【文档说明】四川省南充高级中学2024-2025学年高二上学期10月检测数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，1.224 MB，由小赞的店铺上传

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南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．4．考试结束后将答题卡交回．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin

2=”是“π4=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】判断“2sin2=”和“π4=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解

】当2sin2=时，π2π,Z4kk=+或3π2π,Z4kk=+，推不出π4=；当π4=时，必有2sin2=，故“2sin2=”是“π4=”的必要不充分条件，故选：C2.设l，m是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说

法正确的是（）A.若//l，//m，则//lmB.若//l，//l，则//C.若l⊥，m⊥，则//lmD.若⊥，⊥，则//【答案】C【解析】【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置

关系依次判断选项即可.【详解】对选项A，若//l，//m，则l与m的位置关系是平行，相交和异面，故A错误.对选项B，若//l，//l，则与的位置关系是平行和相交，故B错误.对选项C，若l⊥，m⊥，则根据线面垂直的性质得l与m的位置关系是平行，故C正确.对选项D，若⊥，⊥

，则与的位置关系是平行和相交，故D错误.故选：C3.若sin3cos2−+=，则tan(π)−=（）A.3−B.3C.33D.33−【答案】C【解析】【分析】由sin3cos2−+=两边同时平方，从而利用sintancos=aaa可以实现

角α的弦切互化，【详解】由sin3cos2−+=两边同时平方，可得22sin23sincos3cos4−+=，222222sin23sincos3costan23tan34sincostan1

−+−+==++，解得3tan3=−.()3tantan3−=−=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别为11,DBAC的中点，则直线1AM和BN夹角的余弦值为（）A.23B.33C.

23D.13【答案】C【解析】【分析】以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体11

11ABCDABCD−的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2AMBN，所以()1(1,1,2),1,1,2MABN=−=−−设向量1MA与BN的夹角为，则1111442cos63114114MABNMA

BN−++====++++，所以直线1AM和BN夹角的余弦值为23，故选：C．5.在三棱锥SABC−中，()()20SCSABSSCSA++−=，则ABCV是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.

等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SCSABSBCBASCSABCBA++=+−=−，从而说明22BCBA=，即可求解.【详解】()()22,SCSABSSCSASBSCSBSASBBCBASCSAACBCB

A++=+−=−+−=+−==−，()()()()2220SCSASBSCSABCBABCBABCBA+−−=+−=−=，BCBA=，即BCBA=，所以ABCV是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“

琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.3

4【答案】B【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,ABC，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,ABC，(),xy代表依次摸出的卡片，,,,xyABC，则基本事件分别为

：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,AAABACBABBBCCACBCC，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,ABBA，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.

7.已知函数()3fxx=，若正实数a，b满足()()490fafb+−=，则11ab+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49ab+=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.

【详解】由已知()3fxx=，定义域为R，且()()()33fxxxfx−=−=−=−，则()fx是R上的奇函数，且函数()3fxx=在R上单调递增，又()()490fafb+−=，即()()()499fafbfb=−−=−，则49ab=−，即49ab+=，且0a，0b，所以()11

11114144415999abababababbaba+=++=+++=++又4424ababbaba+=，即()11141554199ababba+=+++=，当且仅当4abba=，即32a=，3b=时，等号成立，即11ab+的最小值为1.

故选：A.8.已知正三棱锥PABC−的六条棱长均为6，S是ABCV及其内部的点构成的集合．设集合5TQSPQ==，则集合T所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.26π3D.π【答案】B【解析】【分析】求出以P为球心，5为半径的球与底面ABC的截面圆的半径后即可求解.【详解】设

顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为三角形ABC的中心，且2362332BO==，故361226PO=−=.因5PQ=，故1OQ=，故S的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，为集合T所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题

共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分．）9.函数()()sin0,π2fxx=+的部分图象如图所示，则（）A.2=B.π6=C.()fx的图象关

于点π,012对称D.()fx在区间5ππ,4上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5π

π2ππ,π,2,sin22632TTfxx=−=====+，π2sinπ133f=+=，由于πππ2π7π,22636−+，所以2πππ,326+==−，所以A选项正确，B选项错误.()πππ

πsin2,2π,,66122kfxxxkxk=−−==+Z，当0k=时，得π12x=，所以()fx关于π,012对称，C选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263kxkkxkk−+−+−++Z，当11

k=时，得()fx在54π,π63上递增，则()fx在区间5ππ,4上单调递增，所以D选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A和事件B，()0.3PA=，()0.4PB=，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则()0.3PAB=B.若A与B互斥，则(

)0.7PAB=C.若A与B相互独立，则()0.12PAB=D.若A与B相互独立，则()0.7PAB=【答案】BC【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A：若A与B互斥，则()0PAB=，故A错误；对

于B：若A与B互斥，则()()()0.7PABPAPB=+=，故B正确；对于C：若A与B相互独立，则()()()0.12PABPAPB==，故C正确；对于D：若A与B相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58PABPAPBP

AB=+−=+−=，故D错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF在平面互相垂直，动点,MN分别在正方形对角线AC和BF上移动，且()02CMBNaa==，则下列结论中正确

的有（）A.()0,2a，使12MNCE=B.线段MN存在最小值，最小值为23C.直线MN与平面ABEF所成的角恒为45°D.()0,2a，都存在过MN且与平面BEC平行的平面【答案】AD【解析】【

分析】利用向量的线性运算可得()1MNaBCaBE=−+，结合向量的模的计算可判断B的正误，结合向量夹角的计算可判断C的正误，结合共面向量可判断D的正误.【详解】因为四边形ABCD正方形，故CBAB⊥，而平面ABCD⊥平面ABEF，平面

ABCD平面ABEFAB=，CB平面ABCD，故CB⊥平面ABEF，而BE平面ABEF，故CBBE⊥.设MCAC=，则=BNBF，其中()0,12a=，由题设可得MNMCCBBNACCBBF=++=+

+，()()()1BCBACBBABEBCBE=−+++=−+，对于A，当12=即22a=时，111222MNBCBECE=−+=，故A正确；对于B，()22222111221222MN=−+=−+=

−+，故22MN，当且仅当12=即22a=时等号成立，故min22MN=，故B错误；对于C，由B的分析可得()1MNBCBE=−+，而平面ABEF的法向量为BC且()211MNBCBC=−=−，故21cos,221MNBC

−=−+，此值不是常数，故直线MN与平面ABEF所成的角不恒为定值，故C错误；对于D，由B的分析可得()1MNBCBE=−+，故,,MNBCBE为共面向量，而MN平面BCE，故//MN平面BCE，故D正确；故选：AD三、填空题（本题共

3小题，每小题5分，共15分．)12.复数2i12iz+=−的共轭复数z=______．【答案】i−【解析】【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i12iz+=−()()()()2i12i12i12i++=−+5ii5==，所以z=i−.故答案为：i

−13.已知向量()2,1,1a=−，()1,,1bx=，()1,2,1c=−−，当ab⊥时，向量b在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1−【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x=，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a

b⊥，所以210abx=−+=，所以3x=．因为()1,3,1b=，所以b在c上的投影向量为()1,2,1||||bccccc=−=−．故答案为：()1,2,1−14.已知在ABCV中，满足()3734ABACABACABACABAC++=+,点M为线段AB上的一个动点，

若MAMC取最小值3−时，则BC边的中线长为______．【答案】1112##11112【解析】【分析】设()3734,,ABACABACADANAEABACABAC+===+，根据题意可推得||3,||4ADAN==，2π3ADE=，进一步根据MAMC取最小值3−

时，求得对应的43AC=，33AB=，由此即可得解.【详解】设()3734,,ABACABACADANAEABACABAC+===+，则//,//ADENANDE，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||37,4||||A

BADADANAEACAN=====，22343712πcos23423ADEADE+−==−=，又四边形ADEN为平行四边形，3πBAC=，设,,0,0MAADACAN==，()()296MAMCMAMAACADADAN

=+=+=+，由题意2963+−即29630++恒成立，且存在,R使得29630++=成立，其次29630++=当且仅当22396303Δ3610803=−++==−=

=，此时343ACAN==，333ABAD==，所以BC边中线长为2211111122736482222ABACABACABAC+=++=++=.故答案为：1112.四、解答题（本题共5小题，共77分

．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图,四边形ABCD为矩形,且2AD=,1AB=,PA⊥平面ABCD,1PA=,E为BC的中点．的（1）求证：PEDE⊥；（2）求四棱锥PABCD−的外接球体积．【答案】（1）

证明见解析（2）6π【解析】【分析】（1）连接AE，由线面垂直得到PADE⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE⊥平面PAE，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1

详解】连结,AEE为BC的中点,1ECCD==，∴DCE△为等腰直角三角形,则45DEC=，同理可得45AEB=，∴90AED=，∴DEAE⊥，又PA⊥平面ABCD，且DE平面ABCD，∴PADE⊥，又∵AEPAA=，,AE

PA平面PAE，∴DE⊥平面PAE，又PE平面PAE，∴DEPE⊥．【小问2详解】∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，∴PABCD−的外接球直径2222RABADPA=++，∴62R=，故：33446ππ6π332VR===，∴四棱锥PABCD−的外接球体积为6π．

16.ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知coscosaBbAbc−=+.（1）求角A的值；（2）若23,aABC=的面积为3，求,bc.【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变

换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】coscosaBbAbc−=+，由正弦定理可得：sincossincossinsinABBABC−=+，sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+，sincossin

cossinsincoscossinABBABABAB−=++，即2sincossinBAB−=，sin0B，1cos2A=−，(0,π)A，2π3A=.【小问2详解】由题意，13sin324ABCSbcAbc===△，所以4bc=，由222222cosabcbcAbcbc=+−=+

+，得()2216bcabc+=+=，所以4bc+=，解得：2bc==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“

合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【

解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A，1B，1C，在实践考试

中合格依次为2A，2B，2C，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525PPAA=−=−=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12AA，12BB，12CC，并且1A与2A，1B与2B，1

C与2C相互独立，则()12412525PAA==，()12321432PBB==，()12224339PCC==,由于事件12AA，12BB，12CC彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212AABBCC

AABBCCAABBCC++，概率212142141(1)(1)(1)52952952934P=−+−+−=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范

青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低

于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．的为（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在[50,60)的平均成

绩是56，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差2s．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平

均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a+++++=，解得0.030a=．【小问2详解】成绩落在)40,80内的频率为0.050.10.2

0.30.65+++=，落在)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数)80,90m，由()0.65800.0250.75m+−=，解得84m=，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图

知，成绩在)50,60的市民人数为1000.110=，成绩在)60,70的市民人数为1000.220=，所以10562065621020z+==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()()222110756622046562231020s

=+−++−=+.19.如图，三棱柱111ABCABC−中，2AB=，且ABCV与1ABA△均为等腰直角三角形，1π2ACBAAB==．（1）若1ABC为等边三角形，证明：平面1AAB⊥平面A

BC；（2）若二面角1AABC--的平面角为π3，求以下各值：①求点1B到平面1ACB的距离；②求平面11BAC与平面1ACB所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】

（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面

距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB的中点为E，连接CE，1AE，如图所示，因ABCV与1ABA△均为等腰直角三角形，1π2ACBAAB==，故1cos452BCABAB===，CEAB⊥，且112CEAB==，1112AEAB==，因为1ABC为等边三角形，故1

2==ACBC，为故22211ACCEAE=+，即1CEAE⊥，又AB，1AE平面1AAB，1AEABE=，故CE⊥平面1AAB，且CE平面ABC，故平面1AAB⊥平面ABC；【小问2详解】①由（1）知，CEAB⊥，1AEAB⊥，且平面1AAB平

面ABCAB=，故1CEA即二面角1AABC--的平面角，即1π3CEA=，故1CEA为等边三角形，则111CACEAE===，因为CEAB⊥，1AEAB⊥，1AECEE=，且CE，1AE平面1CEA，所以AB⊥平面1CEA

，设线段1AE中点为F，则1CFAE⊥，ABCF⊥，又AB，1AE平面11ABBA，1ABAEE=，CF⊥平面11ABBA，又在三角形1CEA中易知：32CF=，∴1111113132133226CABBABBVCFS−===，又在三

角形1ABC中，由11AC=，12BCAB==，则22211113cos24BCABACABCBCAB+−==，17sin4ABC=，则11117sin24ABCSABBCABC==，设点1B到平面1ACB的距离为d，又由1111113CABBBABCABCVVSd−−=

=△，可得2217d=，即求点1B到平面1ACB的距离为2217；②由①知，AB⊥平面1CEA，而11//ABAB，故11AB⊥平面1CEA，且1AC平面1CEA，故111ABAC⊥，则2211115BCABAC=+=，设1AC和1BC的中点分别为M，N，连接MN

，BN，BM，则11//MNAB，11112MNAB==，1MNAC⊥，又因为12BCAB==，故1BMAC⊥，且MN平面11ABC，BM平面1ABC，故BMN即二面角11BACB−−的平面角，且22221

1722BMBCCMBCAC=−=−=，因为112BBAABC===，故1BNBC⊥，则222211322BNBCCNBCBC=−=−=，所以2227312744cos277212BMMNBNBMNBMMN+−+−===，故平面11BAC与平面1ACB所

成角的余弦值为277．