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第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是()A.圆柱的侧面积为2πR2B.

圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2答案CD解析依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;圆锥的侧面积为πR×√5R=√5πR2,∴B错误;球的表面积为4πR2,∵圆柱的侧面积为4πR2,∴C正确;∵V

圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=13πR2·2R=23πR3,V球=43πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3=3∶1∶2,∴D正确.2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于()A.4√2B.8C.8√2D.8√3答

案B解析设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球,∴√3x=2R=2,∴x=2√3,∴S正=6x2=6×(2√3)2=8.3.若一个圆锥的高和底面直径相等,且它的体积为23π,则此圆锥的侧面积为()A.√5πB.

√3πC.√2πD.2√5π答案A解析如图所示,设圆锥的底面半径为r,则高为h=2r,所以圆锥的体积为V圆锥=13π·r2·2r=23π,∴r=1,h=2,l=√ℎ2+𝑟2=√4+1=√5,则此圆锥的侧面积为S侧面积=π

rl=π·1·√5=√5π.故选A.4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥

的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B解析

设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=14×13·πR2h=112×π×(16π)2×5.∵π≈3,∴V≈3209(立方尺).∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).5.圆锥的高h和底面半

径r之比h∶r=2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为()A.18√5πB.9(1+2√5)πC.9√5πD.9(1+√5)π答案D解析∵圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,∴h=2r,又圆锥的体积V=18

π,即13πr2h=2π𝑟33=18π,解得r=3.∴h=6,母线长为l=√ℎ2+𝑟2=√62+32=3√5,则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×3√5+π×32=9(1+√5)π.6.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相

同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是.答案4解析设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),水和球的总体积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×43πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4π

r3,解得r=4.7.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为.答案259π3解析作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=π3(32+√32×42+4

2)×7=259π3.8.已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案π4解析由底面边长为√2,可得OC=1.设M为VC的中点,O1M

=12OC=12,O1O=12VO,VO=√𝑉𝐶2-𝑂𝐶2=2,∴O1O=1.V柱=π·O1M2·O1O=π×122×1=π4.9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.

解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=13π3.10.如图所示,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为√3

的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h=√42-22=2√3.又h'=√3,∴h'=12h,∴𝑟2=ℎ-ℎ'ℎ=12,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=√3π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=2π+2π×√3=(2+2√3)π.关键能

力提升练11.某圆台上、下底面面积分别是4π、9π,母线长为2,则这个圆台的侧面积是()A.10πB.12πC.15πD.20π答案A解析圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图).由已知可得上底半径O1A=2,下底半径OB=3.又

腰长为2,∴高AM=√22-(3-2)2=√3,∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x,则由△SAO1∽△SBO可得23=𝑥-2𝑥,解得x=6,∴截得此圆台的圆锥的母线长为6,可得大圆锥的底面周长为2×3π=6π,小圆锥的底面周长为2×2π=4π,这个圆台的侧面积=大圆锥侧面积-

小圆锥的侧面积=12×6π×6-12×4π×(6-2)=10π.故选A.12.(多选题)如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,过点C作CD⊥AB,垂足为D.下列说法正确的是()A.以BC所

在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15πB.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36πC.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25πD.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为1

6π答案AD解析以BC所在直线为轴旋转,所得旋转体为底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,∴侧面积为π×3×5=15π,体积为13×π×32×4=12π,∴A正确,B错误;以AC所在直线为轴旋转,所得旋转体为底面半径为4,母线长为5,高为

3的圆锥,侧面积为π×4×5=20π,体积为13×π×42×3=16π,∴C错误,D正确.13.设矩形边长分别为a,b(a>b),将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱(无底面),其体积分别为Va和Vb,则Va与Vb的大小关系是()A.Va>Vb

B.Va=VbC.Va<VbD.不确定答案C解析由题意,当卷成高为a的圆柱时,此时设圆柱的底面半径为r1,则2πr1=b,解得r1=𝑏2π,则圆柱的体积为Va=π𝑟12a=π×(𝑏2π)2a=𝑎𝑏24π.当卷成高为b的圆柱时,此时设圆柱的底面半径为r2,则2πr2=a,解得r2=𝑎

2π,则圆柱的体积为Vb=π𝑟22b=π×(𝑎2π)2b=𝑎2𝑏4π.又由a>b,所以𝑎2𝑏4π>𝑎𝑏24π,即Vb>Va,故选C.14.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天

池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)()A.3寸B.4寸C.5寸D.6寸答案A解析作出圆台的轴截面如图所示:由题意知,BF=14寸,O

C=6寸,OF=18寸,OG=9寸.即G是OF的中点,∴GE为梯形OCBF的中位线,∴GE=14+62=10(寸).即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为13π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸

),∴平均降雨量是588π196π=3(寸),即平均降雨量是3寸.15.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”,那么母线长为2√2的“标准圆锥”的体积为.答案8π3解析设圆锥底面半径为r,则√𝑟2+𝑟2=2√2,则r=

2,所以圆锥的体积V=13×πr2×2=8π3.16.如图所示,半径为R的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的表面积为,体积为.答案11+√32πR256πR3解析如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,

又∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=√3R,BC=R,CO1=√32R,∴𝑆圆锥𝐴𝑂1侧=π×√32R×√3R=32πR2,𝑆圆锥𝐵𝑂1侧=π×√32R×R=√32πR2,∴S几何体表=S球+𝑆圆锥𝐴𝑂1侧+𝑆圆锥𝐵𝑂1侧=11+√32

πR2,又V球=43πR3,∴V几何体=V球-(𝑉圆锥𝐴𝑂1+𝑉圆锥𝐵𝑂1)=43πR3-13×AB×π×C𝑂12=43πR3-2π𝑅3×(√32𝑅)2=56πR3.17.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3√2的正方形

,且各侧棱长均为2√3.求该四棱锥外接球的表面积.解取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1,CE,如图.则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.∵AB=3√2,∴O1C=3.在Rt△SO1C中,SC=2√3,∴SO1=

√3.∵Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,∴SE=𝑆𝐶2𝑆𝑂1=(2√3)2√3=4√3.∴球半径R=2√3.∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2√3)2=48π.学科素养创新练18.如图所示,在棱锥P-ABCD中,底面ABCD是长方形,底面周长为8,PD

=3,且PD是四棱锥的高.设AB=x.(1)当x=3时,求三棱锥A-PBC的体积;(2)求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值.解(1)当x=3时,AB=3,BC=1,S△ABC=12AB·BC=32,因此VA-PBC

=VP-ABC=13PD·S△ABC=32.(2)将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-A1B1C1P,则四棱锥P-ABCD的外接球和长方体ABCD-A1B1C1P的外接球相同.因为AB=x,则BC=4-x,所以球的半径R=√𝐴�

�2+𝐵𝐶2+𝑃𝐷22=√2𝑥2-8𝑥+252,当x=2时,R取得最小值√172.故四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值为4πR2=17π.19.如图,四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周

所成几何体的表面积和体积.解由题意知所求几何体的表面积等于圆台下底面面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.又因为S半球面=12×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π×(2+5)×√(5-2)2+42=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),所以所求几何体的表面积

为8π+35π+25π=68π(cm2).又因为V圆台=π3×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=12×4π3×23=16π3(cm3).所以所求几何体的体积为