【文档说明】河北省保定市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(9)页，968.001 KB，由小赞的店铺上传

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1保定市2020-2021学年度第二学期期末调研考试高一数学试题一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知411zi−=+，则z=（）A.13B.13C.10D.2132.设平面向量(),2ax=，()2,1b=，若ab⊥，则x=

（）A.1B.2C.-1D.33.小明和小红5次考试数学成绩统计如下：姓名第一次第二次第三次第四次第五次小明107111110109113小红99110111108112则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为（）A.110B.108C.22D.44.炎炎夏日，冰淇淋成为青年人的热宠，现用简

单随机抽样的方法监测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）A.121，120B.121，121C.17，16D

.17，175.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1BC的中点，则直线DP与11BC的夹角的余弦值为（）A.36B.34C.66−D.666.如图所示，平行四边形ABCD中，2BEEC=，点F为线段AE的中点，则AC=（

）A.3142AEBF+B.34AEBF+C.5142AEBF+D.54AEBF+27.《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊（亡：丢失），既率其党，又请杨子之竖（竖；书童）追之.杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路（歧

路；岔路口）.”既反，问：“获羊乎?”曰：“亡之矣”、曰：“奚亡之?”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也：”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻

人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（）A.732B.716C.764D.3168.用斜二测画法作出ABC△的水平放置的直观图ABC△如图所示，其中32AC=，1AB=，则ABC△绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面

积为（）A.53B.2C.3D.103二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.以下四种说法正确的是（）A.32iii−=B.复数32zi=−的虚部为2i−C.若()21zi=+，则复平面内对应的点位于第二象限D.复

平面内，实数轴上的点对应的复数是实数10.以下结论不正确．．．的是（）A.对立事件一定互斥B.事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率C.事件A与事件B互斥，则有()()1PAPB=−D.事件A，B满足()()1PAPB+=，则A，B是对立事件11.已知直线a，b与平面a，，则下列说法不

正确．．．的是（）A.若a=，ba⊥，b，则⊥B.若//a，//b，//ab，则//C.若a，//a，b=，则//ab3D.若a，b为异面直线，a，//a，b，//b，则//12.三棱锥PABC−中，已

知PO⊥平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，则下列说法正确的是（）A.若OAOCBO==，则O为ABC△的重心B.若PAPBPBPCPAPC==，则O为ABC△的垂心C.若PAPBPC==，则O为ABC△的外心D.若PAPB⊥，P

BPC⊥，PCPA⊥，则O为ABC△的内心三、填空题：本题共4小题。13.甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14，15，获得二等奖的概率分别为12，35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲乙两人至少有1人获奖的概率为______.14.已知

向量(),1a=，()3,5b=−，且a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______.15.一艘货船从A处出发，沿北信西50°的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏东10°，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55°，那么B，C两点间的距离

是______海里.16.已知三棱锥SABC−，SA⊥平面ABC，2ABSA==，60ACB=，则该三棱锥外接球的半径为______；若此三棱锥可以在正方体中任意转动，则该正方体的最小体积为______.四、解答题：本题共6

小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在ABC△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()2coscosacBbC−=.（1）求B；（2）若22b=，ABC△的面积为334，求ac+.18.工信部副部长刘烈宏在2021年世界电信和信息社会日大会上表示，据全球移

动通信协会监测，我国移动用户月均支出低于全球的平均水平，某单位全体员工通讯费用（单位：元）如图所示，数据分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].（1）估计本单位员工话费的第90百分位数；（2）若单位有100名员工，采用分层抽样的方法

从这100名员工中抽取容量为10的样本，求每组应抽取的样本量；（3）估计本单位员工通讯费用的众数和平均数.419.已知13,22a=，1b=，且a，b的夹角为3.（1）求2ab+；（2）若()()//akbk

ab++，求实数k的值.20.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E是PB中点.（1）求证：//PD平面EAC；（2）若2PAAD==，2AB=，求三棱锥PACD−的表面积.21.

新冠肺炎疫情已经对人类生产生活带来严重挑战，对未来也将产生非常深远的影响，为适应疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，拟成立一个由3人组成的科学防疫宣讲小组，现初步选定2名女生，3名男生为候选人，每位候选人当选的机会是相同的。（1）求当选的3名同学中恰有1名女生

的概率；（2）求当选的3名同学中至多有2名男生的概率.22.如图，梯形ABCD中，//ABCD，过A做AECD⊥于E，沿AE把ADE折起，设点D折起后的位置为P，且22PCPE==，122ABAECE===.（1）求证：平面PAE⊥平面PB

C；（2）在棱PC上是否存在一点F，使直线//BF平面PAE?并说明理由；（3）求直线PB与平面PAE所成的角.保定市2021年高一期末数学试题参考答案一、选择题：ACDBDCAC二、选择题：ADBCDABBC三、填空题：13.1920;14.53且35−;15

.56;516.213；56219四、解答题17.解析：（1）()2coscosacBbC−=，由正弦定理，()2sinsincossincosACBBC−=，即2sincossincossincosABCBBC−=所以()2sincos

sincossincossinABBCCBBC=+=+.所以2sincossinABA=.所以1cos2B=，()0,B，3B=（2）11333sin2224ABCSacBac=−==△，3ac=，由余炫定理，222cos2acbBac+−=，即221822acac+−=，22217a

cac++=则17ac+=。18.解析（1）本单位员工话费在80元以下的频率为：0.10.20.40.7++=，本单位员工话费在[80，100]的频率为0.3，因此，本单位话费的第90百分位数在[80，100]内，由0.90.7402808020800.333−+=+=。可以估计本单位员工话

费的第90百分位数为2803。（2）0.005:0.010:0.020:0.0151:2:4:3=采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为10的样本，其个数分别为1，2，4，3.（3）本单位员工通讯费用的众数为70；平均

数为：300.00520500.01020700.02020900.0152068+++=.619.解析：（1）∵13,22a=，1a=，∴易知12ab=，∴()22222447ababaabb+=+=++=。（2）方法一：()()//

akbkab++，则存在非零实数，使()akbkabkab+=+=+，由共面定理得1kk==，则1k=.方法二：由已知()1,0b=或13,22b=−，当()1,0b=，13,22akbk+=+，3+122kkkab+

=，，∴133102222kkk+−+=，则1k=.同理13,22b=−时，1k=.综上，1k=.20.解析：（1）证明：连结BD交AC于点O，连接EO.显然，O为B

D中点，又∵E为PB中点，在PBD△中，由中位线定理可得：//EOPD，又∵PD面EAC，EO面EAC，∴//PD面EAC.（2）∵PA⊥底面ABCD，AD、AC平面ABCD，∴PAAD⊥，PAAC⊥，∴12222PADS==△，7易知6AC=，16262PACS=

=△∵四边形ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，∴PACD⊥，ADCD⊥，ADPAA=，∴CD⊥面PAD，∴CDPD⊥，则PDC△为直角三角形，在RtPCD△中，易得22PD=，∴122222PCDS==△.∴12222ACDS=

=△，∴PADPACPCDACDPACDSSSSS−=+++三棱锥△△△△2622426=+++=++.21.解析：将2名女生，3名男生分别用A，B，a，b，c表示，则从5名候选人中选3名同学的试验的样本空间为()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,ABaABbABcAabAacAbcBacBbcabc=共10种，（1）设A=“恰有一女生”，则()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,AAabAacAbcBabBacBbc=，∴()63

105PA==，（2）方法一：设B=“至多有两个男生”，则()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,BABaABbABcAabAacBabBacBbc=∴()910PB=.方法二：设B=“至多有两个男生”，C=“全部都是男生”，事件B，C为

对立事件，因为(),,Cabc=，∴()1PC=，∴()()19111010PBPC=−=−=.22.解析：（1）证明：连接AC，∵22PEPC==，4CE=，8∵222PEPCCE+=，∴.PCPE⊥，在RtA

EP△中，8423PA=+=，在RtABC△中，1642025AC=+==，∵222PAPCAC+=，∴PCPA⊥，∵PAPEP=，∴PC⊥平面PAE，∵PC面PBC，∴平面PAE⊥平面PBC.（2）存在，

F为PC中点时，直线//BF面PAE.证明：取PE中点O，PC的中点F，连接OF，AO，BF.∵O，F分别为PE，PC中点，∴//OFCE，且12OFCE=，∵//ABCE，且12ABCE=，∴//ABOF，ABOF=，∴四边形ABFO为平行四

边形，∴//BFAO.∴AO面PAE，BF面PAE，∴//BF面PAE，∴当F为PC中点时，直线//BF面PAE.（3）法一：取CE的中点H，连接BH、PH，做HGPE⊥，垂足为G.在四边形ABHE中，ABAE=，//AB

EH，且ABEH=，AECE⊥，∴四边形ABHE为正方形.∴//BHAE.∴//BH面PAE，点B到面PAE的距离即为点H到面PAE的距离∵AECE⊥，AEPE⊥，PECEE=，9∴AE⊥面PCE，∴AEHG⊥，BH⊥平面PCE，BHPH⊥，Rt

PBH△中，2PH=，2BH=，22PB=；在RtPEC△中，122HGPC==，∴HGPE⊥，HGAE⊥，PEAEE=，∴HG⊥面PAE，∴H到面PAE的距离：2HG=，即点B到面PAE的距离2d=，直线PB与面PAE所成的角的正弦值：21sin222dPB===∴直线PB与面PAE

所成的角为30°.法二：由（1）可知，22PC=，PC⊥面PAE，∴直线PB与面PAE所成角的余角为BPC，取EC的中点H，//BHAE，由（1）可得，AEPC⊥，AE⊥面PCE，BH⊥面PCE∴在RtPHB△中，2PHBH==，∴22PB=，在RtB

HC△中，22BC=，则PBC△是等边三角形.∴60CBPC=.∴直线PB与面PAE所成的角为30°.（用空间向量方法的参照给分。）