【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2022届高三下学期一模数学试题（解析版）.docx，共(23)页，1.125 MB，由envi的店铺上传

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高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com长郡中学2022届模拟试卷（一）数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出

每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题

5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z满足42i1iz+=+，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算和

几何意义可得答案.【详解】()()()()42i1i42i62i3i1i1i1i2z+−+−====−++−，所以()3,1−在第四象限.故选：D．2.已知集合()ln2Axyx==−，集合1,32xByyx==

−，则AB=（）A.B.()2,8C.()3,8D.()8,+【2题答案】【答案】B【解析】【分析】先求出集合,AB，然后直接求AB即可.高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢

迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com【详解】集合()ln22Axyxxx==−=，集合1,3082xByyxyy==−=，()2,8AB=，故选：B．3.已知137a−=，77log2

2log3b=−，1217c=，则下列关系正确的是（）A.abcB.bacC.cbaD.bca【3题答案】【答案】D【解析】【分析】首先将77log22log3b=−进行变形可得79log20b=，2121717ac−==，无法直接比较b与

c或a与c，故需要借助于中间量0或1，根据指数性质可得01a，0c，所以可以得到0bca，进而可以得到正确答案.【详解】130717a−==，1307a−=，所以01a；777777log22log3log2291

0logloglog9b=−=−==，所以0b；1212137717ac−−===，所以0ca.综上，0bca.故选：D.【点睛】指数与对数比较大小时，需要选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”

为媒介），分别与要比较的数做比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.4.已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线230xy++=垂直，则sincossincos−+的值为（）A.2−B.13−C.

2D.3【4题答案】【答案】B【解析】高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com【分析】根据题意可得1tan2=，然后利用齐次式的

方法求解即可.【详解】因为角的终边与直线230xy++=垂直，即角的终边在直线12yx=上，所以1tan2=，sincostan11sincostan13−−==−++，故选：B．5.球面上两点之间的

最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的是经过球心的平面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．在三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，ACBC⊥，且,4ACBCPAAB===．已知三棱锥PABC−的四个顶点

在球O的球面上，则B，C两点的球面距离是（）A.23B.22π3C.D.2【5题答案】【答案】B【解析】【分析】如图所示，取PB的中点O，求出三棱锥外接球的半径22R=，从而求得球面距离；【详解】如图所示，取PB的中点O，PA⊥平面ABC，ACBC⊥，且,4AC

BCPAAB===．则O为三棱锥外接球的球心，422222PBR===11222222663CR===，故选：B高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com6.教育的目

标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全面发展的接班人，某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了传统武术，舞蹈，书法，小提琴四门选修课程，要求每位

同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.60种B.78种C.54种D.84种【6题答案】【答案】C【解析】【分析】由题意每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2，利用分组分配的方法求解即可.【详解】由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多

选2门，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2，先将4门学科按1，1，2分成三组，有21142122CCCA种方式，再分到三个学年，有33A种不同方式，由分步计数原理得，不同选修方式共有211342132236CCCAA=种．同理将4门课程按

0，2，2分成三组，再排列，有2234232218CCAA=种，所以共有361854+=种，故选：C．7.若双曲线2222:1xyCab−=()0,0ab的一条渐近线被圆()2224xy++=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）高考资源网（www.ks5u.co

m），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.comA.233B.2C.3D.2【7题答案】【答案】D【解析】【分析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a,b的关系，

即可求解.【详解】不妨设双曲线2222:1xyCab−=()0,0ab的一条渐近线为0bxay−=，圆()2224xy++=的圆心为()2,0−，半径2r=，则圆心到渐近线的距离为22202bbdcab−−==+所以弦长2222422

24brdc=−=−，化简得：2243bc=，即()22243cac−=，解得2ca=所以2cea==.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题型.8.十八

世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式357sin3!5!7!=−+−++xxxxx()()211121!nnxn−−−+−，(其中xR，*nN，n!=1×2×3×…×n0!=1)，现用上述公式求()()11111112!4!6!22!nn−−+−++−+−的值，下列选项中与该值最

接近的是（）A.sin30B.sin33C.sin36D.sin39高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com【8题答案】【答案】B【解析】【分析】求出

(sin)x后代入1x=得cos1=sin12−可得答案，即18090−与33最接近.【详解】1(sin)cos(1)2!4!6!(22)!−==−+−++−+−nx

xxxxxxn所以cos1=111111(1)2!4!6!(22)!nn−−+−++−+−=sin12−=sin18090−，由于18090−与33最接近，故选：B二、多项选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：第x年12345利润y/亿元23457已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为1.2yxa

=+，则下列说法正确的是（）A.ˆ0.6a=B.变量y与x之间的线性相关系数0rC.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D.该人工智能公司这5年的利润的方差小于2【9题答案】【答案】AC【解析】【分析】首先求出x、y，根据回归直线方程必过(),xy，即可求出a，从而

得到回归直线方程，根据x与高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.comy成正相关，即可得到相关系数0r，再令6x=求出y，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可

判断D；【详解】解：依题意()11234535x=++++=，()1212345755y=++++=，因为回归直线方程为1.2yxa=+必过样本中心点(),xy，即211.235a=+，解得0.6a=，故A正确；则回归直线方程为1.20.6yx

=+，则x与y成正相关，即相关系数0r，故B错误，当6x=时1.260.67.8y=+=，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确，该人工智能公司这5年的利润的方差为22222121212121217423457255555525−+−+−+

−+−=，故D错误；故选：AC10.已知0a，0b，且1ab+=，则（）A.14abB.2212ab+C.2222ab+D.ln0ab+【

10题答案】【答案】BC【解析】【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A，C；利用二次函数性质判断B；取特值判断D作答.【详解】因0a，0b，且1ab+=，则有21()24abab+=，当且仅当12ab==时取“=”，A不正确；因0a，0b，且1

ab+=，则1,01baa=−，22222111(1)2()222abaaa+=+−=−+，当且仅当12ab==时取“=”，B正确；因0a，0b，且1ab+=，则222222222ababab++==，当且仅当12ab==时取“=”，C正确；因0a，0b，且1ab+=，则取1

eb=，即有11ea=−，于是得111ln1ln0eeeab+=−+=−，D不正确.故选：BC11.棱长为2的正方体的展开图如图所示.已知H为线段BF的中点，动点P在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列

说法正确的有（）高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.comA.BM与AN是异面直线B.AF与BM所成角为60C.平面CDEF⊥平面ABMND

.若AMHP⊥，则点P的运动轨迹长度为6【11题答案】【答案】BCD【解析】【分析】由展开图还原正方体，根据//ANBM可知A错误；由//BMAN可知异面直线AF与BM所成角为NAF，由此可求得B正确；由线面垂直的判定可证得CF⊥平面ABM

N，由面面垂直的判定可知C正确；根据AM⊥平面CFN，平面//SRHGQT平面CFN可得P点轨迹，进而求得D正确.【详解】由展开图还原正方体如下图所示，对于A，//MNAB，四边形MNAB为平行四边形，//ANBM，BM与AN是共面直线，A错误；对

于B，//BMAN，AF∴与BM所成角即为NAF，ANNFAF==，ANF为等边三角形，60NAF=，即AF与BM所成角为60，B正确；对于C，AB⊥Q平面BCMF，CF平面BCMF，ABCF⊥；又CFBM⊥，=ABBMB，,ABBM平面AB

MN，CF⊥平面ABMN，又CF平面CDEF，平面CDEF⊥平面ABMN，C正确；对于D，由正方体性质可知AM⊥平面CFN，高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com取,,

,,BCCDDNNSEF中点,,,,GQTSR，连接,,,,,HGGQQTSTSRRH，则平面//SRHGQT平面CFN，点P的轨迹为正六边形SRHGQT的边，点P的轨迹长度为22226622+=，D正确.故选：BCD.12.已知函

数()fx对任意xR都有()()20fxfx++=，且函数()1fx+的图象关于()1,0−对称.当1,1x−时，()sinfxx=.则下列结论正确的是（）A.函数()yfx=图象关于点()(),0kkZ中心对称B.

函数()yfx=的最小正周期为2C.当2,3x时，()()sin2fxx=−D.函数()yfx=在()2,21kkk+Z上单调递减【12题答案】【答案】BC【解析】【分析】先求出()yfx=周期和解析式，画出图像，对四个选项一一验证：对

于A：由图像可判断函数()yfx=的中心对称；对于B：利用图像变换作出函数()yfx=的图象，即可判断；对于C：直接求出解析式即可判断；对于D：利用图像变换作出()yfx=的图像，即可判断；【详解】因为函数()fx对任意xR都有()()20fxfx++=，所以()()2220f

xfx−++−=，即()()20fxfx+−=，所以()()22fxfx+=−所以()()2222fxfx++=+−，即()()4fxfx=+恒成立，所以()fx的周期为4.因为函数()1fx+的图象关于()1,0−对称，所以将()1yfx=+的图象向右

平移一个单位，得到()yfx=的图象，所以()yfx=关于()0,0对称.任取1,3x，则()21,1x−−，的高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com因为函数()fx对任意xR都有()()20fxfx++=

，即()()20fxfx+−=，所以()()()2sin2fxfxx=−−=−−.所以()()sin,11sin2,13xxfxxx−=−−，作出()yfx=的图象如图所示：对于A：由图象可知：函数()yfx=

的图象关于点()()2,0kkZ中心对称，故A错误；对于B：函数()yfx=的图象可以看成()yfx=的图象x轴上方的图象保留，把x轴上方的图象轴下方的图象翻折到x轴上方，所以函数()yfx=的最小

正周期为2.故B正确；对于C：由前面的推导可得：当1,3x，()()()sin2sin2fxxx=−−=−.故C正确；对于D：作出()yfx=的图像如图所示，在2,1−−上函数()yfx=单调递增.故D错误.故选：BC第Ⅱ

卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com13.已知椭圆C：22xa＋22yb＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点

恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________.【13题答案】【答案】29x＋28y＝1【解析】【分析】根据题意求得a=3，两焦点恰好将长轴三等分，求得c=1，从而写出椭圆方程.【详解】椭圆长轴长为6

，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝13·2a＝2，得c＝1，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为29x＋28y＝1.故答案为：22198xy+=14.已知()2022202201202214xaaxax−=+++，则32022122

320222222aaaa++++=__________．【14题答案】【答案】0【解析】【分析】利用赋值法可得答案.【详解】根据题意，今0x=，得()20220101a=−=，令12x=，得()2022202212012202212222

aaaa−=++++，因此32022120232022102222aaaaa++++=−=，故答案为：0.15.在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD于E，F两点，点P是EF上一点，则PBPD的取值范围为__________．【15题答案

】高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com【答案】132,2−−【解析】【分析】建立直角坐标系，设出各个点以及点P的坐标，根据向量的坐标表示，再利用三角函数求值

域的方法得出PBPD的取值范围.【详解】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：由题意可知()00A，，()30B，，()33C，，()03D，．设点()πcos,sin02P，()()3cos,sincos,3sinPBP

D=−−−−()()cos3cossin3sin13sin3cos=−−−−=−−π132sin4=−+．又π02，则ππ3π444+，所以2πsin124+，所以π132132sin24

−−+−，即PBPD的取值范围为132,2−−，故答案为：132,2−−．16.设nN，圆nC：222nxyR+=（0nR）与y轴正半轴的交点为nP，与曲线yx=的交点为nQ（nx，ny），直线nnPQ与x轴的交点为A（na，0），若数列

nx的通项公式为41nnx=−，要使数列1nnapa+−成等比数列，则常数p=__________．高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.c

om【16题答案】【答案】2或44或2【解析】【分析】由条件写出点nP的坐标，从而得到直线nnPQ的方程，利用点nQ在直线上和数列nx的通项公式可以得到42nnna=+，然后根据数列1nnapa+−成等比数列以及等比数列的定义即可得到常数p的值.【详解】因为圆nC：()22

20nnxyRR+=与曲线yx=的交点为(),nnnQxy，所以2222nnnnnRxyxx=+=+，即2nnnRxx=+，由题可知，点nP的坐标为()0,nR，由直线方程的截距式可得直线nnPQ的方

程为：1nnxyaR+=．由点(),nnnQxy在直线nnPQ上得：1nnnnxyaR+=．将2nnnRxx=+，nnyx=代入1nnnnxyaR+=并化简得：11nnnaxx=+++，即4442nnnnna=+=+，所以()()()11142424422nnnnnnnnapappp

+++−=+−+=−+−，()()()22112142421644422nnnnnnnnapappp++++++−=+−+=−+−，令()211nnnnapaqapa+++−=−，得：()()()()16444224422nnnnppqpqp−+−=−+−，由等式()()()()164442

24422nnnnppqpqp−+−=−+−对任意*nN恒成立得：()()1644422pqppqp−=−−=−，即86pqpq=+=，解得24pq==或42pq==故当2p=时，

数列1nnapa+−成公比为4的等比数列，当4p=时，数列1nnapa+−成公比为2的等比数列，故答案为：2或4．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广

大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinsin2sincos0ABCB−−=．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的周长为623+，面积为23，求边c的长度．【17题答案

】【答案】（1）3C=（2）23c=【解析】【分析】(1)利用两角和公式以及三角形三个内角关系即可求解；(2)运用面积公式和余弦定理即可.【小问1详解】2sinsin2sincos0ABCB−−=，∵在△ABC中，()sinsinABC=+，∴()2sinsin2sincos0BCBCB+−−

=，整理得2sincos2cossinsin2sincos0BCBCBCB+−−=，sin0B解得1cos2C=，∵()0,C，∴3C=；【小问2详解】△ABC的面积为23,即113sin23,8222Sab

Cabab====…①，△ABC的周长为623,623abc+++=+…②，由余弦定理得()22222cos3cababCabab=+−=+−…③，将①②代入③，()2262324cc=+−−，解得23c=；综上，3C=，23c=.19.已知正项数列na的前n项和为

nS，且141nnnSaa+=+，11a=．（1）求数列na的通项公式；的高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com（2）若1232nnnnnbaa+

+=，求数列nb前n项和为nT．【19题答案】【答案】（1）21nan=−（2）()11221nnTn=−+【解析】【分析】（1）当2n时，1141nnnSaa−−=+，与已知等式作差，分析可得数列为等差数列，由等

差数列通项公式可得答案；（2）写出数列nb的通项，然后利用裂项相消求和法求和即可.【小问1详解】∵1141,1nnnSaaa+=+=，∴1122413Saaa=+=．当2n时，1141nnnSaa−−=+，∴11144nnnnnnSSaaaa−+−−

=−，∴()114nnnnaaaa+−=−，∵0na，∴114nnaa+−−=．∴数列na的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵212aa−=，∴na为等差数列，通项公式为21nan=−．【小问2详解】∵()()()(

)11232311222121221221nnnnnnnnnbaannnn−+++===−−+−+，()()0112111111121232325221221nnnTnn−=−+−++−

−+()11221nn=−+.的高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com21.已知四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，PAAB=，PADBAD=，,EF分别是,ABDC的中点，2,3,

5ADPFPE===.（1）求证：AD⊥平面PAB；（2）若22PB=，求二面角BPCA−−的余弦值.【21题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】【分析】（1）若要证明线面垂直，只要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线，结合图像利用线面关系即可

得解；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求出各个面的法向量，利用向量的夹角公式，即可得解.【详解】连接,EFBD，因为,EF是平行四边形ABCD的,ABCD的中点，所以//2EFADEFAD==且又5,3PEPF==，所以222EFPEPF+=，

所以EFPE⊥从而ADPE⊥.因为APABPADDABADAD===，所以()..PADBADSAS，所以PDBD=作BP的中点M，连接DM，AM所以，DM⊥BP，AM⊥BP，又AMDMM=故BP⊥平

面ADM，又AD平面ADM，所以BP⊥AD.又PB面,PABPE面PAB且PBPEP=所以AD⊥平面PAB；高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com（2）设AEx=，则2ABAPx==，在PAB△中，

()()22228cos222xxPABxx+−=①，在PAE△中，()2225cos22xxPABxx+−=，②联立①②得：1x=，于是cos090PABPAB==，即PAAB⊥.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，得(2,0,0),(0,0,2),(2,2,

0)BPC故(2,0,2),(0,2,0)BPBC=−=，设(,,)nxyz=是平面BPC的法向量，所以00000xzxznBPyynBC−+======，取1z=得(1,0,1)n=.又AP⊥AD，AP⊥AB，AD∩AB=A

，所以AP⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以AP⊥BD又BD⊥AC，AC∩AP=A，所以BD⊥平面APC，即(2,2,0),BD=−是平面APC的一个法向量.所以1cos,2nBD=−所以二面角BPCA−−的余弦值为12.【点睛】本题考查了立体

几何的线面垂直的证明，考查了求二面角的大小，计算量较大，属于中档题，本题的关键有：（1）通过线面垂直得到线线垂直，从而得到面线面垂直；（2）建系，求法向量，利用方程求法向量，精确计算，这是求二面角的关键.22.2022年，是中国共产主义青年团成立

100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，

稿酬丰厚。www.ks5u.com成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、L、[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数；（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随

机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为，试求的分布列和数学期望；（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布()2,N，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差2s，经计算242.25s=．

现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500名学生的得分相互独立，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？参考数据：()0.6827PX−+=，()220.9545PX−+=，()330.9974PX−+=．【22题答案

】【答案】（1）70.5（2）分布列见解析，数学期望为611（3）最有可能是79【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式计算可得；（2）首先按照分层抽样求出得分在[90,100]的人数，则的可能取值为0，1，2，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（3）由

（1）知，()2~70.5,6.5XN，根据正态分布的性质求出()77PX，记500名学生中得分高于77的人数为，则()~500,Bp，根据二项分布的概率公式求出k取何值时概率取得最大，即可得解；【小问1详解】解：由频率分布直方图可得这10

0名学生得分的平均数高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x=+++++=．【小问2详解】解：参加座

谈的11人中，得分在[90,100]的有0.011120.030.0150.01=++人，所以的可能取值为0，1，2，所以()393115CC2805P===，()219231124155CCCP==

=，()12923113255CCCP===．所以的分布列为012P28552455355∴()28243601255555511E=++=．小问3详解】解：由（1）知，()2~70.5,6.5XN，所以()()10.6827770.158652PXPX

−=+==．记500名学生中得分高于77的人数为，则()~500,Bp，其中0.15865p=，∴()()500500C1kkkPkpp−==−，0k=，1，2，…，500，则()()()()()()50050050111500C15011501

79.483711C1kkkkkkPkppkpkpPkkppp−−−−=−−===−−−，当179k≤≤时，()()1PkPk==−，当80500k≤≤时，()()1PkPk==−，∴得分高于77分的人数最有可能是79．24.已知抛物线

：22ypx=（0p）和圆C：()2224xy−+=，点P是上的动点，当直线OP的斜率为1时，POC△的面积为4．（1）求抛物线的方程；（2）若M、N是y轴上的动点，且圆C是PMN的内切圆，求PMN面积的最小值．【高考资源网（www.ks5u.com），您身边

的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com【24题答案】【答案】（1）24yx=（2）32【解析】【分析】（1）联立直线OP与抛物线的方程，解出P点坐标，根据POC△面积为4，列式即可求得p（2）设()00,Pxy，()0,Mm，(

)0,Nn，利用PM与PN与圆C相切，dr=可以推出0044ymnx−+=，0044xmnx−=，代PMN面积的表达式，消元运用均值不等式即可求得最值【小问1详解】当直线OP的斜率为1时，联立方程22yxypx=−，解得()2,2Ppp，此时2242POCpS==△，解得2p=，∴抛

物线P的方程为24yx=．【小问2详解】设()00,Pxy，()0,Mm，()0,Nn，由题意知04x>，则直线PM：00ymyxmx−=+，即()0000ymxxymx−−+=．∵直线PM与圆C相切，∴()()()00220022ymmxdymx−+==−+−，∴()()()222220

000004444ymmxmxymymx−++−=−+()20004440xmymx−+−=同理可得：()20004440xnynx−+−=．∴m、n是方程()20004440xxyxx−+−=的两个根，∴0044ymnx−+=

，0044xmnx−=，且()2000016164160yxxx=+−=恒成立，高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com∴()200444xmnmnmnx−=+−=−，∴20000

0211624832244PMNxSmnxxxx=−==−++−−△≥，当且仅当08x=时取等号，PMN面积的最小值为32．26.已知函数()()2lnfxxxaxa=−R．（1）若()fx在定义域内有2个零点，

求a的取值范围；（2）若()0,p+，函数()()pgxxfx=在定义域内单调递减，求a的取值范围．【26题答案】【答案】（1）10,e（2）1,e+【解析】【分析】（1）将问题转化为()lnxhxx=与ya

=在()0,+上有2个不同的交点的问题，通过导数可求得()hx单调性和最值，进而得到所求取值范围；（2）根据单调性，将问题转化为()0,p+，()0,x+，()()1lnFxpx=+−()210

apx++；利用导数可求得()()()max11ln02pFxppap+=+−+，进一步将问题转化为()0,p+，()1lnln21ppaGppp+=−++，利用导数可求得()1Gp−，由此可得ln1a

−，进而求得a的范围.【小问1详解】()2lnfxxxax=−在定义域()0,+内有2个零点，lnxyx=与ya=在()0,+上有2个不同的交点．令()lnxhxx=，()0,x+，高考资源网（www.ks5u.com），您

身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com()21lnxhxx−=，当()0,ex时，()0hx；当()e,x+时，()0hx；()hx在()0,e上单调递增，在(

)e,+上单调递减；()()max1eehxh==，又()0limxhx→→−，()lim0xhx→+→，10,ea时，lnxyx=与ya=在()0,+上有2个不同的交点，即a的取值范围为10,e.【小问2详解】()0,p+，()()()1lnppgxx

fxxxax+==−()0,+上单调递减，()()()()()111ln1ln21pppgxpxxaxxaxpxapxx+=+−+−=+−++．令()()()1ln21Fx

pxapx=+−++，问题即转化为：()0,p+，()0,x+，()0Fx．①当0a时，()FxQ在()e,+上单调递增，且()limxFx→+→+，不合题意；②当0a时，()()1

2pFxapx+=−+，令()0Fx=，解得：()12pxap+=+；则当()10,2pxap++时，()0Fx；当()1,2pxap+++时，()0Fx；()Fx在()10,2pap++上单调递增，在()1,2pap

+++上单调递减，()()()()max111ln022ppFxFppapap++==+−++，即()0,p+，1lnln21ppapp+−++≥．令()()()11lnln1ln21211ppGpp

pppp+=−=+−++−+++，()()()()221111012121Gpppppp=−−=−+++++，在高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com()Gp在

)0,+上单调递减，且当p→+时，()11ln11121Gppp=−+−→−++，ln1a−，解得：1ea；综上所述：a的取值范围为1,e+．【点睛】思路点睛：本题考查根据函数

零点个数求解参数范围、根据函数单调性求解参数范围的问题；利用单调性求解参数范围的基本思路是能够根据导数与函数单调性的关系，将问题转化为关于导函数的恒成立问题的求解，进而通过对于导函数最值的求解来得到参数范围.