【文档说明】2024届高中数学一轮复习练习五　平面向量与复数 Word版含解析.docx，共(10)页，174.948 KB，由小赞的店铺上传

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练习五平面向量与复数一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·南京模拟)已知复数z的共轭复数为z，若zi＝2z＋i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A．－13iB.23IC

．－13D.232．(2023·盐城模拟)若复数z满足z(1－i)＝|3＋i|，则在复平面内，z的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，－4)，则b在a上的投影向量是()A.－22，－322B.22，32

2C．(－1，－3)D．(1，3)4．在△ABC中，点M为边AB上一点，2AM→＝MB→，若3CM→＝λCA→＋μCB→，则μ等于()A．3B．2C．1D．－15．已知z∈C，且|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值是()A．22－1B．22＋1C.2D．226．

复数z1＝3＋2i(i为虚数单位)是方程z2－6z＋b＝0(b∈R)的根，则b的值为()A.13B．13C.5D．57．在△ABC中，∠ABC＝2π3，AC的中点为D，且BD＝1，则BA·BC的最大值为

()A．2B．3C．23D．48．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是腰AD上的动点，则|2PB→－PC→|的最小值为()A.7B．3C.332D.274二、选择题(在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求)9．(2023·苏州模拟)已知i为虚数单位，以

下四个说法中正确的是()A．i＋i2＋i3＋i4＝0B．复数z＝3－i的虚部为－iC．若z＝(1＋2i)2，则复平面内z对应的点位于第二象限D．已知复数z满足|z－1|＝|z＋1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10．已知不相等的复数z1，

z2，则下列说法正确的是()A．若z1＋z2是实数，则z1与z2不一定相等B．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22C．若z1＝z2，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称D．若z21＋z22>0，则z21>z2211.如图

所示，在正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是()A.AC→－AE→＝BF→B.AC→＋AE→＝32AD→C.AD→·AB→＝|AB→|2D.AD→在AB→上的投影向量为AB→12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若AM→＝13AB→＋13A

C→，则点M是△ABC的重心B．若AM→＝2AB→－AC→，则点M在线段BC的延长线上C．若2AM→＝xAB→＋yAC→，且x＋y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的12D．已知平面向量MA→·MB→＝MA→·MC→，AM→＝λ

AB→|AB→|＋AC→|AC→|，则△ABC为等腰三角形三、填空题(本题共4小题)13．已知向量a是单位向量，向量b＝(2，2)，且(a＋2b)·(a－b)＝－6，则a与b的夹角为________．14．已知a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ

的取值范围为________．15．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________．16.如图，已知P是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB上的

一点，AB→＝2BC→，则PC→·PA→的最小值为____________．四、解答题(本题共6小题)17．已知a，b，c是同一平面内的三个不同向量，其中a＝(1，2)．(1)若|c|＝25，且a∥c，求c；(2)若|b|＝2，且|ka＋b|＝2|a－kb|(k>0)，求a·b的最小值，并求出此时

a与b夹角的余弦值．18．已知关于x的不等式x(x＋a)－2<0的解集为(－1，b)．(1)求实数a，b的值；(2)若z1＝a＋bi，z2＝cosα＋isinα，且z1z2为纯虚数，求tanα的值．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝1，AB＝AD＝3，E是BC的中

点，设AB→＝a，AD→＝b.(1)用a，b表示AE→；(2)若AF→＝2FB→，AE与CF交于点O，求cos∠AOF.20．已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求△

ABC的面积．21.(2023·扬州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3.(1)若cos∠CBD＝1116，求sinC；(2)记四边形ABCD的面积为S，求S的最大值．22．已知a＝

cos32x，sin32x，b＝cosx2，－sinx2，c＝－sinx2，cosx2，且x∈－π2，π2.(1)求a·b，a·c及|a＋b|；(2)求函数f(x)＝2a·c＋|a＋b|

的单调递增区间；(3)若函数g(x)＝a·b＋2k|a＋b|的最小值是－32，求k的值．参考答案1．答案D解析设z＝a＋bi，a，b∈R，则z＝a－bi，∵zi＝2z＋i，∴(a＋bi)i＝2(a－bi)＋i，－b＋ai＝2a＋(1－2b)i，即－b＝2a，a＝1

－2b，解得a＝－13，b＝23，∴z＝－13＋23i，故复数z的虚部为23.2．答案D解析∵复数z满足z(1－i)＝|3＋i|＝（3）2＋12＝2，∴z＝21－i＝1＋i，则在复平面内，z的共轭复数1－i对应的点是(1，－1)，它位于

第四象限．3．答案C解析设θ＝〈a，b〉，则cosθ＝cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－1010×25＝－22，则b在a上的投影向量为|b|cosθ|a|·a＝(－1，－3)．4．答案C解析由2AM→＝

MB→得AM→＝13AB→，所以CM→＝CA→＋AM→＝CA→＋13AB→＝CA→＋13(CB→－CA→)＝23CA→＋13CB→，所以3CM→＝2CA→＋CB→，即μ＝1.5．答案A解析∵|z|＝1且z∈C，作图如图，∵|z－2－

2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，∴|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝22－1.6．答案B解析∵z1＝3＋2i是方程z2－6z＋b＝0(b∈R)的根，∴z2＝3－2i为方程的另一个根，则b＝(3＋2i)(3－2

i)＝13.7．答案D解析如图，由BD＝1，可得|BA→＋BC→|＝|2BD→|＝2，∴BA→2＋BC→2＋2BA→·BC→＝4，∴|BA→|2＋|BC→|2＋2|BA→|·|BC→|·cos∠ABC＝4，可得|BA→|2＋|BC→

|2＝4＋|BA→|·|BC→|，∵|BA→|2＋|BC→|2≥2|BA→|·|BC→|，∴4＋|BA→|·|BC→|≥2|BA→|·|BC→|，可得|BA→|·|BC→|≤4(当且仅当|BA→|＝|BC→|＝2时等号成立)，则BA

·BC的最大值为4.8．答案C解析过D作DE⊥AB，垂足为E，过C作CF⊥AB，垂足为F，以E为原点，分别以EB，ED所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．由已知可得，CD＝BC＝1，AD＝EF＝1，AE＝BF＝12，所以

DE＝AD2－AE2＝1－14＝32，E(0，0)，A－12，0，D0，32，C1，32，F(1，0)，B32，0，因为P是腰AD上的点，所以设点P的横坐标为x－12≤x≤0，因为直线AD的方程为x－

12＋y32＝1，即y＝3x＋32，则Px，3x＋32，所以PB→＝32－x，－3x－32，PC→＝(1－x，－3x)，所以2PB→－PC→＝(2－x，－3x－3)，所以|2PB→－PC→|＝2－x2＋－3x－32＝4x2＋2x＋7＝4x＋142＋274，当x＝－

14∈－12，0时，|2PB→－PC→|存在最小值为332.9．答案AD解析A选项，i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故正确；B选项，z的虚部为－1，故错误；C选项，z＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i，z＝－3－4i，在复平面

内对应的点为(－3，－4)，在第三象限，故错误；D选项，|z－1|＝|z＋1|＝|z－(－1)|表示z在复平面内对应的点到A(1，0)和B(－1，0)两点的距离相等，故z在复平面内对应的点的轨迹是线段AB的垂直平分线，故正确．10．答案AC解析对于A，当z1＝1，z2＝2时，z1＋

z2＝3∈R，则z1≠z2，故A正确；对于B，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z21≠z22，故B错误；对于C，设z1＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝a－bi，z1在复平面内对应的点的

坐标为Z1(a，b)，z2在复平面内对应的点的坐标为Z2(a，－b)，Z1，Z2关于实轴对称，故C正确；对于D，令z21＝2＋2i，z22＝1－2i，则z21＋z22＝3，z21＋z22>0，由于z21，z22不能比较大小，故D错误．11.答案BCD解析因为

ABCDEF为正六边形，所以每个内角都为120°.对于A，AC→－AE→＝EC→＝FB→≠BF→，故A错误；对于B，连接AE，AC，CE，AD，如图所示，则△ACE为等边三角形，设正六边形的边长为a，CE的中点为M，连接AM，则CE＝3a，AD＝2a，AM＝32a，所以2AM＝3

2AD，即AC→＋AE→＝2AM→＝32AD→，故B正确；对于C，由B选项可知，AD→·AB→＝|AD→||AB→|cos60°＝2a·a×12＝a2，且|AB→|2＝a2，故C正确；对于D，因为|AD→|＝2|AB→|，所以AD→在AB→上

的投影向量为|AD→|·cos60°·AB→|AB→|＝AB→，故D正确．12．答案ACD解析对于A，设BC的中点为D，若AM→＝13AB→＋13AC→＝13(AB→＋AC→)＝13×2AD→＝23A

D→，则点M是△ABC的重心，故A正确；对于B，若AM→＝2AB→－AC→，即有AM→－AB→＝AB→－AC→，即BM→＝CB→，则点M在边CB的延长线上，故B错误；对于C，若2AM→＝xAB→＋yAC→，且x＋y＝1，由图可得

M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的12，故C正确；对于D，因为MA→·MB→＝MA→·MC→，所以MA→·(MA→＋AB→)＝MA→·(MA→＋AC→)，即MA→·AB→＝MA→·AC→，所以|MA→||AB→|cos∠BAM＝|MA→||AC→|cos

∠CAM，因为AM→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM＝∠CAM，所以cos∠BAM＝cos∠CAM，所以|AB→|＝|AC→|，所以△AB

C为等腰三角形，故D正确．13．答案π3解析由题意可知|a|＝1，|b|＝2，所以(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝1＋a·b－8＝－6，即a·b＝1，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2cos〈a，b〉＝1，解得cos〈a，b〉＝12，因为〈a

，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π3，即a和b的夹角为π3.14．答案－53，0∪(0，＋∞)解析∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，即(1，2)·(1＋λ，2＋λ)>0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0，∴λ>－53.当

a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1，2)，∴1＋λ＝m，2＋λ＝2m，∴λ＝0，即当λ＝0时，a与a＋λb共线，不存在夹角为锐角，综上可知，实数λ的取

值范围为－53，0∪(0，＋∞)．15．答案42解析∵|z－4i|＝|z＋2|，∴x2＋（y－4）2＝（x＋2）2＋y2，即x＋2y＝3，则2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝42，当且仅当x＝2y，即x＝32，y＝34时，等号成立．16.答案5－213

解析以圆弧AB所在圆的圆心为原点，线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1，3)，C(2，3)，设OP与x轴正半轴的夹角为θ，则P(2cosθ，2sinθ)，π3≤θ≤2π3，

则PC→·PA→＝(2－2cosθ，3－2sinθ)·(－1－2cosθ，3－2sinθ)＝5－2cosθ－43sinθ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tanφ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC→·PA→取得最小值5－213.17．解(1)因为a＝(1，

2)，且a∥c，所以设c＝λa＝(λ，2λ)，所以|c|＝λ2＋（2λ）2＝25，解得λ＝±2，所以c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)由|ka＋b|＝2|a－kb|，得(ka＋b)2＝2(a－kb)2，所以k2a2＋2ka·b＋b2＝2(a2－2ka·b＋k

2b2)，因为|a|＝5，|b|＝2，可得6ka·b＝3k2＋6，因为k>0，所以a·b＝k2＋1k≥2k2·1k＝2，当且仅当k2＝1k，即k＝2时取等号．所以(a·b)min＝2.设a与b的夹角为θ，

则此时cosθ＝1010.18．解(1)∵x(x＋a)－2<0的解集为(－1，b)．∴－1，b是方程x2＋ax－2＝0的两个实数根，∴－1＋b＝－a，－b＝－2，解得a＝－1，b＝2.(2)由(1)知a＝－1，b＝2，∴z1z2＝(－1＋2i)(cosα＋isinα)＝

(－cosα－2sinα)＋(2cosα－sinα)i为纯虚数，∴－cosα－2sinα＝0，2cosα－sinα≠0，解得tanα＝－12.19．解(1)由题意得，AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12BC→＝AB→＋12(AC→－AB→)＝12A

B→＋12AC→＝12AB→＋12(AD→＋DC→)＝12AB→＋12AD→＋13AB→＝23AB→＋12AD→＝23a＋12b.所以AE→＝23a＋12b.(2)因为O，F，C三点共线，所以设FO→＝λFC→(0<λ<1)，所以AO→＝A

F→＋FO→＝AF→＋λFC→＝23AB→＋λ(AC→－AF→)＝23AB→＋λ(AD→＋DC→－AF→)＝23AB→＋λAD→＋13AB→－23AB→＝2－λ3AB→＋λAD→＝2－λ3a＋λb，

因为A，O，E三点共线，所以设AO→＝tAE→(0<t<1)，则AO→＝tAE→＝2t3a＋t2b，所以2－λ3＝2t3，λ＝t2，解得t＝45，λ＝25，所以AO→＝815a＋25b，OA→＝－815a－25b

，OF→＝AF→－AO→＝23a－815a－25b＝215a－25b，因为AB⊥AD，所以a·b＝0，AO→2＝815a＋25b2＝42543a＋b2＝425169a2＋b2＋83a·b＝4，所以|AO→|＝2，OF→2＝

215a－25b2＝42513a－b2＝42519a2＋b2－23a·b＝85，所以|OF→|＝2105，所以cos∠AOF＝OA→·OF→|OA→||OF→|＝－815a－25b·215

a－25b4105＝－42549a2－b24105＝1010.20．解(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知可得a2＋b2＝2，2ab＝2，即a2＋b2＝2，ab＝1，解得

a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，∴z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，∴A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，故△ABC的面积S＝12×2×1＝1；当z＝－1－i时，z2＝2

i，z－z2＝－1－3i，∴A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，故△ABC的面积S＝12×2×1＝1.∴△ABC的面积为1.21.解设BD＝x，x>0，在△BCD中，由余弦定理CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD，得9＝4＋x2－114x，整理得，(4x＋5)(x－4

)＝0，∵x>0，解得x＝4，又由cos∠CBD＝1116，则有sin∠CBD＝1－cos2∠CBD＝31516，故由正弦定理得CDsin∠CBD＝BDsinC，解得sinC＝154.(2)在△ABD中，设AB＝AD＝x，由∠A＝120°，可得BD＝3x，在△BC

D中，由余弦定理可得，cosC＝CD2＋BC2－BD22BC·CD＝9＋4－3x212，可得，x2＝13－12cosC3，四边形ABCD的面积为S，得S＝S△ABD＋S△BCD＝12x2sinA＋12×2×3sinC＝34x2＋3sinC＝13

3－123cosC12＋3sinC＝13312－(3cosC－3sinC)＝13312－2312cosC－32sinC＝13312＋23sinC－π6≤13312＋23＝37312.当且仅当C－π6＝π2，即C＝2π3时，等号成立，此时S的最大值为37312.22．解(1)因为a

＝cos32x，sin32x，b＝cosx2，－sinx2，c＝－sinx2，cosx2，所以a·b＝cos32x，sin32x·cosx2，－sinx2＝cos2x.a·c＝cos32x，sin

32x·－sinx2，cosx2＝sin32x－x2＝sinx.|a＋b|＝cos32x＋cosx2，sin32x－sinx2＝2＋2cos2x＝4cos2x＝2|cosx|.又因为x∈－π2，π2，所以|a＋b|＝2cosx.(2)函数f(x)＝2a·c

＋|a＋b|＝2sinx＋2cosx＝22sinx＋π4.令－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，解得－3π4＋2kπ≤x≤π4＋2kπ(k∈Z)，因为x∈－π2，π2，所以－π2≤x≤π4，即函数f(x)＝2a·c＋|a＋b|的单

调递增区间是－π2，π4.(3)由函数g(x)＝a·b＋2k|a＋b|＝cos2x＋4kcosx＝2cos2x＋4kcosx－1＝2(cos2x＋2kcosx＋k2)－2k2－1＝2(cosx＋k)2－

2k2－1的最小值是－32，且0≤cosx≤1得，当k≤－1，cosx＝1时，g(x)有最小值，即2(1＋k)2－2k2－1＝－32，解得k＝－58，不符合题意；当－1<k<0，cosx＝－k时，g(x)有最小值，即－2k2－1＝－

32，此时k＝－12k＝12舍去；当k≥0，cosx＝0时，g(x)有最小值，即2k2－2k2－1＝－32，此方程无解．综上所述，当k＝－12时，函数g(x)＝a·b＋2k·|a＋b|的最小值是－32.