【文档说明】【精准解析】专题32等比数列及其前n项和-（文理通用）【高考】.docx，共(24)页，1011.339 KB，由小赞的店铺上传

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专题32等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3.了解等比数列与指数函数的关系.基础知识融会贯通

1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1

·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，Ga＝bG，G2＝ab，G＝±ab，称G为a，b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am

·qn－m(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．5．等比数

列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为

Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.【知识拓展】等比数列{an}的单调性(1)满足a1>0，q>1或a1<0，0<q<1时，{an}是递增数列．(2)满足a

1>0，0<q<1或a1<0，q>1时，{an}是递减数列．(3)当a1≠0，q＝1时，{an}为常数列．(4)当q<0时，{an}为摆动数列．重点难点突破【题型一】等比数列基本量的运算【典型例题】在等比数列{an

}中，，则公比q的值为（）A．3B．C．2或D．3或【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，，则有2q，变形可得q2q+1＝0，解可得：q＝3或，故选：D．【再练一题】已知公比大于0的等比数列{an}满足a1＝3，前三项和S3＝21，则a2+a3+a4＝（）A．21B．42C．63D．8

4【解答】解：3（1+q+q2），即q2+q﹣6＝0，解得q＝2或q＝﹣3（舍），所以a2+a3+a4＝qS3＝2×21＝42．故选：B．思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解

．【题型二】等比数列的判定与证明【典型例题】已知数列{an}的前n项和为sn满足：．（I）已知数列{cn}满足cn＝an+2，求证数列{cn}为等比数列；（II）若数列{bn}满足，Tn为数列的前n项和，证：．【解答】解：（I）∵Sn＝2

an﹣2n，当n∈N*时，Sn＝2an﹣2n，①当n＝1时，S1＝2a1﹣2，则a1＝2，则当n≥2，n∈N*时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2（n﹣1）．②①﹣②，得an＝2an﹣2an﹣1﹣2，即an＝2an﹣1+2，∴an+2＝2（a

n﹣1+2）∵cn＝an+2即cn＝2cn﹣1，∴2，∴{cn}是以a1+2＝4为首项，以2为公比的等比数列．（II）由（Ⅰ）得出an+2＝4•2n﹣1＝2n+1∴n+1，∴TnTn两式相减TnTn，Tn+1﹣Tn0，∴Tn的最小值为T1∴．【再练一题】在数列{an}中，已知an+1

an＝2an﹣an+1．且a1＝2（n∈N*）．（1）求证：数列{1}是等比数列；（2）设bn＝an2﹣an，且Sn为{bn}的前n项和，试证：2≤Sn＜3．【解答】证明：（1）由an+1an＝2an﹣an+1，得，即，∴，∵a1＝2，∴0．∴

，即数列{1}是等比数列；（2）∵{1}是等比数列，且首项为，公比为，∴，则．∴bn＝an2﹣an．∵b1＝2，，∴Sn＝b1+b2+…+bn≥2；又（n≥2），∴Sn＝b1+b2+…+bn．∴2≤Sn＜3．思维升华(1)证明一个数列为等

比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．【题型三】等比数列性质的应用【典型例题】设{an

}为等比数列，给出四个数列：①{2an}；②{an2}；③；④{log2|an|}，其中一定为等比数列的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【解答】解：{an}为等比数列，设其公比为q，则通项为，所以对

于①，2an是以2a1为首项，以q为公比的等比数列，对于②，为常数，又因为0，故②为等比数列，对于③，，不一定为常数，对于④，，不一定为常数，故选：A．【再练一题】已知数列{an}为等比数列，且a8a9a10＝﹣a132＝﹣1000，则a10a12＝．【解

答】解：根据题意，等比数列{an}满足a8a9a10＝﹣a132＝﹣1000，则有（a9）3＝﹣1000，则a9＝﹣10，a132＝1000，则a13＝±10，又由a13＝a9q4＜0，则a13＝﹣10，则a10a12＝a9a13＝100；故答案为：100．思维升华等

比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形．(2)等比中项的变形．(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．基础知识训练1．【辽宁省朝阳市重点高中2019

届高三第四次模拟考试】在等比数列na中，121aa=，369aa=，则24aa=（）A．3B．3C．3D．3【答案】A【解析】设等比数列na的公比为q，因为1210aa=，所以0q，又369aa=，所以41326293aaaaaa===.故选A2．【江西省临川一中201

9届高三年级考前模拟考试】已知正项等比数列na的前n项和为nS，且2474SS=，则公比q的值为（）A．1B．1或12C．32D．32【答案】C【解析】因为2474SS=，所以()()()124234344aaSSaa+=−=+，故234q=，因na为正项等比数

列，故0q，所以32q=，故选C.3．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知等比数列{}na的公比12q=−，该数列前9项的乘积为1，则1a=（）A．8B．16C．32D．64【答案】B【解析】由已知1291aaa=，又2192837465aaaaaaaaa===

=，所以951a=，即51a=，所以41112a−=，116a=，故选B.4．【内蒙古2019届高三高考一模试卷】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,

60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)mm石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为（）A．20%369B．8

0%369C．40%360D．60%365【答案】A【解析】解：设“衰分比”为a,甲衰分得b石,由题意得23(1)80(1)(1)16480164babababm−=−+−=++=,解得125b=,20%a=,369m=．故选：A．5．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期

考前模拟考试】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说

:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还()升粟？A．253B．503C．507D．1007【答案】D【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,aaa，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S

=则31(21)5021a−=−，解得1507a=，所以马主人要偿还的量为：2110027aa==，故选D.6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】在等比数列na中，131a

a+=，5791120aaaa+++=，则1a=（）A．16B．13C．2D．4【答案】B【解析】因为()45713aaaaq+=+＝q4，()891113aaaaq+=+所以q8+q4＝20，所以q4＝4或q4＝﹣5（舍），所以q2＝2，13aa+211aaq=+=13a＝1，所以1a13

=．故选：B．7．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】若等比数列{}na的各项均为正数，23a=，23174aaa=，则5a=（）A．34B．38C．12D．24【答案】D【解析】解：数列{}na是等比数列，各项均为正数，2231744aaaa==，所以224234aq

a==，所以2q=．所以33523224aaq===，故选：D．8．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】已知等比数列na中，37a=，前三项之和321S=，则公比q的值为（）A．1B．12−C．1或12−D．112−或【答案】C【解析】等比数列na中，37a=

，前三项之和321S=，若1q=，37a=，33721S==，符合题意；若1q，则()213171211aqaqq=−=−，解得12q=−，即公比q的值为1或12−，故选C.9．【黑龙江

省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试】在各项不为零的等差数列na中，2201720182019220aaa−+=，数列nb是等比数列，且20182018ba=，则()220172019logbb的值为（

）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】因为等差数列na中2017201920182aaa+=，所以2220172018201920182018224=0aaaaa−+=−，因为各项不为零，所以2018=4a，因为数列nb是等比数列，所以2201720192018==

16bba所以()2201720192log=log16=4bb，故选C.10．【湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2019届高三高考模拟（二)】已知数列na是等比数列，数列nb是等差数列，若261033aaa=，16117b

bb++=，则21039tan1bbaa+−的值是（）A．1B．22C．22−D．3−【答案】D【解析】na是等比数列32610633aaaa==63a=nb是等差数列1611637bbbb++==6

73b=2106239614273tantantantantan3111333bbbaaa+===−=−=−−−−本题正确选项：D11．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考】已知函数()()221

fxxRx=+，若等比数列na满足120191aa=，则()()()()1232019......fafafafa++++=（）A．2019B．20192C．2D．12【答案】A【解析】120191aa=()()1201922120192211fafaaa\+=+++212221112122

22=211111aaaaa=+=+++++na为等比数列，则21201920181009101021011=1====aaaaaaa()()()()()220181001011101092=2=1fafafafafa\+=+，，，即()

()()()1232019=210091=2019fafafafa+++??12．如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3:4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛

网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:7lg0.155）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】B【解析】记由外到内的第n个正方形的边长为na，则12554

14,...4()77nnaaa===，，.1251()57...414(1())5717nnnaaa−+++==−−.令1251()57...414(1())135717nnnaaa−+++==−

−，解得117.6677lg5n+，故可制作完整的正方形的个数最多为7个.应选B.13．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷】已知等比数列na满足112a=，且2434(1)aaa=−，则5a＝_______．【答案】8【解析】∵2434(1)aaa=−∴2334(

1)aa=−，则3a＝2∴223512812aaa===．故答案为：814．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】已知数列na的前n项积为nT，若对2n，nN，都有2112nnnTTT+−=成立，且11a=，22a=，则数列na的前

10项和为____．【答案】1023【解析】因为2112nnnTTT+−=，故112nnnnTTTT+−=即12nnaa+=（2n），而212aa=，所以na为等比数列，故12nna-=，所以(

)1010112102312S−==−，填1023.15．【苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】已知正项等比数列na的前n项和为nS．若9362SSS=+，则631SS+取得最小值时，9S的值为_______．【答案】733【解析

】由9362SSS=+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111aqaqaqqqq−−−=+−−−，化简得：936112(1)qqq−=−+−，即963220qqq−−+=，即63(1)(2)0qq−−=，得32q=，化简得631SS+＝

6131(1)11(1)aqqqaq−−+−−＝1131231aqqa−+−，当11311aqqa−=−，即113qa−=时，631SS+取得最小值，所以919(1)1aqSq−==−91(1)13qqq

−−−＝733故答案为：73316．【山东省聊城市2019届高三三模】已知正项等比数列{}na满足5432aaa+=，若存在两项ma，na，使得18mnaaa=，则91mn+的最小值为__________．【答案】2【

解析】正项等比数列{}na满足5432aaa+=，432111=+2aqaqaq，整理，得210+2qq−=，又0q，解得，12q=，存在两项ma，na使得18mnaaa=，2221164mnaqa+−=，整理，得8mn+=，9119119()()(10)8

8mnmnmnmnnm+=++=++19(102)28mnnm+=…，则91mn+的最小值为2．当且仅当9mnnm=取等号，又m，*nN．8mn+=，所以只有当6m=，2n=时，取得最小值是2．故答案为：217．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6

月)】等差数列na中，410a=且3a，6a，10a成等比数列，数列na前20项的和20S=____【答案】200或330【解析】设数列na的公差为d，则3410aadd=−=−，641042102,6106aadda

add=+=+=+=+，由3610,,aaa成等比数列，得23106aaa=，即()()()210106102ddd−+=+，整理得210100dd−=，解得0d=或1d=，当0d=时，20420200Sa==；当1d=时，

14310317aad=−=−=，于是2012019202071903302Sad=+=+=，故答案为200或330.18．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知数列na满足112(1)0,4nnnanaa++−

==，则数列(1)(2)nann++的前n项和为___________.【答案】2222nn+−+【解析】由12(1)0nnnana++−=，得121nnaann+=+，所以数列nan是以1141aa==为首项，2为公比的等比数列，于是1142

2nnnan−+==，所以12nnan+=，因为12(1)(2)(1)(2)nnannnnn+=++++212221nnnn++=−++，所以(1)(2)nann++的前n项和32432122222232432

1nnnSnn++=−+−++−++2222nn+=−+.19．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试】已知等差数列na的前n项和为nS，且满足关于x的不等式21220axSx−+的解集为()1

,2.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足221nannba=+−，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）nan=；（2）2122nnTn+=+−.【解析】（1）依题意可得：设等差数列

na的首项1a，公差为d，因为关于x的不等式21220axSx−+的解集为()1,2，则由21123Sa=+=得1ad=；又122a=，∴11a=，1d=,∴nan=.（2）由题意可得22nan=，22nan=，所以

221212nannbnn=+−=−+,∴()()2121212122212nnnnnTn+−+−=+=+−−.20．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知数列na满足11a=，1431nnaan+=+−，nnba

n=+.（1）证明：数列{}nb为等比数列；（2）求数列na的前n项和.【答案】（1）见证明；（2）()221141322nnn−−−【解析】证明：（1）∵nnban=+，∴111nnban++=++.又∵1431nnaan+=+−，∴()1143111nnn

nnnannbanbanan+++−++++==++()44nnanan+==+.又∵111112ba=+=+=，∴数列nb是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124nnb−=，∴124nnnabnn−=−=−

，∴()()211221412(1444)(123)142nnnnnnSaaan−−+=+++=++++−++++=−−()221141322nnn=−−−.21．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知数列na满足11a=,()12212nna

ann−=+−，数列nb满足23nnban=++.（Ⅰ）求证数列nb是等比数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）123246nnSnn+=−−−【解析】解：（Ⅰ）当1n=时，11a=，故16b=.当2n时，

1221nnaan−=+−，则12322123nnnbanann−=++=+−++()()112212213nnanan−−=++=+−+，12nnbb−=，数列nb是首项为6，公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得32nnb=，23nna

bn=−−3223nn=−−，()()232222123nnSnn=+++−+++−()()21231312nnnn−=−+−−，123246nnSnn+=−−−.22．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业

班第三次模拟考试】已知等比数列na的前n项和为nS，0na且1336aa=，()34129aaaa+=+.（1）求数列na的通项公式；（2）若13nbnS+=，求数列nb及数列nnab的前n项和nT.（3）设()()111nnnnacaa+=++，求nc的前n项和nP.

【答案】（1）123nna−=；（2）(21)3122nnnT−=+；（3）nP=116432n−+【解析】解：（1）由题意得：()34129aaaa+=+，可得()()212129aaqaa+=+，29q=，由0na，可得3q=，由13

36aa=，可得21136aaq=，可得12a=，可得1*23()nnanN−=;(2)由123nna−=，可得1(1)2(31)31131nnnnaqSq−−===−−−，由13nbnS+=，可得

3113nbn−+=，可得nbn=，可得nnab的通项公式：nnab=123nn−，可得：0122123223233...2(1)323nnnTnn−−=++++−+①1231323223233...2(1)323nnnTnn−=++++−+

②①-②得：13(31)2222331nnnTn−−−=+−−23323nnn=+−−=(12)31nn−−，可得(21)3122nnnT−=+;(3)由()()111nnnnacaa+=++可得()()11123111()2231231231231

nnnnnnc−−−==−++++，可得：nP=11111111(...)237719231231nn−−+−++−++=111()23231n−+=116432n−+能力提升训练1．【江西省吉安一中、九江一中

、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知数列na是等比数列，若2678492maaaaa=−，且公比3(5,2)q，则实数m的取值范围是（）A．(2,6)B．(2,5)C．(3,6)D．(3,5)【答案】C【解析】2678492maaaaa=

−，2112142111112maqaqaq=−，32mq=−，()35,2q，()35,8q，()3,6m，故选C.2．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研测试】已知正项等比数列na满足9

872aaa=+，若存在两项ma，na，使得212mnaaa=，则14mn+的最小值为（）A．22B．83C．3D．32【答案】C【解析】解：设等比数列的公比为q（q＞0），∵a9＝a8+2a7，∴a7q2＝a7q+2a7，∴q2﹣q﹣2＝0，∴q＝2或q=-1（舍），∵存在两项am，a

n使得212mnaaa=，∴21122112,22,21,3.mnmnaqamnmn−+−+−==+−=+=，∴()14114141593333nmmnmnmnmn+=++=++=故选C.3．【宁夏银川市2019届高三下学期质量检测】已知等比数列na的公比为q，3

4a=，2410aa+=−，且1q，则其前4项的和为（）A．5B．10C．5−D．10−【答案】C【解析】等比数列na的公比为q，34a=，2410aa+=−21311410aqaqaq=+=−，解得12q=−（舍去）

或2q=−1241aq==()4412512S−−==−+本题正确选项：C4．【湖南省2019届高三六校(长沙一中、常德一中等)联考】已知公差0d的等差数列{}na满足11a=，且2a，42a−，6a成等比数列，若正整数m，n满足10mn−=，则mnaa−=()A．10B．20C．

30D．5或40【答案】C【解析】由题知()24262aaa−=，因为na为等差数列，所以()()()231115ddd−=++，因为0d，解得3d=，从而()30mnaamnd−=−=，故选C.5．【2019年安徽省马鞍山市高考数学一模】数列{}na为等比数列，若11a=，748

aa=，数列1na的前n项和为nS，则5(S=)A．3116B．158C．7D．31【答案】A【解析】数列na为等比数列，11a=，748aa=，638qq=，解得2q=，1112nnnaaq−−==，数列1na的前n项和为nS，551111111312112

48161612S−=++++==−．故选：A．6．【北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一

天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……”那么该人第一天走的路程为______________【答案】192【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，则S6611

[1)2112a−==−378，解可得：a1＝192，即该人第一天走的路程为192里．故答案为：192里．7．【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】已知数列11na−是公比为13的等比数列，且10a，若数列{}na是递增数列

，则1a的取值范围为______．【答案】(0,1)【解析】由已知得11111113nnaa−−=−，则11111113nnaa−=−+.因为10a，数列na是单调递增数列，所以10nn

aa+，则111111111111133nnaa−−+−+，化简得111110113aa−−，所以101a.8．【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】设等比数列{}na的前n项和为nS.若63

7SS=−，则4332aaaa+=+__________．【答案】-2【解析】设等比数列na的公比为q．①当1q=时，637SS=−不成立．②当1q时，由637SS=−得61317(1)(1)11aaqqqq=−−−

−−，整理得317q+=−，即38q=−，解得2q=−．所以43333222(1)2(1)qqaaaaqaaaa++===+=−+．故答案为：2−．9．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测】在正项递增等比

数列{}na中，51a=，记12...nnSaaa=+++，12111...nnTaaa=+++，则使得nnST成立的最大正整数n为__________．【答案】9【解析】由题得11111(1)(1)(1)11(1)1nnnnqqa

qaqqqaqq−−−=−−−，因为数列是正项递增等比数,所以10,1aq，所以2111naq−.因为51a=，所以44281111,,aqaqaq−−===，所以81901,,9nnqqqqn−−−.所以使得nnST

成立的最大正整数n为9.故答案为：910．【四川省2018-2019年度下期(4月)高三“联测促改”活动】已知等比数列na中，22a=，514a=，则122334aaaaaa+++=__________．【答案】34132【解析】设数列na的公比为q，则35218aqa==，所以12q=

，214aaq==，所以数列1nnaa+是首项为128aa=，公比214q=的等比数列，所以122356aaaaaa+++=5181321341411310243214−=−=−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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