【文档说明】吉林省实验中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题 含答案.docx，共(15)页，791.038 KB，由小赞的店铺上传

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2022－2023学年高三上数学期末模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC中，12BDDC=，则AD=（）A．1344AB

AC+B．2133ABAC+C．1233ABAC+D．1233ABAC−2．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）A．6种B．12种C．24种D．36种3．已知

a，bR，()3i21iaba+=−−，则3iab+=（）A．10B．23C．3D．44．已知直线()220,0mxnymn+=过圆()()22125xy−+−=的圆心，则11mn+的最小值为（

）A．1B．2C．3D．45．已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左，右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，2PF分别交双曲线C的左，右支于另一点M，N，若123PFPF=，且260MFN=，则双曲线的离心率为（）A．52B．3C．2D

．726．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种7．已知向量a与b的夹角为，定义ab为a与b的“向量积”，且ab是一个

向量，它的长度sinabab=，若()2,0u=，()1,3uv−=−，则()uuv+=（）A．43B．3C．6D．238．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的．则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（）A．13B．12C．1D．29．已知集合

1,2,3,4,5,6A=的所有三个元素的子集记为1B，2B，3B，…，nB，*nN，记ib为集合iB中的最大元素，则123nbbbb++++=（）A．45B．105C．150D．21010．设集合12Mxx=，Nxxa=，若MNM=

，则a的取值范围是（）A．(),1−B．(,1−C．()2,+D．)2,+11．设等比数列na的前n项和为nS，则“1322aaa+”是“210nS−”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要12．已知复数2i1iz=+，则z=（）A．1＋iB．1－iC．

2D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在61xx+的展开式中，常数项为______．（用数字作答）14．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，

每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为______，第______天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．15．若x、y满足约束条件3236yxyxy+−，则z

＝x＋2y的最小值为______．16．在直三棱柱111ABCABC−内有一个与其各面都相切的球1O，同时在三棱柱111ABCABC−外有一个外接球2O．若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球2O的表面积为______．三、解答题：共70

分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数()()21fxxaxa=−+−R．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式()1fx的解集；（Ⅱ）若存在xR满足不等式()4fx，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数()cosx

fxx=，()sincosgxxxx=+．（1）判断函数()gx在区间()0,2上的零点的个数；（2）记函数()fx在区间()0,2上的两个极值点分别为1x、2x，求证：()()120fxfx+．19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且22

233bac=−．（1）证明：3cosbcA=；（2）若△ABC的面积S＝2，6b=，求角C．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：12312xtyt=−=+（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的

极坐标方程为2cos=．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为1,2，直线l与曲线C的交点为A，B，求MAMB+的值．21．（12分）已知函数()()2cosfxaxxa=+R．（1）当12a=

时，证明()0fx，在)0,+恒成立；（2）若()fx在x＝0处取得极大值，求a的取值范围．22．（10分）已知椭圆C：()222210xyabab+=的左顶点为A，左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，P是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且1

2PFF△的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线AP，2QF交于点M．（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF与椭圆交于另一点N，且224AFMAFNSS=△△，求点P的坐标．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．1．B【解析】在AB，AC上分别取点E、F，使得2AEEB=，12AFFC=，可知AEDF为平行四边形，从而可得到2133ADAEAFABAC=+=+，即可得到答案．【详解】如下图，12BDDC=，在AB，AC上分别取点E、F，使得2AEEB=，12AF

FC=，则AEDF为平行四边形，故2133ADAEAFABAC=+=+，故答案为B．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．2．B【解析】分成甲单独到A县和甲与另一人一同到A县两种情况进行分类讨论，由此求

得甲被派遣到A县的分法数．【详解】如果甲单独到A县，则方法数有22326CA=种．如果甲与另一人一同到A县，则方法数有12326CA=种．故总的方法数有6＋6＝12种．故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基

础题．3．A【解析】根据复数相等的特征，求出3a和b，再利用复数的模公式，即可得出结果．【详解】因为()3i21iaba+=−−，所以()3,21,baa=−−=解得3,31,ba==则223i13i1310ab+=+=+=．故选：A．【点睛】本题考查相等复数的特征和

复数的模，属于基础题．4．D【解析】圆心坐标为（1，2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．【详解】圆()()22125xy−+−=的圆心为（1，2），由题意可得2m＋2n

＝2，即m＋n＝1，m，0n，则()111124nmmnmnmnmn+=++=++，当且仅当nmmn=且m＋n＝1即12mn==时取等号，故选：D．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，

属于基础题．5．D【解析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可．【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO＝MO，而12FOFO=，结合四边形对角线平分，可得四边形12PFMF为平行四

边形，结合260MFN=，故1260FMF=对三角形12FMF运用余弦定理，得到，222121121222cosFMFMFFMFMFFMF+−=而结合123PFPF=，可得1MFa=，23MFa=，122FFc=，代入上式子中，得到2222943aaca+−=，结合离

心率满足cea=，即可得出72cea==，故选D．【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．6．B【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可．【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A=种排法；第二步将数学

和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A=种排法，所以不同的排表方法共有1212144=种．选B．【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题．7．D【解析】先根据向量坐标运算求出()3,3uv+

=和cos,uuv+，进而求出sin,uuv+，代入题中给的定义即可求解．【详解】由题意()()1,3vuuv=−−=，则()3,3uv+=，3cos,2uuv+=，得1sin,2uuv+=，由定义知()1sin,223232uuvuuvuuv+=++==，故选：D．【点睛

】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目．8．C【解析】每一次成功的概率为2163p==，X服从二项分布，计算得到答案．【详解】每一次成功的概率为2163p==，X服从二项分布，故()1313E

X==．故选：C．【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力．9．B【解析】分类讨论，分别求出最大元素为3，4，5，6的三个元素子集的个数，即可得解．【详解】集合M含有3个元素的子集共有3620C=，所以k＝20．在集合iB（i＝1，2，3，…，k）中：最大

元素为3的集合有221C=个；最大元素为4的集合有233C=；最大元素为5的集合有246C=；最大元素为6的集合有2510C=；所以12345314356610105bbbbb++++=+++=．故选：B．【点睛】此题考查集合相关的新定义问题

，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解．10．C【解析】由MNM=得出MN，利用集合的包含关系可得出实数a的取值范围．【详解】∵12Mxx=，Nxxa=且MNM=，∴MN，∴2a．因此，实数a的取值范围是()2,+．故选：C．【点睛】本题考

查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题．11．A【解析】首先根据等比数列分别求出满足1322aaa+，210nS−的基本量，根据基本量的范围即可确定答案．【详解】na为等比数列，若1322aaa+成立，有()21210aqq−+，因为2210qq−+恒成立，故可以

推出10a且1q，若210nS−成立，当q＝1时，有10a，当1q时，有()211101naqq−−−，因为21101nqq−−−恒成立，所以有10a，故可以推出10a，qR，所以“1322a

aa+”是“210nS−”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题．12．C【解析】根据复数模的性质即可求解．【详解】∵2i1iz=+，∴2i

221i2z===+，故选：C【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．20【解析】61xx+的展开式的通项为6216rrrTCx−+=，取r＝3计算得到答案．【详解】61xx+

的展开式的通项为：6621661rrrrrrTCxCxx−−+==，取r＝3得到常数项3620C=．故答案为：20．【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力．14．161【解析】由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等

比数列，由此可求结果．【详解】某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院

患者的人数为451216a==，()11212712nnS−==−，解得n＝7，∴第7＋15－1＝21天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：16，1．【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等

比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．15．1【解析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数z＝x＋2y取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可．【详解】作出不等式组323

6yxyxy+−所表示的可行域如下图所示：联立236xyxy+=−=，解得31xy==−，即点A（3，－1），平移直线z＝x＋2y，当直线z＝x＋2y经过可行域的顶点A（3，－1）时，该直线在x轴上的截距

最小，此时z取最小值，即()min3211z=+−=．故答案为：1．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题．16．29【解析】先求出球1O的半径，再求出球2O的半径，即得球2O的

表面积．【详解】解：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4∴222ACABBC=+，∴AC＝5，设球1O的半径为r，由题得()113453422rrr++=，∴r＝1所以棱柱的侧棱为2r＝2．由题得棱柱外接球的直径为2225

29+=，所以外接球的半径为1292，所以球2O的表面积为21429292=．故答案为：29【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些

知识的理解掌握水平，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）113xxx或．（Ⅱ）610a−【解析】（Ⅰ）分类讨论解绝对值不等式得到答案．（Ⅱ）

讨论2a和2a两种情况，得到函数单调性，得到只需42af，代入计算得到答案．【详解】（Ⅰ）当a＝1时，不等式为2111xx−+−，变形为12231xx−或1121xx或13

21xx−，解集为113xxx或．（Ⅱ）当2a时，()31,2211,1231,1axaxafxxaxxaxxax−++=−+−=−+−−，由此可知()fx在,2a−单调递减，在,2a+单调递增，当2a

时，同样得到()fx在,2a−单调递减，在,2a+单调递增，所以()2afxf，存在xR满足不等式()4fx，只需42af，即142a−，解得610a−．【点睛】本题考查

了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力．18．（1）2；（2）见解析．【解析】（1）利用导数分析函数()yfx=在区间()0,2上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；（2）设函数()yfx=的极大值点和极小值点分

别为1x、2x，由（1）知1,2x，23,22x，且满足()sincos01,2iiixxxi+==，1taniixx=−，于是得出()()1212sinsinfxfxxx+=−−，由121

1xx得12tantanxx−−，利用正切函数的单调性推导出122xx−，再利用正弦函数的单调性可得出结论．【详解】（1）∵()sincosgxxxx=+，∴()cosgxxx=，∵02x，当0,2x时，cos0x，cos0xx

，()0gx，则函数()ygx=在0,2上单调递增；当3,22x时，cos0x，cos0xx，()0gx，则函数()ygx=在3,22上单调递减；当3,22x时，cos0x，cos0xx，()0gx，则

函数()ygx=在3,22上单调递增．∵()010g=，022g=，()10g=−，33022g=−，()210g=．所以，函数()ygx=在0,2与3,2不存在零点，在区间,2

和3,22上各存在一个零点．综上所述，函数()ygx=在区间()0,2上的零点的个数为2；（2）∵()cosxfxx=，∴()()22sincosgxxxxfxxx+=−=−．由（1）得，()sincosgxxxx=+在区间,2

与3,22上存在零点，所以，函数()yfx=在区间,2与3,22上各存在一个极值点1x、2x，且1,2x，23,22x，

且满足()0igx=即()sincos01,2iiixxxi+==，1taniixx=−，∴()()12121212coscossinsinxxfxfxxxxx+=+=−−，又∵123222xx，∴1211xx即12tantanxx−−，()1

22tantantanxxx=−，∵1,2x，23,22x，∴2,2x−，由tanyx=在,2x上单调递增，得122xx−，再由sinyx=在,2x上单调递减，得()122sinsinsi

nxxx−=−∴12sinsin0xx+，即()()120fxfx+．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．1

9．（1）见解析；（2）45°【解析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得3cosbcA=（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到tan2tanAC=，利用三角形的面积公式列方程，由此求得tanA，进而求得tanC的值，从而求得角C．【详解】（1）由已知得222

13cab−=−，由余弦定理得222222122cos33bcAbcabbb=+−=−=，∴3cosbcA=．（2）由（1）及正弦定理得sin3sincosBCA=，即()sin3sincosACCA+=，∴sincoscossin3sincosACACCA+=，∴sinc

os2sincosACCA=，∴tan2tanAC=．21112sinsintan223cos6bSbcAbAbAA====．∴tan2A=，tan1C=，45C=．【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式

，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题．20．（1）()2211xy−+=（2）31+【解析】（1）由公式cossinxy==可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把M点极坐标化为直角坐标，直线的参数方程是过定点M的标准形式，因此直

接把参数方程代入曲线C的方程，利用参数t的几何意义求解．【详解】解：（1）C：2cos=，则22cos=，∴222xyx+=，所以曲线C的直角坐标方程为2220xyx+−=，即()2211xy−+=（2）点1,2M的直角坐标为

M（0，1），易知Ml，设A，B对应参数分别为1t，2t将l：12312xtyt=−=+与C：2220xyx+−=联立得()23110tt+++=，∴1231tt+=−−，121tt=，∴10t，20t121231MAMBtttt+=+=+=+【点睛】本题考查极坐标方程与

直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题．21．（1）证明见解析（2）1,2−−【解析】（1）根据()21cos2fxxx=+，求导()sinfxxx=−，令()sinhxxx=−，用导数法求其最小值．（2）设()()2sing

xfxaxx==−，研究在x＝0处左正右负，求()2cosgxax=−，分12a，12a−，1122a−，三种情况讨论求解．【详解】（1）因为()21cos2fxxx=+，所以()sinfxxx=−，令()sinhxxx=−，则()1cos0hxx=−，所以()h

x是)0,+的增函数，故()()00hxh=，即()0fx．（2）因为()()2singxfxaxx==−，所以()2cosgxax=−，①当12a时，()1cos0gxx−，所以函数()fx在R上单调递增．若0x，则()()00fxf=；若0x

，则()()00fxf=．所以函数()fx的单调递增区间是()0,+，单调递减区间是(),0−，所以()fx在x＝0处取得极小值，不符合题意，②当12a−时，()1cos0gxx−−，所以函数()fx在R上单调递减．若0x，则()()00

fxf=；若0x，则()()00fxf=．所以()fx的单调递减区间是()0,+，单调递增区间是(),0−，所以()fx在x＝0处取得极大值，符合题意．③当1122a−时，()00,x，使

得0cos2xa=，即()00gx=，但当()00,xx时，cos2xa即()0gx，所以函数()fx在()00,x上单调递减，所以()()00fxf=，即函数()fx在()00,x上单调递减，不符合题意综上所述，

a的取值范围是1,2−−【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题．22．（1）22143xy+=；（2）135,24或135,2

4−【解析】（1）根据12PFF△的周长为2a＋2c，结合离心率，求出a，c，即可求出方程；（2）设P（m，n），则Q（－m，－n），求出直线AM方程，若2QF斜率不存在，求出M，P，N坐标，直接验证是否满足题意，若2QF斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点

M坐标，根据224AFMAFNSS=△△和P，2F，N三点共线，将点N坐标用m，n表示，P，N坐标代入椭圆方程，即可求解．【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PFF△的周长为6，设椭圆的焦距为2c，则222226,1,2,accabca+==+=解得

a＝2，c＝1，3b=，所以椭圆方程为22143xy+=．（2）设P（m，n），则22143mn+=，且Q（－m，－n），所以AP的方程为()22nyxm=++①．若m＝－1，则2QF的方程为x＝1②，由对称性不妨令点P在x轴上方，则31,2P−，31,2Q−，联立①，②解

得1,9,2xy==，即91,2M．2PF的方程为()314yx=−−，代入椭圆方程得()22931124xx+−=，整理得276130xx−−=，1x=−或137x=，∴139,714N−．2222

19227419214AFMAFNAFSSAF==△△，不符合条件．若1m−，则2QF的方程为()11nyxm−=−−−，即()11nyxm=−+③．联立①，③可解得34,3,xmyn=+=，所以()34,3Mmn+．因为224A

FMAFNSS=△△，设(),NNNxy所以2211422MNAFyAFy=，即4MNyy=．又因为M，N位于x轴异侧，所以34Nny=−．因为P，2F，N三点共线，即2FP应与2FN共线，()21,FPmn=−，231,4NnFNx=−−所以()()311

4Nnnxm−=−−，即734Nmx−=，所以2273344143mn−−+=，又22143mn+=，所以2272839mm−−=，解得12m=，所以354n=，所以点P的坐标为135,2

4或135,24−．【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题．