【文档说明】上海市黄埔区2022届高三下学期二模数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.814 MB，由小赞的店铺上传

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黄浦区2022年高考模拟考数学试卷（完成试卷时间：120分钟总分：150分）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷

上填写清楚；3．本试卷共21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．1.行列式4126的值为____________．【答案】22【解析】【分析】根据行列式的计算

方法求解即可【详解】行列式4126的值为461222−=故答案为：222.若全集{1,2,3}U=，集合{2,3}A=，则UA=ð____________．【答案】{1}【解析】【分析】根据补集定义代入运算．【详解】根据补集运算可得：=1ðUA故答案为：{1}．3.在长方体11

11ABCDABCD−中，设ABa=，ADb=，1AAc=，若用向量a、b、c表示向量1ACuuur，则1AC=____________．【答案】abc++【解析】【分析】根据空间向量的加法法则求解即可

【详解】由题意，111ACABBCCCABADAAabc=++=++=++uuuruuuruuuruuuruuuruuurruururr故答案为：abc++4.某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随

机抽取了150名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了40名，从高二年级的学生中抽取了50名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生____________名．【答案】1050【解析】【分析】首先求出样本中高三年级抽取的学生数，即可求出该高中共有的学生数；【详

解】解：依题意可得样本中高三年级抽取了150405060−−=名学生，所以该高中共有学生604201050150=名学生；故答案：10505.已知复数z满足||1z=，则|2|z−的最大值为______

_____．【答案】3【解析】【分析】设izab=+，结合已知条件求出点(,)ab在221xy+=上运动，然后将问题转化为点(2,0)到221xy+=上一点的最大距离，再利用圆的性质即可求解.【详解】不妨设izab=+

，由||1z=可得，221ab+=，故点(,)ab在221xy+=上运动，又因为22izab−=−+，所以22|2|(2)zab−=−+，即点(,)ab与点(2,0)之间的距离，从而|2|z−的最大值为点(2,0)到221xy+=上一点

的最大距离，为又因为221xy+=是以圆心(0,0)，半径为1的圆，故圆心(0,0)与点(2,0)之间的距离22(20)(00)2d=−+−=，从而|2|z−的最大值为13d+=.故答案为：3.6.设tR，直线2,1x

tyt=+=−−（t为参数）的倾斜角的大小为____________．【答案】34##135【解析】【分析】消去参数t可得直线的直角坐标方程，再分析倾斜角即可【详解】由题意，直线方程1xy+=，即1yx

=−+斜率为1−，故倾斜角为34故答案为：347.已知112,1,,,1,2,322−−−．若幂函数()fxx=在区间(,0)−上单调递增，且其图像不过坐标原点，则=____________．【答案】2−【解析】【分析】根据幂函

数的单调性与定义域判定即可【详解】因为幂函数()fxx=图像不过坐标原点，故0，又()fxx=在区间(,0)−上单调递增，故2=−故答案为：2−8.已知向量a、b，若||1a=，||2b=，向量2ab+在a方向上的投影数量的取值范围为____________．

【答案】[3,5]−【解析】【分析】设a、b所成角为，计算出向量2ab+在a方向上的投影数量，即可求出14cos+的范围，即可求出答案.【详解】因为||1a=，||2b=，设a、b所成角为，向量2ab+在a方向上的投影数量为：()222cos14cosaba

aabaa++==+，因为0,，所以cos1,1−，所以14cos3,5+−.故答案为:[3,5]−。9.已知等比数列{}na，其前n项和为nS．若11a=，公比为3，

则1limnnnSa→+=____________．【答案】12【解析】【分析】先求解{}na的通项公式，再求解nS，进而求解极限即可【详解】由题意，13nna−=，()()113131132nnnS−==−−，故()11311112limlimlim13232nnnnnnnnS

a→→→+−==−=故答案为：1210.设,abR，)0,4c．若对任意实数x都有()sin2sin3xabxc−=+，则满足条件的有序实数组(),,abc的组数为____________

．【答案】8【解析】【分析】由恒成立的等式可确定1=a，2=b；结合三角函数诱导公式的知识，分别讨论,ab不同取值时对应的c的取值，结合c的范围可得结果.【详解】对任意实数x都有()sin2sin3xabxc−=+，()sinyabxc=+与sin23yx

=−的最值和最小正周期相同，1a=，2=b，即1a=，2b=，①当1a=，2b=时，()sin2sin23xxc−=+，()23ckk=−+Z，又)0,4c，53c=或113c=，则()5,,1,2,3abc=

或111,2,3；②当1a=，2b=−时，()()sin2sin2sin23xxcxc−=−+=−−，()()213ckk=++Z；又)0,4c，43c=或

103c=，则()4,,1,2,3abc=−或101,2,3−；③当1a=−，2b=时，()sin2sin23xxc−=−+，()()213ckk=−++Z，又)0,4c，23c=或83c=，则()2,,1,2,3abc=−

或81,2,3−；④当1a=−，2b=−时，()()sin2sin2sin23xxcxc−=−−+=−，()23ckk=+Z；又)0,4c，3πc=或73，则(

),,1,2,3abc=−−或71,2,3−−；综上所述：满足条件的有序实数组(),,abc共有8组.故答案为：8.11.一个袋子中装有大小与质地均相同的m个红球和n个白球（4mn≤），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的

概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足30mn+≤的所有有序数对(,)mn为____________．【答案】()()10,15,6,10【解析】【分析】根据题意可得取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率等于12，再列式求出关于,mn的等式，再根据整数的性质分析即可【详解

】由题意，取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率等于12，即112CC1C2mnmn+=，即()()2112mnmnmn=++−，所以()()()()241mnmnmnmnmn=++−=+−+，整理得()2nmmn−=

+，即mn+为平方数.又4mn≤，30mn+≤，故25mn+=，16mn+=或9mn+=.当25mn+=时，5nm−=，解得()(),10,15mn=；当16mn+=时，4nm−=，解得()(),6,10mn=；当9m

n+=时，3nm−=，解得()(),3,6mn=不合题意，故()(),10,15mn=或()(),6,10mn=故答案为：()()10,15,6,1012.对于给定的正整数n(2n)，定义在区间[0,]n上的函数()yfx=满足：当01x≤≤时，2()2fxxx=−+，且对任意的

[1,]xn，都成立()(1)1fxfx=−+．若与n有关的实数nk使得方程()nfxkx=在区间[1,]nn−上有且仅有一个实数解，则关于x的方程()nfxkx=的实数解的个数为____________．【答案】21n−【解析】【分析】数形结合，画

出()yfx=在区间[0,]n上图象，根据nykx=与()yfx=的图象交点分析即可【详解】由题意，画出()yfx=在0,1之间的图象，又对任意的[1,]xn，都成立()(1)1fxfx=−+，可理解为区间[1,]nn−的图象由区间[2,1]

nn−−的图象往右平移一个单位，再往上平移一个单位所得，即可画出()yfx=在[0,]n上的图象.故若与n有关的实数nk使得方程()nfxkx=在区间[1,]nn−上有且仅有一个实数解，则nykx=与()yf

x=在区间[1,]nn−上的图象相切，且易得()yfx=的图象在yx=与区间区间0,1，1,2…2,1nn−−，1,nn−上的公切线之间.故nykx=与()yfx=在区间0,1，1,2…2,1nn−−上均有2个交点，故关于x的方程()nf

xkx=的实数解的个数为()21121nn−+=−个故答案为：21n−二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.若a、b均为非零实数，则不等式2baab+

成立的一个充要条件为（）．A.0abB.0abC.0abD.0ab≤【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式及充要条件的定义判断即可；【详解】解：因为a、b均为非零实数且2baab+，所以222baab+，因为20b，20a，

所以220ba+，所以0ab，由0ab，可得0ab，0ba，所以22babaabab+=，当且仅当baab=，即ab=时取等号，所以不等式2baab+成立的一个充要条件为0ab；故选：A14.如图，已知,,P

QR分别是正方体1111ABCDABCD−的棱,ABBC和11CD的中点，由点,,PQR确定的平面截该正方体所得截面为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】D【解析】【分析】根据题意，取11AD的中点T，1AA的中点M，1C

C的中点S，连接,,,PMTMRSQS，可得过,,PQR的截面图形.【详解】解：如图，取11AD的中点T，1AA的中点M，1CC的中点S，连接,,,PMTMRSQS，由正方体的性质可知11////AC

MSAC，由中位线性质可知11//,//PQACRTAC，所以，////PQMSRT，所以，由点,,PQR确定的平面即为截面PQSRTM，其为六边形．故选：D．15.记方程①：2110xax++=，方程②：2220xax++=，方

程③：2340xax++=，其中1a，2a，3a是正实数．当1a，2a，3a成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（）．A.方程①有实根，且②有实根B方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程

①无实根，且②无实根【答案】C【解析】【分析】首先可根据“方程③有不相等的两实根”得出“方程③无实根”的充要条件2316a>，然后对四个选项依次进行分析，通过判别式即可得出结果.【详解】解：若方程③有不相等的两实根，则23160a>-，即2316a>，故“方程③有不相等的两实根”的充要条

件为：2316a>，又因为1a，2a，3a成等比数列，所以2213aaa=，即422321aaa=，A项：因为方程①有实根，且②有实根，所以2140a−，2280a−，.即214a，228a³，422321aaa=

，无法证得2316a>，故A不正确；B项：因为方程①有实根，且②无实根，所以2140a−，2280a−，即214a，228a<，42232116aaa=，故B不正确；C项：因为方程①无实根，且②有实根，所以2140a−，2280a−，即214a，228a³，4223

21>16aaa=，故C正确；D项：因方程①无实根，且②无实根，所以2140a−，2280a−，即214a，228a<，422321aaa=，无法证得2316a>，故D不正确，故选：C.16.将曲线221169xy+=(0x≥)与曲线22179xy+=

(0x≤)合成的曲线记作C．设k为实数，斜率为k的直线与C交于,AB两点，P为线段AB的中点，有下列两个结论：①存在k，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（）．A.①②均正确B.①②均错误C.①正确，②错误D.①

错误，②正确【答案】C【解析】【分析】对①，分析当0k=时点P的轨迹总落在某个椭圆上即可；对②，设()()1122,,,AxyBxy，12xx，()00,Pxy，则121200,22xxyyxy++==，利用点差法，化简可得()222101291672xxykxx−=−，故

若存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上则()0000ykxk−R为常数，再化简分析推出无解即可详解】设()()1122,,,AxyBxy，12xx，()00,Pxy，则121200,22xxyyxy++==.对①，当0k

=时，2211179xy+=，22221169xy+=，易得12yy=，故两式相减有22210167xx−=，易得此时为【120xx，故1274xx=−，所以220017,42xxyxy+−==，即0220847,xxyy−==.代入22221169

xy+=可得20208471169xy−+=，所以()2200219474xy+=−，故存在0k=，使得点P的轨迹总落在椭圆()22219474xy+=−上.故①正确；对②，()00,Pxy，121200,22xxyyxy++

==.由题意，若存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，则2211179xy+=，22221169xy+=，两式相减有22221212071699xxyy−+−=，即()()2212121207169yyyyxx+−

−+=，又1212yykxx−=−，故()2201212207169kyxxxx−−+=，即()222101291672xxykxx−=−，又1202xxx+=，故若存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，则()0000ykxk−

R为常数.即()()()()()()2222212112012012121212991671672222xxxxxxkxxkkxxkxxkxxkxx−−++−−=−−−−()()()22222122012020112129991671672

2xxkkxxkkxkkxkxxkxx−−−+−+==−−为定值，因为分子分母12,xx次数不同，故若为定值则220201990167kkxkkx+−+=恒成立

，即00990167kkkk+=+=，无解.即不存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上故选：C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．17.如图，直角边长为1的等腰直角三角形

ABC及其内部绕BC边旋转一周，形成一个圆锥．（1）求该圆锥的侧面积S；（2）三角形ABC绕BC逆时针旋转2到1ABC，M为线段1AA中点，求CM与平面1AAB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）2（2）6ar

csin3【解析】【分析】（1）求出圆锥的底面积和半径，由圆锥侧面积的公式带入即可求出答案.（2）联结BM，因为CB⊥平面1AAB，所以BM为CM在平面1AAB上射影，于是CMB为CM与平面1AAB所成的角．求出,CBCM，代入sinCBCMBCM=，

即可求出答案.【小问1详解】三角形ABC是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的母线2AC=，底面半径1r=，侧面积1222SrAC==．【小问2详解】联结BM，因为CB⊥平面1AAB，所以BM为

CM在平面1AAB上的射影，于是CMB为CM与平面1AAB所成的角．在直角△CBM中，1CB=，62CM=，6sin3CBCMBCM==．因此，CM与平面1AAB所成角的大小为6arcsin3．的18.设a为常数，函数21()logxfxxa+=+．（1

）若0a=，求函数()yfx=的反函数1()yfx−=；（2）若0a≤，根据a的不同取值，讨论函数()yfx=的奇偶性，并说明理由．【答案】（1）11()21xfx−=−，0x（2）当1a=−时，函数()yfx=是奇函数；当0a

≤且1a−时，函数()yfx=既不是奇函数，也不是偶函数．【解析】【分析】（1）利用y把x表示出来即可求得结果；（2）对a分情况讨论，利用函数奇偶性判断即可得出结论.【小问1详解】由21logxyx+=，得12yxx+=，于是121yx=−，且0y．因此，所求反函数为

11()21xfx−=−，0x．【小问2详解】当1a=−时，21()log1xfxx+=−，定义域为(,1)(1,)−−+．222111()logloglog()111xxxfxfxxxx−+−

+−===−=−−−+−，故函数()yfx=是奇函数；当0a≤且1a−时，函数()yfx=的定义域为(,1)(,)a−−−+，函数()yfx=既不是奇函数，也不是偶函数．19.某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的

围栏AB与BC的总长度为12米，且BAOBCO=．设BAO=（02）．（1）当4AB=，3=时，求AC的长；（结果精确到0.1米）（2）当6AB=时，求OABC面积S的最大值及此时的值．【答案】（1）11.6米（2）当38

=时，养殖场OABC最大的面积为18218+平方米【解析】【分析】（1）在ABC中，根据余弦定理求解即可；（2）当6AB=时，可得132sin24SOBBA=−，再化简可得182sin21

84S=−+，再根据正弦函数的最值分析即可【小问1详解】在ABC中，4AB=，8BC=，523326ABC=−−−=，由余弦定理，得2222cos80323ACABBCABBCABC=+−=+

，故8032311.6AC=+．因此AC的长约为11.6米．【小问2详解】连接OB．由题意，6ABBC==，344ABOCBO==−−=−，在△OBC中，由正弦定理sinsinOBBCBOC=，得62sinOB

=．于是132sin24SOBBA=−362sinsin4=−22362sincossin22=+236sincos36sin=+()18sin2181cos2=+−182sin2184=−+

，02．当242−=，即38=时，S取到最大值，最大值为18218+．因此，当38=时，养殖场OABC最大的面积为18218+平方米20.已知双曲线：221412xy−=，F为左焦点，P为直

线1x=上一动点，Q为线段PF与的交点．定义：||()||FPdPFQ=．（1）若点Q的纵坐标为15，求()dP的值；（2）设()dP=，点P的纵坐标为t，试将2t表示成的函数并求其定义域；（3）证明：存在常数m、n

，使得()||mdPPFn=+．【答案】（1）5（2）223612075t=−+，5,+2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求出Q点的坐标，即可得到直线PF的方程，从而求出P点坐标，即可得解；（2）设点Q的坐标为(,)QQxy，由FPFQ=，

即可得到Qx、Qy，代入椭圆方程整理可得；（3）当点P不在x轴上时，过Q作x轴的垂线，垂足为Q，设直线1x=与x轴的交点为P，点Q的坐标为(,)QQxy．依题意可得()(||)ndPmQF=−又5()4Qd

Px=+，再由距离公式求出QF，即可得到5(6)104Qmnx−=++，从而求出m、n的值，再计算点P在x轴上时的情形，即可得证；【小问1详解】解：由题意，点F的坐标为(4,0)−，将15y=代入双曲线221412

xy−=中，可得()22151412x−=，所以3x=，不妨取Q的坐标为(3,15)−，于是直线PF的方程为15(4)yx=+．将1x=代入直线PF的方程，得点P的坐标为(1,515)．因此||()5||FPdPFQ==．

【小问2详解】解：由题意，点F的坐标为(4,0)−，点P的坐标为(1,)t．设点Q的坐标为(,)QQxy，由FPFQ=，0，又()5,FPt=、()4,QQxFyQ+=，即()()5,4,QQxty+

=，所以54QQxty=−=，代入双曲线方程221412xy−=，得2253412t−−=，整理得223612075t=−+．由20t，即236120750−+，结合0，解得506或52．又2Qx−，即542−−，结

合0，解得52．因此223612075t=−+，5,+2．【小问3详解】证明：点F的坐标为(4,0)−．当点P不在x轴上时，过Q作x轴的垂线，垂足为Q．设直线1x=与x轴的交点为P，点Q的坐标为(,)QQxy．()||mdPPFn=+，即()||

()(||)nmdPPFdPmQF=−=−．||||5()||||4QFPFPdPFQFQx===+．由Q为线段PF与的交点，得点Q的坐标(,)QQxy满足方程221412xy−=，即221412QQxy−=．于是22||(4)QQQFxy=++22

(4)3122|1|QQQxxx=++−=+，又2Qx−，故||2(1)QQFx=−+．于是55(6)()(||)2(1)1044QQQmndPmQFmxxx−=−=++=+++．故存在常数6m=、10n=，使得()||mdPPFn=+．当点P在x轴上时，()1,0P，()2,0

Q−，()4,0F−，所以5FP=，2FQ=，即||5()||2FPdPFQ==，所以6()10dPPF=+，即上述结论亦成立．21.已知数列{}na满足以下两个条件：①11a=，当2n时，1|1||1|n

naa−−=+；②若存在某一项3ma−≤，则存在{1,2,,1}km−，使得2kmaa=+（2m≥且*mN）．（1）若20a，求2a，3a，4a；（2）若对一切正整数n，nTnaa+=均成立的T的最

小值为6，求该数列的前9项之和；（3）在所有的数列{}na中，求满足2021ma=−的m的最小值．【答案】（1）23a=，35a=，47a=（2）1（3）3032m=【解析】【分析】（1）先根据条件①取绝对值可得1nnaa−=−或12n

naa−=+，得2123aa=+=，33a=−或35a=．再根据条件②逐个分析是否满足题意即可；（2）根据条件①结合周期性得561aa=−=或5623aa=−=−，再逐个分析是否满足条件即可；（3）先根据条件②可得21nbn=−+（11011n≤≤）必为数列{}na中的项，再结合条件①可得31nn

ab−=分析即可【小问1详解】条件①即：当2n时，1nnaa−=−或12nnaa−=+．（1）由20a，得2123aa=+=，于是33a=−或35a=．当33a=−时，由条件②，得1321aa=+=−，不满足条件①，舍去，故35a=．同理可得47a=．因此，23a=，35a=，

47a=．【小问2详解】由题意，711aa==，由条件①，得61a=−，于是561aa=−=或5623aa=−=−．当51a=时，由条件①，得41a=−，此时该数列的前6项为1，1−，1，1−，1，1−，

不合题意，舍去．当53a=−时，由条件①，得43a=或5−，结合条件②，得2a、3a中必有一项为1−，因为11a=，所以只有21a=−，此时31a=，43a=．故数列{}na的前6项为1，1−，1，3，3−，1−

，这前6项的和为0．因此，该数列的前9项之和为1．【小问3详解】由2021ma=−及条件②，可得1−，3−，5−，…，2019−，2021−必为数列{}na中的项，记该数列为{}nb，有21nbn=−+（11011n≤≤）．以下考虑{}nb在数列{}na中依次是哪些项，不妨

令njba=．由条件①，121jjaan+=−=−或1223jjaan+=+=−+，均不为121nbn+=−−；此时221jan+=−+或21n+或23n−或25n−+，均不为121nbn+=−−．上述情况中，当121j

an+=−，221jan+=+时，32121jjnaanb+++=−=−−=，结合11a=，有31nnab−=．由10112021b=−，得3101113032m=−=即为所求．获得更多资源请扫码加入享学

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