【文档说明】河南省全国百强校领军考试2020-2021学年高二下学期7月联考文科数学试题 含答案.docx，共(13)页，1019.409 KB，由小赞的店铺上传

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1河南省2020—2021学年下学期全国百强名校“领军考试”高二数学（文）2021.07注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上。4．考试结束后，将本试题与答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．1．()()312ii−=（）A．88i−B．88i−−C．22i+D．22i−−2．已知集合1Ayyx==，lnBxyx==，则（）A．AB=B．ABàC．BAàD

．AB3．已知命题p：“对()0,x+，2221112xxx+++”，则p为（）A．(0,0x−，20221112xxx+++B．对()0,x+，2221112xxx+++C．()00,

x+，20221112xxx+++D．对(,0x−，2221112xxx+++4．若函数()()2223afxxxa=+−+是偶函数，则124a−=（）A．92B．9C．18D．325．双曲线C：2214

3xymm−=（0m）的渐近线与圆D：()2276xmy−+=相切，则m=（）A．1B．2C．2D．166．若π3π,22，且tan3=，则()sinπ+=（）A．31010B．1010C．310

10−D．3101027．已知向量AB，AC均为单位向量，且()21,1ABAC+=，则BC=（）A．2B．3C．142D．728．统计某学校100名学生的课外阅读时间，得到如下的频率分布直方图，则这100名学生课外阅读时间的中位数约为（保留一位小数）（）

A．1.2B．1.4C．1.5D．1.69．已知菱形ABCD中2ABBD==，把ABD△沿BD折起，使点A到达P处，且3PC=，若点E为线段PD中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（）A．32B．34C．12D．51210．若函数()πsin6fxx=+（0）的图象向

左平移π6个单位后得到一个偶函数的图象；若()fx向右平移π12个单位后得到一个奇函数的图象，则的值可以是（）A．6B．8C．12D．1411．我们把函数()1,0,xDxx=为有理数为无理数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：①()()D

xDx=；②()()1DxDx+=；③()()()DDxDx=；④()0,1yyDx===，其中正确的命题的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的一个焦点为()1,0F，一个顶点为()2,0A，设

(),0Bt，点P是椭圆C上的动点，若PBAB恒成立，则t的取值范围是（）A．10,2B．1,2+C．2,2−D．()2,+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．313．已知实数x，y满足102030xyx

yx++−−+，则2zxy=+的最大值________．14．函数()()22ecosxfxxxx=−+的图象在0x=处的切线方程为________．15．已知ABC△的三边a，b，c满足2acb+=，且ABC△的面积为34ab，则ca的值为__

______．16．已知球O内有3个半径为3的小球，则球O的表面积的最小值为________．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．17．已知数列na是公比不为1的等比数列，且3412aa+=，13a，23a，3a成等差数列．（1）求na；（2）设,,nnnnban=为奇数为偶数，求数列nb的前2n项的和2nS

．18．已知四棱锥EABCD−中，三角形ADE所在平面与正三角形ABE所在平面垂直，四边形ABCD是菱形，2AE=，6BD=．（1）求证：平面ABCD⊥平面ACE；（2）求三棱锥ABCE−的体积．19．受2020年春季疫情的影响，在线教育前所未有

的广为人知，也迎来了加速发展的新机遇，下图为2016—2020年中国在线教育市场规模，设2016年—2020年对应的代码x分别为15，市场规模为y（单位：亿元）．4（1）由图中数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系

，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；（2）建立y关于x的回归方程，并预测2021年中国在线教育市场规模．附注：参考数据：5117407iiy==；5158732iiixy==，()5212062.7iiyy=−，103.2参考公

式：相关系数()()()()1221niiiniiixxyyrxxyy−−−−=−−，回归方程ˆˆˆyabx=+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niiiniixxyybxx−−−−=−，ˆˆaybx=−．20．已知

点A，B分别是直线22yx=+及抛物线C：22ypx=（0p）上的点，且AB的最小值为55．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线()1ykx=−与抛物线C交于点P，Q，线段PQ中点为M，判断x轴上是否存在点N，使得2214

MNPQ−为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．21．已知函数()()321e31xfxxaxax=+−−−．（1）若0a=，求()fx在,0m（0m）上的最小值；（2）若()fx在()3,2−上有3个极值点，求a的取值范

围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程133xtyt=+−−（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的非

负半5轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos=．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若射线=（0π2，0）与直线l及双曲线C分别交于点A，B，且2OAOB=，求tan．23．[选修4—5：不等式选讲]已知()24

1fxxx=+−．（1）求不等式()31fxx+的解集；（2）若()22113116fxab+−对任意实数x恒成立，求证：2abab+．2020—2021学年下学期全国百强名校“领军考试”高二数学参考答案与解析（文科）1．【答案】B【命题意图】

本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养．【解析】因为()()()()31i2i1i8i88i−=−−=−−，故选B．2．【答案】A【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【解析】集合10Ayyyyx===，ln0Bxy

xxx===，所以AB=，故选A．3．【答案】C【命题意图】本题考查称命题的否定，考查数学抽象的核心素养．【解析】根据“xM，()px”的否定是“0xM，()0px”，可知选C．4．【答案】A【命题意图】本题考查二次函数的性质及指数的运算，考查数学运算与数学抽象的核心．

【解析】由()()2223afxxxa=+−+是偶函数，可的230a−=，23a=，所以()21229422aa−==，故选A．5．【答案】C【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运

算的核心素养．【解析】双曲线C的渐近线与圆D相切，则圆心()7,0m到直线32yx=的距离3326174md+==，解得2m=，故选C．66．【答案】A【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式．考查数学运算的核心素

养．【解析】由π3π,22及tan3=可得sin0，由2222sinsin9cos1sin==−，得29sin10=，310sin10=−，所以()310sinπsin10+=−=，故选A．7．【答案】C【

命题意图】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【解析】因为向量AB，AC均为单位向量，()21,1ABAC+=两边平方得542ABAC+=，所以34ABAC=−，所以31422222BCACABABAC=−=−=+=，故选C．

8．【答案】B【命题意图】本题考查频数分布直方图，考查数学运算及数据分析的核心素养．【解析】设中位数为x，由()0.10.40.50.250.5+=，()0.10.40.60.50.550.5++=，可得11.5x，

由()()0.10.40.510.60.5x++−=，解得1.4x，故选B．9．【答案】B【命题意图】本题考查异面直线所成的角，考查直观想象与数学运算的核心素养．【解析】取CD中点F，连接BE，EF，则BEF

就是异面直线BE与PC所成角，如图所示，由题意可得3BEBF==，32EF=，所以132cos4EFBEFBE==，故选B．10．【答案】D【命题意图】本题考查三角函数的图象，考查数学抽象与直观想象的核心

素养．【解析】由题意可得π662πππk+=+（kZ），6π12ππn−+=（nZ），整理得62k=+（kZ），122n=−+（nZ），取2k=，1n=−得14=，故选D．11．【答案】C【命题意图】本题考查狄利克雷函数的性质

，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．【解析】当x为有理数时x，1x+均为有理数，()()0DxDx==，()()11DxDx+==，当x为无理数7时x，1x+均为无理数，()()0DxDx==，()()10DxD

x+==，所以①②正确，当x为无理数时()0Dx=，()()()01DDxD==，③错误，④正确，故选C．12．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的方程及二次函数的最值，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．【解析】设()00,Pxy，则2

2220000131434xyxy+==−，因为PBAB，所以22PBAB，所以()()2222222000002231444xxtytxtxttt−+−−++−−+．因为()()()200000222412244xxxtxttx−+−+−，因为022

x−，所以020x−，所以0224xt+恒成立，所以0max212142xtt+=，即1,2t+．13．【答案】1【命题意图】本题考查线性规划，考查数学运算与直观想象的核心素养．【解析】如图所示，作出不等

式组表示的可行域，是以点()3,2A−，()3,5B−−，13,22C−为顶点的三角形区域，由2zxy=+得1222yx=−+，当122zyx=−+经过点A时，其在y轴上的截距最大，z最大，所以max3221z−+==．14

．【答案】210xy+−=【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查数学抽象与数学运算的核心素养．【解析】由()()22ecosxxxfxx=−+可得()()22esinxxfxx=−−，所以()01f=，()02f=−，所以()fx的图象在0x=处的切线方程

为()120yx−=−−，即210xy+−=．15．【答案】1或738【命题意图】本题考查解三角形，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】由ABC△的面积为34ab得13sin24abCab=，所以3sin2C=，π3C=或2π3，若π3C=，

则2222222acaccababaa++=+−=+−，整理得ac=，若2π3C=，则2222222acaccababaa++=++=++，整理得()()370caca+−=，所以73ca

=，故1ca=或73．16．【答案】()84483π+【命题意图】本题考查球的性质与表面积，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．【解析】设3个半径为3的小球的球心分别为1O，2O，3O，则球O的表面积最小

时，3个小球两两相切，每个小球都与球O相切，此时123OOO△的中心为O，1223316OOOOOO===，所以123OO=，所以球O的半径最小值为233+，球O的表面积的最小值为()()24π23384483π+=+．17．【命题意图】本题考查等比数列的通项与求和，考查数学运算的核心素

养．【解析】（1）设等比数列na的公比为q（1q），由3412aa+=得()21112aqq+=，由13a，22a，3a成等比数列得1334aa+=，即211134aaqaq+=，因为10a，所以2430qq−+=，即()()130qq−−=，因为1q

，所以3q=，代入()21112aqq+=得113a=，所以11211333nnnnaaq−−−===．（2）因为,,nnnnban=为奇数为偶数，所以()()21321242nnnSbbbbbb−=+++++++()()2221321133nn−=+

++−++++9()21191219121988nnnnn−+−=+=+−−．18．【命题意图】本题考查垂直关系的证明及空间向量的应用，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养．

【解析】（1）取AE中点O，连接DO，BO，因为ABE△为正三角形，所以BOAE⊥，面ADE面ABEAE=，且BO在面ABE内所以BO⊥平面ADE，因为DO平面ADE，所以BODO⊥，由题意知6BD

=，3BO=，所以223BDDOBO−==，因为2AD=，1AO=，所以222AODOAD+=，所以DOAE⊥因为DOBOO=，所以AE⊥平面DOB，因为BD平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ACE．（2）由（1）知，BODO⊥，又2AD=，1AO=，3DO=，222ADAODO=+DOA

O⊥（即DOAE⊥），又因为AEBOO=又3DO=，//ABDC，所以三棱锥CABE−的高为3，因为ABE△是边长为2的正三角形，所以ABE△的面积为23234=，所以13313ABCECABEVV−−===．1019．【命题意图】本题考查回归分析，考查数据分析、数学应用及数学

运算的核心素养．【解析】（1）由图中数据和附注中参考数据得3x=，()25110iixx=−=，()()555111587323174076511iiiiiiiixxyyxyxy===−−=−=−=，()()()()5155221165110.9

93.22062.7iiiiiiixxyyrxxyy===−−=−−因为y与x的相关系数0.75r，说明y与x的线性相关程度比较高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）由（1）得()()()515216511ˆ651.110iiiiixxyybxx=

=−−===−，因为174073481.45y==，ˆˆ3481.4651.131528.1aybx=−=−=，所以y关于x的回归方程为ˆ651.11528.1yx=+将2021年对应的6x=代入回归方程得ˆ651.11528.15434.7yx=+=．所以预测2021年中国在线教育

市场规模为5434.7亿元．20．【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养．【解析】（1）设点2,2tBtp是抛物线C上任意一点，则22122224255pptttppAB−+−

−+=，因为AB的最小值为55．11所以25455p−=，解得4p=，所以抛物线C的方程为28yx=．（2）设()11,Pxy，()22,Qxy，(),0Nt，把直线()1ykx=−与28yx=联立得()2222280kxkxk−++=，由题意可得0k，所以21222288

2kxxkk++==+，121xx=，所以()()22221144MNPQNMPQMNMPNMMQ−=−=++()()()()1122,1,1xtNPNQkxxtkx−−=−=−()()()()2121211xtxtkxx=−−+−−()()()22221

2121kxxtkxxtk=+−++++()22222812ktktkk=+−++++22827tttk=−−−所以当0t=时22174MNPQ−=−．所以x轴上存在点()0,0N，使得2214MNPQ−为定值7−．

21．【命题意图】本题考查用导数研究函数的性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】（1）当0a=时()()1e1xfxx=+−，()()2exfxx=+，若20m−，,0xm时()0fx，()fx在,0m是增函数，(

)fx的最小值为()()1e1mfmm=+−，若2m−，,2xm−时()0fx，()fx是减函数，2,0x−时()0fx，()fx是增函数，()fx最小值为()2121ef=−−−，综上可得20m−时()fx的最小值为()1e1mm+−，

2m−时()fx的最小值为211e−−12（2）因为()()321e31xxaxafxx=+−−−，所以()()()()()2e322e3xxxaxxxaxfx=+−+=+−，()fx在()3,2−上有3个极值点，则()0fx=在()3,2−有3个不同实根，

则方程e30xax−=在()3,2−上有2个不等于2−的实根，显然0x=不是方程e30xax−=的根，所以问题转化为直线3ya=与函数()exgxx=（32x−）的图象有2个横坐标不等于2−的交点，()()21exxgxx−

=，()gx在()3,0−，(0,1上是减函数，在)1,2上是增函数，当()3,0x−时，()31,3gxe−−，当(0,1x时())e,gx+，当)1,2x时，()2,2geex

所以当232eea，即236eea时()fx在()3,2−上有3个极值点，所以a的取值范围是2,36ee．22．【命题意图】本题考查曲线的直角坐标方程、参数方程及极坐标方程；考查数学运算及逻辑推理的核心素养．【解析】（1）直线l的

参数方程133xtyt=+=−，消去参数t得340xy+−=，由cosx=，siny=，得直线l的极坐标方程为()cos3sin4+=，即πcos23−=（2）因为射线=（π02，0）与直线l及

曲线C分别交于点A，B，所以2πcos3OA=−，2cosOB=，因为2OAOB=，13所以πcos2cos3−=，即13cossin2cos22+=，所以33sincos22=，tan3=．23．【命题意图】本题

考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【解析】（1）()2220,0170,0,01,4120,4xxxxxxxxxx−−−++−所以不等式()31fxx+的解集为(),01,

−+．（2）当14x时()22111141444416xxfx=+−+−=，当14x时()2211141414416xxfx=−++−=，所以()116fx，当且仅当14x=时取等号．所以22113111

616ab+−，即22112ab+，所以222111124abab++，所以112ab+，即2abab+．