山西省吕梁市2023届高三三模数学试题(B卷) 含解析

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【文档说明】山西省吕梁市2023届高三三模数学试题(B卷) 含解析.docx,共(22)页,1.387 MB,由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

山西省吕梁市三模(数学B卷及答案)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动

,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.1.已知集合22Axxx=,1Bxyx==−,则AB=()A.(0,1B.()0,1C.()1,2D.()0,2【答案】A【解析】【分析】先化简集合A和B,再根据交集的定义求解.【详解】由题得22

002Axxxxx=−=,11Bxyxxx==−=,所以(010,1ABxx==.故选:A.2.已知复数z满足()()1i2i2iz−−=,则z的虚部为()A.1−B.i−C.3D.3i【答案】C【解析】【

分析】利用复数定义及运算法则计算即可.【详解】因为()()()2i1i2i2i2ii12i13i1i1i1iz+=+=+=−+=−+−−+,所以z的虚部为3,故选:C.3.若双曲线C的一条渐近线的方程为20xy+=,则下列选项中不可能为双曲线C的方程的是()A.2214xy−=B.22120

5xy−=C.22182−=yxD.221312yx−=【答案】C【解析】【分析】求出每一选项中双曲线的渐近线方程,即可得答案.【详解】解:对于A,由题意可知,此双曲线的渐近线方程为:12yx=,即20xy=,符合题意;对于B,由题意可知,此双曲线

的渐近线方程为:12yx=,即20xy=,符合题意;对于C,由题易知双曲线22182−=yx的渐近线方程为2yx=,不符题意;对于D,由题意可知,此双曲线的渐近线方程为:12yx=,即20xy=,符合题意.故选:C.4.已知向量,ab满足()()1,,21

,3aba=+=−,且ab⊥,则实数=()A.1或12B.-1或12C.1或12−D.-1或12−【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解.【详解】()()1,,21,3aba=+=−所以()()()1,321,1,32b=−−=−−−,因

为ab⊥,所以()11320ab=−−+=,解得1=−或12−,故选:D.5.已知定义在R上的函数()fx满足()()3fxfx+=−,()()2gxfx=−为奇函数,则()198f=()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析

】由题意推出函数()fx的周期以及满足等式()()4fxfx+−=,赋值求得()02f=,利用函数的周期性即可求得答案.【详解】因为()()3fxfx+=−,所以()()()63fxfxfx+=−+=,所以()fx的周期为6,又()()2gxfx=−为奇函数,

所以()()220fxfx−+−−=,所以()()4fxfx+−=,令0x=,得()204f=,所以()02f=,所以()()()198063302fff=+==,故选:C.6.已知3sin375,则2sin8cos532cos8sin53

+−的近似值为()A.34B.43C.324D.423【答案】B【解析】【分析】首先求出cos37,再根据()()4sin53sincos532sin8cos53cos53sinsin532co345n45i5455s8s−−+=−+−利用两角

差的正、余弦公式展开,最后利用诱导公式变形,代入计算可得.【详解】因为3sin375,所以24cos371sin375=−,所以2sin8cos532sin8cos5322cos8sin532cos8sin532++=−−()()sin53sincos53cos53si

nsin4545454535−−+=−sin5353sincos53cos5353sinsincos45cossin4545cos45sinsin453455−++=−c

os45cossin53cos5345=()()4sin9037cos37453cos9037sin3735−==−=.故选:B7.在一节数学研究性学习的课堂上,老师要求大家利用超级画板研究空间几何体的体积,步骤如下:第一步,绘制一个三角形;第二步,将所

绘制的三角形绕着三条边各自旋转一周得到三个空间几何体;第三步,测算三个空间几何体的体积,若小明同学绕着ABC的三条边AB,BC,AC旋转一周所得到的空间几何体的体积分别为82,,43,则cosBAC=()A14−B.78C.111

6D.516【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,结合旋转体的体积求出ABC三边的关系,再利用余弦定理求解作答.【详解】令ABC的三边,,ABBCAC分别为,,cab,边AB上的高为ch,ABC的面积为S,则以直线AB为轴所得旋转体体积2

1π23chc=,有226πcchc=,于是232πcS=,同理可得2223,ππabSS==,则有3,22abcb==,由余弦定理得2222223(2)()112cos22216bbbbcaBACbcbb+−+−===.故选:C8.若()20.7ln3.514,,2

2eaebc===,则,,abc大小关系为()A.acbB.bacC.cbaD.bca【答案】A【解析】【分析】令()ln12xfxx=+−,利用其单调性比较b与c的大小;令()21e12xgxxx=−−−

,利用其单调性比较a与c的大小.【详解】解:令()ln12xfxx=+−,则()111222xfxxxx−=−=,当()1,x+时,()0fx,故函数()fx在()1,+上单调递减,故()()3.510ff=,即()2ln3.5eln3.51413.5222+=

=,即bc;.的令()21e12xgxxx=−−−,则()e1xgxx=−−,当()0,1x时,()0gx,故函数()gx在()0,1上单调递增,故()()0.700gg=,即20.70.714e10.71.9453.522++==,故ac,则acb,故选:A.二、选择题:

本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知某校高二男生的身高X(单位:cm)服从正态分布N(175,16),且()220.95

44PX−+=,则()A.该校高二男生的平均身高是175cmB.该校高二男生身高的方差为4C.该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%D.从该校高二男生中任选一人,身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等【答案】

AD【解析】【分析】根据正态分布的定义和对称性知AD正确,B错误,再计算概率得到10.95440.032P−=,C错误,得到答案.【详解】对选项A:在()2,N中,为平均数,正确;对选项B:方差为216=,错误;对选项C:183

2=+,则身高超过183cm概率10.95440.032P−=,错误;对选项D:正态曲线关于直线175X=对称,所以身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等,正确;故选:AD10.已知函

数2()e2e12xxfxx=−−,则下列说法正确的是()A.曲线()yfx=在0x=处的切线与直线120xy+=垂直B.()fx在(2,)+上单调递增C.()fx的极小值为312ln3−的D.()fx在2,1−上的最小值为312ln3−【答案】BC【解析】【分析】求出函数的导函数,

求出()0f,即可判断A,求出函数的单调区间,即可判断B、C、D.【详解】因为2()e2e12xxfxx=−−,所以()()2()2e2e122e3e2xxxxfx=−−=−+,所以()012f=−,故A错误;令()0fx¢>,解得ln3x,所以()fx的单调递增区间为()ln3,

+,而()()2,ln3,++,所以()fx在(2,)+上单调递增,故B正确;当ln3x时()0fx,所以()fx的单调递减区间为(),ln3−,所以()fx的极小值为()ln3312ln3f=−,故C正确;()fx在2,1−上单调递减,所以最

小值为()21e2e12f=−−,故D错误;故选:BC11.已知点(,)Pmn是椭圆22132xy+=上的动点,点(),0(0Qaa且3)a,则|PQ|最小时,m的值可能是()A.-1B.3C.aD.3a【答案】BD【解析】【分析】由22223nm=−,结合距离公式、二次函数的单调性得

出m的可能值.【详解】因为点(),Pmn在椭圆22:132xyC+=上,所以()22222133,2323mnmnm+=−=−,所以22222221()()22233PQmanmammama=−+=−+−=−

++221(3)223maa=−+−,若303a≤,当3ma=时,PQ最小,若33a,当3m=时,PQ最小.故选:BD.12.已知函数()()πsin0,2fxx=+,满足()π

6fxfx=−−,5π012f=,且在π2π,189上单调,则的取值可能为()A.1B.3C.5D.7【答案】AB【解析】【分析】由()π6fxfx=−−,知函数()fx的图象关于直线π12x=−对

称,结合5π012f=可知5π12是函数()fx的零点,进而得到=2+1n,Zn,由()fx在π2π,189上单调,可得6,进而1,3,5=,分类讨论验证单调性即可判断.【详解】由()π6fxfx=−−,知函数()fx的图象关于直线π12x=

−对称,又5π012f=,即5π12是函数()fx的零点,则()()5ππ112π2121121244nTn+=+=+,Zn,即=2+1n,Zn.由()fx在π2π,189上单调,则12π2πππ29186−=,即6

,所以1,3,5=.当1=时,由5ππ12k+=,Zk,得5ππ12k=−+,Zk,又π2,所以5π12=−,此时当π2π,189x时,5π13π7π,123636x−−−,所以()5πsin12fxx=−在π2π,189上

单调递增,故1=符合题意;当3=时,由5π3π12k+=,Zk,得5ππ4k=−+,Zk,又π2,所以π4=−,此时当π2π,189x时,ππ5π3,41212x−−,所以()πsin34fx

x=−在π2π,189上单调递增,故3=符合题意;当5=时,由5π5π12k+=,Zk,得25ππ12k=−+,Zk,又π2,所以π12=−,此时当π2π,189x时,π

7π37π5,123636x−,所以()πsin512fxx=−在π2π,189上不单调,故5=不符合题意.综上所述,1=或3.故选:AB.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若命题“0R

x,01ax=+”为真命题,则实数a的取值范围为___________.(用区间表示)【答案】)1,+【解析】【分析】求出函数1yx=+的值域,结合存在量词命题为真命题作答.【详解】因为11x+,即函数1yx=+的

值域为)1,+,所以实数a的取值范围为)1,+.故答案为:)1,+14.已知直线:220lxy−−=被圆:C22240+−++=xyxym截得的线段长为255,则m=______.【答案】4【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式,即可得到圆心坐标与半径,再

求出圆心到直线的距离,最后利用勾股定理计算可得.【详解】圆C:22240+−++=xyxym,即()()22125xym−++=−圆心为()1,2C−,半径5rm=−,则圆心C到直线:220lxy−−=的距离()()22212225521d−−−

==+−,又直线被圆截得的线段长为255,所以222525rd−=,即225252555m−−=,解得4m=.故答案为:415.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办,在杭州亚运会三馆(杭州奥体中心的体

育馆、游泳馆和综合训练馆)对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作,每个场馆至少分配1位志愿者,且甲、乙分配到同一个场馆,则甲分配到游泳馆的概率为_________.【答案】13【解析】【分析】利用计数原理和排列

组合公式,分别计算甲、乙分配到同一个场馆的方法数和甲分配到游泳馆的方法数,根据古典概型的计算公式计算.【详解】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况:(1)场馆分组人数为1,1,3时,甲、乙必在3人组,则方法数为1333CA18=

种;(2)场馆分组人数为2,2,1时,其中甲、乙在一组,则方法数为122332CCA18=种,即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为181836n=+=.若甲分配到游泳馆,则乙必然也在游泳馆,此时的方法数为12123232CACA12m=+=,故所求的概

率为121363mPn===.故答案为:1316.在平面四边形ABCD中,3ADCD==,90ADCACB==,60ABC=,现将ADC△沿着AC折起,得到三棱锥DABC−,若二面角DACB−−的平面角为135°,则三棱锥DABC−的外接球表面积为_________

_.【答案】10π【解析】【分析】先求出外接球的球心,根据几何关系求出外接球的半径即可.【详解】如图,取AC的中点E,AB的中点F,连接EF,DE,因为ADCD=,所以DEAC⊥,因为BCAC⊥,//EFBC,所以EFAC⊥,135DEF=;过点E作OE⊥平面DA

C,过点F作OF⊥平面ABC,OEOFO=,因为点E,F分别是DAC△和ABC的外心,所以点O是三棱锥DABC−的外接球的球心;由3AD=,得6AC=,2BC=,22AB=,所以1222EFBC==,45OEF=,22OFEF==,122AFAB==,2

252OAOFAF=+=,则三棱锥DABC−的外接球的半径52R=,所以外接球的表面积24π10πSR==;故答案为:10π.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和为nS,且2321nnSn=−−.(1)求数列na的通项公

式;(2)若1223nnnnbaa++=,求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)131nna−=−;(2)111231nnT+=−−.【解析】【分析】(1)根据nS与na的关系即可求解数列的通项公式;

(2)由(1)可得1113131nnnb+=−−−,结合裂项相消求和法即可求解.【小问1详解】2321nnSn=−−①,当1n=时,11223210Sa==−−=,解得10a=.当2n时,11232

1nnSn−−=−+②,①-②,得112332232nnnna−−=−−=−,所以131nna−=−,又10a=,符合上式,故131nna−=−.【小问2详解】由(1)知131nna−=−,则11231,31nnnnaa+++=−=−,所以()()1112232311313131

31nnnnnnnnnbaa++++===−−−−−,则12nnTbbb=+++12231111111313131313131nn+=−+−++−−−−−−−11111113131231nn++=−=−−−−.18.数据显示中国车载音乐已步入快速发展期,随

着车载音乐的商业化模式进一步完善,市场将持续扩大,下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模(单位:十亿元),其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5.年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知,

可用指数函数模型xyab=拟合y与x的关系,请建立y关于x的回归方程(a,b的值精确到0.1);(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素,某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后,通过修正,把b-1.3作为2023年

与2024年这两年的年平均增长率,请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模.参考数据:v51iiixv=0.524e0.472e1.9433.821.71.6其中lniivy=,5=115=iivv.参考公式:对于一组数据()()()11

22,,,,,,nnuvuvuv,其回归直线ˆˆˆvau=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆˆˆ,niiiniiuvnuvavuunu==−==−−.【答案】(1)ˆ1.71.6xy=(2)28.73十亿元【解析】【分析】(1)由xyab

=,两边同时取常用对数得到lnlnlnyaxb=+,设lnvy=,ln,lnab==,利用最小二乘法求解;(2)由(1)得到2023年与2024年这两年的年平均增长率1.3.1.603−=和2022年中国车载音乐市场规模为17求解.【小问1详解】解:因

为xyab=,所以两边同时取常用对数,得lnlnlnyaxb=+,设lnvy=,所以lnlnvaxb=+,设ln,lnab==,因为3,1.94xv==,所以515221233.82531.940.472,555355iiiiixvxvxx==−=−=−=−1.940.47

230.524vx=−=−=,所以ˆˆln0.524,ln0.472ab==所以0.5240.472ˆˆe1.7,e1.6ab====所以ˆ1.71.6xy=【小问2详解】由(1)知2023年与2024年这两年的年平均增长率1.3.1.603−=,2022年中国车载音乐市

场规模为17,故预测2024年的中国车载音乐市场规模()21710.328.73+=(十亿元).19.在①3sin4abCABAC=;②()3sin4cos4aBBc+=,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.已知ABC的内角A,B

,C所对的边分别为a,b,c,___________.(1)求sinA的值;(2)若ABC的面积为2,4a=,求ABC的周长.注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)4sin5A=(2)442+【解析】【分析】(1)根据所选条件,利用正弦定理边

化角,结合两角和的正弦公式化简,可求sinA的值;(2)由面积公式求得5bc=,再利用余弦定理求得bc+,可得ABC的周长.【小问1详解】若选①,由已知得3sin4cosabCbcA=,所以3sin4cosaCcA=,由正弦定理得3sinsin4si

ncosACCA=,又()0,πC,所以sin0C,所以3sin4cosAA=,又22sincos1AA+=,由()0,πA,sin0A,解得4sin5A=.若选②,由已知及正弦定理得3sinsin4sincos4sinABABC+=,所以()3s

insin4sincos4sinABABAB+=+,所以3sinsin4sincos4sincos4cossinABABABAB+=+,所以3sinsin4cossinABAB=,又()0,πB,所以sin0B,所以3sin4cosAA=,又22sin

cos1AA+=,由()0,πA,sin0A,解得4sin5A=.【小问2详解】由ABC的面积为2,得12sin225bcAbc==,所以5bc=,由(1)可得23cos1sin5AA=−=,由余弦定理得22222163cos2105bcabcAbc+−+−===,所以2222bc+=

,所以22242bcbbcc+=++=,所以ABC的周长为442abc++=+.20.如图,在多面体ABCEF中,⊥AE平面ABC,AEBF∥,D为AB的中点.22ACBC==,44ABBFAE===.(1)证明:DE⊥平面CDF;(2)求二面角ECFD−−的平面角的

余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)105.【解析】【分析】(1)证明一条直线垂直于一个平面只要证明该直线垂直于平面内两条相交直线即可;(2)建立空间坐标系,运用数量积求解.【小问1详解】因为ACBC=,D为AB的中点,所以CDAB⊥,又⊥

AE平面ABC,CD平面ABC,所以AECD⊥,又=AEABA,AE,AB平面ABFE,所以CD⊥平面ABFE,又DE平面ABFE,所以CDDE⊥,在RtAED中,1,2,5AEADED===,

在RtBDF中,2,4,2025BDBFFD====,在直角梯形ABEF中,运用勾股定理可得()22291625,5EFBFAEABEF=−+=+==,所以222DEDFEF+=,所以DEDF⊥,又CDDFD=,CD,DF平面CDF,所以DE⊥平面CDF;【小问2详解】由题知2

22CBCDBD=−=,过D作//DMAE交EF于M,则DM⊥平面ABC,可得DMAB⊥,DMCD⊥,以D为坐标原点,向量DB,DC,DM的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,2,0C,()2,0,1E−,()2,0,4F,所以

()2,2,1CE=−−,()2,2,4CF=−,设平面CEF的一个法向量为(),,mxyz=,由00mCEmCF==得2202240xyzxyz−−+=−+=,的取3x=−,则5y=,4z=,所以(

)3,5,4m=−.由(1)知平面CDF的一个法向量为()2,0,1DE=−,设二面角ECFD−−的平面角为,易知为锐角,则()()()22222232504110coscos,5354201mDEmDEmDE−−++====−++−++;综上,二面角E

CFD−−的平面角的余弦值为105.21.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F,,AB分别为C上两个不同的动点,O为坐标原点,当OAB为等边三角形时,83AB=.(1)求C的标准方程;(2)抛物线C在第一象限的部分是否存在点P,使得点P满足4PAPBPF+=,且点P到直线AB

的距离为2?若存在,求出点P的坐标及直线AB的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1)24yx=(2)存在,点727,93P,直线AB的方程为3710xy++=.【解析】【分析】(1)由对称性可知当OAB为等边三角

形时,,AB两点关于x轴对称,可得点()12,43在C上,代入22ypx=,解得p,即得C的标准方程;(2)设直线AB的方程为xkym=+,与抛物线联立,结合韦达定理和条件4PAPBPF+=,得232km+=,由点P到直线AB的距离为2,可得222mmk−=,联立可解得答案

.【小问1详解】由对称性可知当OAB为等边三角形时,,AB两点关于x轴对称,当OAB为等边三角形时,OAB的高为3122AB=,由题意知点()12,43在C上,代入22ypx=,得()24324p=,解得2p=,所以C的标准方程为24yx=.【小问2详解】由(1)

知()1,0F,根据题意可知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为xkym=+,()11,Axy,()22,Bxy,()00,Pxy,联立24xkymyx=+=,得2440ykym−−=,所以216160km=+,即20km+,且124yyk+=,12

4yym=−,所以()21212242xxkyymkm+=++=+,由4PAPBPF+=,得()()()1010202000,,41,xxyyxxyyxy−−+−−=−−,所以120120422?xxxyyy+−=−+=−,所以200222?xmkyk

=−−=−,即()222,2Pmkk−−−,又点P在C上,所以()224422kmk=−−,即232km+=,①所以()222223210kmkkk+=+−=−,解得11k−,又点P在第一象限,所以20k−,所以10k−.又点P

到直线AB的距离222222221211mkkmmdkk−−+−−===++,化简得222mmk−=,②联立①②解得1373mk=−=−,或1373mk=−=(舍去),或20mk==(舍去).此时点727,93P,直线

AB的方程为3710xy++=.22.已知函数()exfxxa=−.(1)讨论函数()fx在2,1−上的零点个数;(2)当0a=且(1,0)(0,)x−+时,记2()ln(1)()1fxxMxxx+=−,探究()Mx与1的大小关系,并说明理由.【答案】(1)

答案见解析(2)()1Mx,理由见解析【解析】【分析】(1)求导,得到函数单调性和极值情况,并结合端点值大小,分类讨论得到函数的零点个数;(2)判断出()1Mx,不等式同构变形得到()()ln11e1e1lnxxxx+−−+,构造()e1xhxx−=,得到其单调性,并构造()(

)ln1txxx=−+的单调性,证明出结论.小问1详解】()()1exfxx=+,2,1x−,当2<<1x−−时,()0fx,当11x−时,()0fx,故()fx在()2,1−−上单调递减,在()1,1−上单调递增,又1(

1)efa−−=−−,2(2)2efa−−=−−,(1)efa=−,其中22eeaa−−−−,若1(1)e0fa−−=−−,即1ea−−时,()fx零点个数为0,若1(1)e0fa−−=−−=,即1ea−=−时,()f

x零点个数为1,若12(1)e0(2)e0fafa−−−=−−−=−−,即12eea−−−−时,()fx零点个数为2,若2(1)e0(2)e0fafa−=−−=−−,即2eea−−时,()fx零点个数为1,若(1)e0fa=−,即

ea时,()fx零点个数为0,综上:当1ea−−或ea时,()fx零点个数为0,当1ea−=−或2eea−−时,()fx零点个数为1,当12eea−−−−时,()fx零点个数为2.【小问2详解】()1

Mx,理由如下:()2ln(1)()1exxMxx+=−,(1,0)(0,)x−+,当()1,0x−时,()ln10x+,故()0ln1xx+,【当()0,x+时,()ln10x+,故()0l

n1xx+,要证()21eln(1)1xxx+−,即证()1e1lnxxxx−+,其中()()()ln111lneln1xxxx+−=++,故即证()()ln11e1e1lnxxxx+−−+,令()e1xhxx−=

,()(),00,x−+,即证()()ln1hxhx+,()21eexxhxxx−+=,令()1eexxxx=−+,则()exxx=,当0x时,()e0xxx=,当(),0x−时,()e0xxx=,故()1eexxxx

=−+在(),0x−上单调递减,在()0,x+上单调递增,故()()00=x在()(),00,x−+上恒成立,所以()0hx在()(),00,x−+上恒成立,则()e1xhxx−=在()(),0,0,−+上单调

递增,则()ln1xx+,令()()ln1txxx=−+,(1,0)(0,)x−+,()1111xtxxx=−=++,当0x时,()0tx,当()1,0x−时,()0tx,故()()ln1txxx=−+在

()1,0x−上单调递减,在()0,x+上单调递增,故()()00txt=,即()ln1xx+,结论得证.【点睛】导函数求解参数取值范围,当函数中同时出现ex与lnx,通常使用同构来进行求解,本题难点是()1e1lnxxxx−+变形得到()()()ln111l

neln1xxxx+−=++,从而构造()e1xhxx−=进行求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com

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