【文档说明】辽宁省沈阳市第八十三中学2021-2022学年高二上学期期初考试数学试题含答案.docx，共(8)页，158.030 KB，由小赞的店铺上传

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沈阳市第八十三中学高二上学期期初考试命题人：高二数学备课组一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+),则此直线的倾斜角是()A.3

0°B.45°C.60°D.90°2.已知a=(1,k,-2),b=(2k,2,4),若a∥b,则实数k的值为()A.-2B.2C.-1D.13.若某直线的斜率k∈(-∞,],则该直线的倾斜角α的取值范围是()A.0,B.C.,πD.0,∪

,π4.若平面α⊥平面β,且平面α的一个法向量为n=,则平面β的法向量可以是()A.B.(2,-1,0)C.(1,2,0)D.5.已知a=(1-t,1,0),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是()A.1B.C.D.

6.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于()A.1B.2C.13D.267.已知O为坐标原点,向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,

2).若点E在直线AB上,且⊥a,则点E的坐标为()A.-,-B.,-C.,-D.-,-8.已知向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),{i,j,k}是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算:a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-ay

bx)k==,-,其中行列式计算表示为=ad-bc.若向量=(2,1,4),=(3,1,2),则=()A.(-4,-8,-1)B.(-1,4,-8)C.(-2,8,-1)D.(-1,-4,-8)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符

合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.空间四个点O,A,B,C,为空间的一个基底,则下列说法正确的是()A.O,A,B,C四点不共线B.O,A,B,C四点共面,但不共线C.O,A,B

,C四点中任意三点不共线D.O,A,B,C四点不共面10.如图,已知三棱锥O-ABC,E,F分别是OA,BC的中点,P为线段EF上一点,且PF=2EP,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是()A.b

+cB.=-a+b+cC.=-a+b+cD.a+b+c11.已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列选项正确的是()A.n1∥n2⇔α∥βB.n1⊥n2⇔α⊥βC.v∥n1⇔l∥αD.v⊥

n1⇔l∥α12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段B1C上运动,则()A.直线BD1⊥平面A1C1DB.三棱锥P-A1C1D的体积为定值C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°,90°]D

.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2).若2a-b与b垂直,则|a|=.14.一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,经过点B(5

,7),则点P的坐标为.15.在正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AB的中点,则异面直线DM与CN所成角的余弦值为.16.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,AA1=AB=AD,E为A1D1的

中点.给出下列四个说法:①∠BCC1为异面直线AD与CC1所成的角;②三棱锥A1-ABD是正三棱锥;③CE⊥平面BB1D1D;④=-.其中正确的说法有.(写出所有正确说法的序号)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1

7..已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量;(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.18.(12分)已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-

2,-2,2).(1)求|2a+b|.(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b(O为原点)?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.19.(12分)如图所示,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边

长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60°,N是CM的中点,设a=,b=,c=,试以a,b,c为基向量表示出向量,并求BN的长.20.(12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是A

Q,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH;(2)求平面DGH与平面GHE的夹角的余弦值.21.(12分)如图,已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=AF=2,∠ADC=60°.(1)求直线BF

与平面ABCD的夹角;(2)求点A到平面FBD的距离.22.(12分)如图所示,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=2,CD=4,E为CD中点,AE与BD交于点O,将△ADE沿AE折起,使点D到达点P

的位置(P∉平面ABCE).(1)证明:平面POB⊥平面ABCE.(2)若PB=,试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点),使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.ACDCBBACACDABDABABD②④18.解(1)2a+b=(2,-

6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|==5.(2)存在.+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时点E的坐标

为E.19.解=)=-()]=-,所以=-a+b+c,||2==(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=,所以||=,即BN的长为.20.(1)证明因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,B

P的中点,所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.又EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.又EF⊂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF∥GH.又EF∥AB,所以A

B∥GH.(2)解在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°.又PB⊥平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直.以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA=BQ=BP=2,则E(1,0,1),F(0,0,

1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2).所以=(-1,2,-1),=(0,2,-1),=(-1,-1,2),=(0,-1,2).设平面EFQ的一个法向量为m=(x1,y1

,z1),由m·=0,m·=0,得取y1=1,得m=(0,1,2).设平面PDC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),由n·=0,n·=0,得取z2=1,得n=(0,2,1).设平面DGH与平面GHE的夹角为θ

,则cosθ=|cos<m,n>|=.21.解设AC∩BD=O,因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,所以易得AF⊥平面ABCD.以O点为坐标原点,以OD为x轴,OA为y轴,过O点且平行于AF的直线为z轴,建立空间直角坐标系,(1)由已知得A(0,1,0),B(-,0,0),C

(0,-1,0),D(,0,0),F(0,1,2),因为z轴垂直于平面ABCD,因此可令平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),又=(,1,2),设直线BF与平面ABCD的夹角为θ,则有sinθ=|cos<m,>|=,即θ=,所以直线

BF与平面ABCD的夹角为.(2)因为=(2,0,0),=(,1,2),设平面FBD的法向量为n=(x,y,z),令z=1得n=(0,-2,1),又因为=(0,0,2),所以点A到平面FBD的距离d=.22.(1)证明

在梯形ABCD中,连接BE,在等腰梯形ABCD中,AD=AB=BC=2,CD=4,E为中点,∴四边形ABED为菱形,∴BD⊥AE,∴OB⊥AE,OD⊥AE,即OB⊥AE,OP⊥AE,且OB∩OP=O,OB⊂平面

POB,OP⊂平面POB,∴AE⊥平面POB.又AE⊂平面ABCE,∴平面POB⊥平面ABCE.(2)解存在.由(1)可知四边形ABED为菱形,∴AD=DE=2,在等腰梯形ABCD中,AE=BC=2,∴△PAE为正三角形,∴OP=,同理OB=,∵PB=,∴OP2+OB2=PB2,∴OP⊥OB.

由(1)可知OP⊥AE,OB⊥AE,以O为原点,分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,由题意得,各点坐标为P(0,0,),A(-1,0,0),B(0,,0),C(2,,0),E(1,0,0),∴=(0,,-),=(2,,-),=(2,0,0),设=λ(0<λ<

1),+λ=(1,λ,λ),设平面AEQ的一个法向量为n=(x,y,z),则取x=0,y=1,得z=,∴n=,设直线PC与平面AEQ所成角为θ,θ∈,则sinθ=|cos<,n>|=,即,化简得4λ2-4λ+1=0,解得λ=,∴存在点

Q为PB的中点时,使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为.