且tana是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于（）A．1B．√22C．√1010D．3√1010【变式4-2】（2020秋•丰泽区校级月考）在Rt△ABC

中，∠C＝90°，下列式子正确的是（）A．sinA+cosA＜1B．sinA+cosA＝1C．sinA+cosA＞1D．sinA+cosA≥1【变式4-3】（2019秋•肥西县期末）已知sinαcosα=18，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（）A．√32B．−√32C．34

D．±√32【考点5互余两角三角函数的关系】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,5【例5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝9

0°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有．【变式5-1】已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣

α）=√3，则α＝．【变式5-2】若a＜60°，且sin（60°﹣a）=1215，则cos（30°+a）＝．【变式5-3】化简：√(1−𝑠𝑖𝑛57°37′)2−|𝑐𝑜𝑠32°23′−1|=．【考点6特

殊角的三角函数值的计算】【方法点拨】解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：【例6】（2020•灌云县模拟）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）𝑐𝑜𝑠230°1+𝑠𝑖𝑛30°+tan260°【变式6-1】（2020•青浦区一模）计算：3tan30°

−1𝑐𝑜𝑠60°+√8cos45°+√(1−𝑡𝑎𝑛60°)2【变式6-2】（2020•涡阳县模拟）计算：2𝑠𝑖𝑛260°−𝑐𝑜𝑠60°𝑡𝑎𝑛260°+4𝑐𝑜𝑠45°【变式6

-3】（2019秋•碑林区校级期中）计算（1）3tan60°﹣tan245°﹣2cos30°．（2）√1−2𝑡𝑎𝑛30°+𝑡𝑎𝑛230°+2𝑠𝑖𝑛230°−𝑠𝑖𝑛45°𝑐𝑜𝑠45°．【考点7特殊角的三角函数值中的新定义问题】【例7】（2020•丛台区校级一模）

嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈60.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈

0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（√22）2+（√22）2＝1．据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣

α）＝1是否成立．（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．【变式7-1】阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=𝐵𝐶𝐴𝐶cosα=𝐴𝐵𝐴𝐶tanα=�

�𝐶𝐴𝐵一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）

＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°＝√2+√64；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．【变式7-2】规定：s

in（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx•cosy+cosx•siny．据此（1）判断下列等式成立的是（填序号）．①cos（﹣60°）=−12；②sin2x＝2sinx•cosx；③s

in（x﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny．（2）利用上面的规定求①sin75°②sin15°．【变式7-3】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°

，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x27﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．【考点8解直角三角形】【方法点拨】解决此类问题的关

键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）①三边之间的关系：a2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边

正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．【例8】（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB=45．

（1）求线段CD的长度；（2）求cos∠C的值．【变式8-1】（2020•浦城县一模）如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD=163√3，求∠B，a，c

的值．【变式8-2】（2020秋•东明县期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cosB=35，BC＝10．（1）求AB的长；（2）求AE的长；（3）求sin∠ADB的值．8【变式8-3】（2019秋•解放区校级期中）如图，在△AB

C中，∠ACB＝90°，cosA=35，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．求：（1）线段CD的长；（2）cos∠ABE的值．【考点9解斜三角形】【方法点拨】解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形

，进而通过解直角三角形进行求解.【例9】（2020春•牡丹江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（）A．6√2B．2√19C．2√13D．9【变式9-1】（2020春•东城区校级期末）如图，在△A

BC中，∠A＝30°，tanB=34，AC＝6√3，求AB的长．【变式9-2】已知．在△ABC中，BC=√2AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．【变式9-3】（2019秋•抚州期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC

的长为6．求△ABC的面积．9【考点10解直角三角形（作垂线）】【例10】（2019•包头模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°．（1）求△BCD的面积；（2）求cos∠ADB．【变式10-1】（2019

秋•锦江区校级期中）已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3+√3，CD＝2√3（1）求∠ABD的值；（2）求AD的长．【变式10-2】（2020•福建模拟）已知：如

图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD，设AD＝m，DC＝n，BE＝p，DE＝q．（1）若tanC＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离；（2）若m＝n，BD=3√2，求四边形ABCD的面积．10【变式10-3】如

图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AD：AB＝2：3，BD=√7，AB⊥BC．（1）求sin∠ABD的值．（2）若∠BCD＝120°，求CD的长．【考点11解直角三角形的应用（实物建模问题）】【例11】（2020•芝罘区一模）如图1，图2分别是网

上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）

求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45．【变式11-1】（2020•柯桥区模拟）目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设

，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．（

1）求车架中AE的长；（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）11【变式11-2】（2020•东胜区二模）如图是一种简易台灯的

结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为45cm﹣46cm时

，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，√3=1.73．）【变式11-3】（2020•亭湖区校级三模）有一种升降熨烫台如图1所示，

其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．（1）如图2．若AO＝CO＝80cm，∠AOC＝120°，求AC的长（结果保留根号）；（2）爱动脑筋的

小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为128cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是1274°（如图3）．求该熨烫台支撑杆AB的长度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【考点12解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）】【方法点拨】解决此类问

题的关键在于掌握坡度坡脚问题：（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过

作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．【例12】（2020•海陵区一模）水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC

的坡角β为60°，坝高3m，（√3≈1.73）求：（1）坝底AB的长（精确到0.1）；（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：√3，原水坝底部正前方2.5

m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．【变式12-1】（2020•松江区二模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．

按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．【变式12-2】（2020•镇海区模拟）如图，BC是坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射

出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是45°和60°．（1）求灯杆CD的高度；13（2）求AB的长度（结果保留根号）．【变式12-3】（2020•灌云县模拟）如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30

°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，

背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．【考点13解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握俯角仰角问题：（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类

问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关

系问题加以解决．【例13】（2020•赛罕区二模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26

米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面水平线PO的距离；（2）古塔BC的高度．（结果用非特殊角三角函数和根号表示即可）【变式13-1】（2020•鹿邑县二模）无影塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，

故称无影塔；相传为14唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”，该塔应建于北宋中、早期，为豫南地区现存最古老砖塔某数学小组为了度量塔高进行了如下操作：用一架无人机在距离塔基（B）某处垂直起飞30米至点C处，测得塔基B处的俯角为75°，将无人机沿水平方向向右飞行8.6米至

点D，在此处测得塔顶A的俯角为30°，请依据题中数据计算无影塔的高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，√3≈1.73）【变式13-2】（2020春•吴兴区校级期中）第十一届全国少数民族传统体育运动会于20

19年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标

志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高

度．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）15【变式13-3】（2020•河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测

角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，co

s22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【考点14解直角三角形的应用（方位角问题）】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌

握方位角问题：（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等

或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【例14】（2020•锦州一模）如图，在一条东西走向的公路MN的同侧有A，B两个村庄，村庄B位于村庄A的北偏东60°的方向上（∠QAB＝60°），公路旁的货站P位于村庄A的北偏东15

°的方向上，已知PA平分∠BPN，AP＝2km，求村庄A，B之间的距离．（计算结果精确到0.01km，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）【变式14-1】（2020•呼和浩特

）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏16西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．（1）直接写出∠C的度数；（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即

可）【变式14-2】（2020春•江夏区校级月考）如图，一艘渔船正以32√33海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．（1）求小岛C到航线AB的距离．（2）已知以小岛C为中心周围20海里

内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？【变式14-3】（2020•朝阳）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智

能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30√3）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组

同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．17