【文档说明】甘肃省平凉市静宁县第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 【精准解析】.doc，共(22)页，1.650 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年甘肃省平凉市静宁一中高一(上)期末数学试卷一､选择题(共12小题).1.已知全集=UR，集合=1,2,3,4,5=3ABxRx，，图中阴影部分所表示的集合为（）A.1,2B.4,5C.1,2,3D.3,4,5【答案】A【解析】【分析】由题意可

知，阴影部分所表示的元素属于A，不属于B，结合所给的集合求解()RBAð即可确定阴影部分所表示的集合.【详解】由已知中阴影部分在集合A中，而不在集合B中，故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B（属于B的补集），即()1,2RBA=ð.【点睛】本

题主要考查集合的表示方法，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若⊥，⊥，则//B.若//mn，m,n，则//

C.若//mn，//m，则//nD.若n⊥，n⊥，则//【答案】D【解析】【分析】根据面面平行、线面平行的判定逐项分析即可.【详解】选项A中，两平面也可能相交；选项B中，中两平面可能相交；选项C中n可能在内．【点睛】本题主要考

查了两个平面平行的判定，线面平行的判定，属于中档题.3.当点P在圆221xy+=上变动时，它与定点Q(3，0)相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A.22(3)1xy−+=B.22(23)41xy−+=C.22

(3)4xy++=D.22(23)44xy++=【答案】B【解析】【分析】设线段PQ的中点M设为(x，y)，用,xy表示出P点坐标，代入已知圆方程即得所求轨迹方程．【详解】解：线段PQ的中点M设为(x，y)，点P与定点Q(3，0)相连，则P(2x﹣3，2y)，点P在圆x2+y2=

1上变动时，线段PQ的中点M的轨迹方程是(2x﹣3)2+4y2=1.故选：B.4.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.82−B.8−C.82−D.84−【答案】B【解析】【详解】试题分析：该几何体是正方体在两个角各挖

去四分之一个圆柱，因此32121282V=−=−．故选B．考点：三视图，体积．5.三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）A.acbB.abcC.bacD.bca【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【

详解】解：∵0＜0.312＜0.310=1，log20.31＜log21=0，20.31＞20=1，∴b＜a＜c．故选：C．【点睛】熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键．6.已知函数e0()ln0xxfxxx=，，，，()()gxfxxa=++．若g（x）存在2个零

点，则a的取值范围是A.[–1，0）B.[0，+∞）C.[–1，+∞）D.[1，+∞）【答案】C【解析】【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程()0fxxa++=有两个解，将其转化为()fxxa=−−有两个解，

即直线yxa=−−与曲线()yfx=有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()fx的图像（将(0)xex去掉），再画出直线yx=−，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a−时，满足yxa=−−与曲线()yfx=有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()fx

的图像，xye=在y轴右侧的去掉，再画出直线yx=−，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程()fxxa=−−有两个解，也就是函数()gx有两个零点，此时满足1a−

，即1a−，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结

果.7.圆221:20Cxyx+−=与圆222:40Cxyy++=的公共弦长为()A.5B.455C.255D.55【答案】B【解析】【分析】两圆方程作差可求得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可求得结果.【详解】由22222040xyxxyy+−=++=

得：20xy+=，即公共弦所在直线方程为：20xy+=.圆1C方程可整理为()2211xy−+=，则圆心()11,0C，半径1r=，圆心1C到20xy+=的距离15514d==+，公共弦长为2214522155rd−=−=.故选：B.【点睛】本题考查两圆相交公共弦长的

求解，涉及到垂径定理的应用；关键是明确两圆相交的公共弦所在直线方程可通过两圆方程直接作差求得.8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m+n=（）A.345B.10C.367D.5【答案】A【解析】【分析

】由题意求出点(0，2)与点(4，0)所确定是垂直平分线l的方程，再由点(7，3)与点(m，n)关于l对称，列式求解出m、n，即可求出m+n【详解】解：若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，则

坐标纸折叠一次的折痕是点(0，2)与点(4，0)连线的垂直平分线，∵点(0，2)与点(4，0)中点为(2，1)，两点连线的斜率为k=021402−=−−，∴其垂直平分线的斜率为2，则其垂直平分线方程为：y﹣1=2

(x﹣2)，即y=2x﹣3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的垂直平分线，则3723223172mmnm++=−−=−−，解得35315mn==.∴m+n=345.故选：

A.【点睛】对称问题：（1）点A()11,xy、B()22,xy关于点O()00,xy对称，是中心对称，用中点坐标公式12012022xxxyyy+=+=（2）点A()11,xy、B()22,xy关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线，可以利用垂直和平分分别列方程：1A

Blkk=−和1212,22xxyy++在直线l上.9.设函数()1ln1xfxxx−=+，则函数的图像可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后再利用特

殊值判断.【详解】由101xx−+，即()()110xx−+，解得11x−，所以函数()fx的定义域为|11xx−，关于原点对称，又()()11lnln11xxfxxxfxxx+−−=−==−+

，所以()fx是偶函数，故排除AC，又1111112lnln01222312f−=+=，故排除B故选：D【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数性质的应用，属于基础题.10.从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4

y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为()A.322B.142C.324D.3212−【答案】B【解析】【详解】设直线30xy−+=上的点为(,3)Ptt+，已知圆的圆心和半径分别为(2,2),1Cr=，则切线长为22222(2)(1)1224LPC

rtttt=−=−++−=−+，故当12t=时，min1114224422L=−+=，应选答案B．点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转

化与化归的数学思想．11.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60°角；④AB与平面BCD成60°角.则其中正确结论的个数是（）A1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】取BD的中点E，则

AEBD⊥，CEBD⊥．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案【详解】解：取BD的中点E

，则AE⊥BD，CE⊥BD，,AECE面AEC．∴BD⊥面AEC，AC面AEC．∴BD⊥AC，故①正确.设正方形边长为a，则2,2ADDCaAEaEC====.∴AC=a.∴△ADC为等边三角形，故②正确.∠ABD

为AB与面BCD所成的角为45°，以E为坐标原点，EC､ED､EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则22220,0,,0,,0,0,,0,,0,02222AaBaDaCa−

.2222AB0,,,DC,,02222aaaa=−−=−.1cos,2ABDC=，,60ABDC=，故③正确.∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故④不正确.故选：C.12

.已知函数22,0()ln(1),0xxxfxxx−+=+，若|()|fxax，则a的取值范围是（）A.(,0]−B.(,1]−C.[2,1]−D.[2,0]−【答案】D【解析】【分析】作出函数()yfx=的图像，和函数yax=的图像，结合图像可知直线yax=

介于l与x轴之间，利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数()yfx=的图像，和函数yax=的图像.由图像可知：函数yax=的图像是过原点的直线，当直线介于l与x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数()yfx=在第二象限的部分的解

析式为22yxx=−，求其导数可得22yx=−，因为0x，故2y−，故直线l的斜率为2−，故只需直线yax=的斜率a2,0−.故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.二､填空题(共4小题).13.已知直线()()1:3410lkxk

y−+−+=与()2:23230lkxy−−+=平行，则k的值是____．【答案】3或5【解析】【分析】由两直线平行得出()()()23243kkk−−=−−，解出k的值，然后代入两直线方程进行验证.【

详解】直线()()1:3410lkxkxy−+−++=与()2:23230lkxy−−+=平行，()()()23243kkk−−=−−，整理得()()350kk−−=，解得3k=或5.当3k=时，直线1:10ly+=，23

:02ly−=，两直线平行；当5k=时，直线1:210lxy−+=，23:202lxy−+=，两直线平行.因此，3k=或5.故答案为3或5.【点睛】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力

，属于基础题.14.已知直线1:1lykx=+与直线2:2lyx=−+的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是____________________.【答案】11,2−−【解析】【分析】联立直线方程，求出

交点坐标，根据交点位置，列出不等式，求解，即可得出结果.【详解】因为直线1:1lykx=+与直线2:2lyx=−+有交点，所以1k−，由12ykxyx=+=−+得11211xkkyk=++=+，即交点坐标为121,11+++kkk，又交点位于第四象限，所以有10

12101kkk+++，解得112k−−.故答案为11,2−−【点睛】本题主要考查由直线交点位置求参数的问题，求两直线的交点坐标，只需联立直线方程求解即可，属于常考题型.15.已知正三棱锥A﹣BCD的四个顶

点在同一个球面上，AB=AC=AD=4，CD=6，则该三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】64π【解析】【分析】取三角形BCD的中心为G，连接AG，易知三棱锥的外接球的球心O在AG的延长线上，设三棱

锥的外接球的半径为R，然后在BOG△中，由222()RRAGBG=−+求解.【详解】如图所示：取三角形BCD的中心为G，连接AG，则AG⊥底面BCD，可知三棱锥的外接球的球心O在AG的延长线上，因为底面三角形的边长为6，所以BG=2369233−=，224

(23)2AG=−=，设三棱锥的外接球的半径为R，在BOG△中，222(2)(23)RR=−+，解得R=4.∴该三棱锥的外接球的表面积为4πR2=64π.故答案为：64π.16.下列说法：①函数212log(23)yxx=−−的单调增区间是(,1)−；②若

函数()yfx=定义域为R且满足(1)(1)fxfx−=+，则它的图象关于y轴对称；③函数()()1||xfxxRx=+的值域为(1,1)−；④函数2||3yx=−的图象和直线()yaaR=的公共点个数是m，则m的值可能是0,2,3,4；⑤若函数2()25(1)fxxaxa=−+在[1,

3]x上有零点，则实数a的取值范围是[5,3].其中正确的序号是______.【答案】③④⑤【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断①④⑤的正误，根据函数的图象变换可判断②正误，根据函数的单调性和奇偶性可判断③的正误.【

详解】对于①，令2230xx−−，则1x−或3x，在(),1−−上，223txx=−−为减函数，在()3,+上，223txx=−−为增函数，而12logyt=为减函数，故函数212log(23)yxx=−−的单

调增区间是(,1)−−，故①错误.对于②，若函数()yfx=定义域为R且满足(1)(1)fxfx−=+，则它的图象关于直线1x=轴对称，故②错误.对于③，函数()()1||xfxfxx−−==−+−，故()fx为R上的奇函数，当0x时，1()111xf

xxx==−++，因为11x+，故10111x−+，故当0x时，0()1fx，由函数的奇偶性可知()fx的值域为(1,1)−，故③正确.对于④，函数2||3yx=−的图象如图所示：当0a时，图象和

直线()yaaR=的公共点个数为0，当0a=时，图象和直线()yaaR=的公共点个数为2，当0<<3a时，图象和直线()yaaR=的公共点个数为4，当3a=时，图象和直线()yaaR=的公共点个数为3，当3a时，图象和直线()yaaR=的公共点个

数为2，故④正确.对于⑤，函数2()25(1)fxxaxa=−+在[1,3]上有零点，故52axx=+在[1,3]有零点，又由双勾函数的性质可得5yxx=+在1,5上为减函数，在5,3

为增函数，故5yxx=+的值域为25,6，所以225,6a即5,3a，故⑤正确故答案为：③④⑤.【点睛】方法点睛：（1）复合函数单调性需根据“同增异减”的原则来判断，注意

先考虑函数的定义域.（2）研究函数的性质，一般是先研究函数的定义域，再研究函数的奇偶性，再研究函数单调性以及值域.（3）含参数的方程有解问题，可利用参变分离法，把范围问题转化为新函数的值域问题.三､解答题(共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)17.为了预防流

感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量()mgy与时间()ht成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为116tay−=（a为常数）.如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始

，每立方米空气中的含药量()mgy与时间()ht之间的函数关系式为________；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少时间学生才能回到教室？【答案】（1）0.110,00.11,0.116tttyt−

=；（2）0.6【解析】【分析】（1）当00.1t剟时，可设ykt=，把点(0.1,1)代入直线方程求得k，得到直线方程；当0.1t时，把点(0.1,1)代入1()16tay−=求得a，曲线方程可得．最后综合可得答案．（2）根据题意可

知0.25y„，把（1）中求得的函数关系式，代入即可求得t的范围．【详解】解：（1）观察图象，当1010t剟时是直线，10yt=．当110t…时，图象过(0.1,1)，1101()16ty−=，含药量y（毫克）与时间t（

小时）之间的函数关系式为：110110,01011(),1610tttyt−=剟…．（2）由题意可得10.254y=，因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所

以只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即110111640.1tt−，解得0.6t，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．【点睛】本题考查函数、不等式的实际应用，

以及识图和理解能力，属于基础题．18.已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1.（1）求a的值；（2）解不等式1133log(1)log()xax−−；（3）求函数g(x

)=|logax﹣1|的单调区间.【答案】（1）2；（2）3(1,)2；（3）减函数为(0，2)，增区间为(2，+∞).【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质求出a的范围，根据函数的单调性得到log(2)log1aaaa−=，求出a的值即可；（2）根据函数的单调性得到关于x的不等式组，

解出即可；（3）将函数写成分段函数，即可求出函数的单调区间即可．【详解】解：（1）log3log2aa，1a，又logayx=在[a，2]a上为增函数，log(2)log1aaaa−=，2a=．

（2）依题意可知1210xxx−−−解得312x，所求不等式的解集为31,2．（3）2()|log1|gxx=−，()0gx…，当且仅当2x=时，()0gx=，则221l

og,02()log1,2xxgxxx−=−„函数在(0,2)上为减函数，在(2,)+上为增函数，()gx的减函数为(0,2)，增区间为(2,)+．19.已知ABC的顶点(5,1)A，AB边上的中线CM所在的直线方程为250xy−−=，AC边上的高BH所在直线方程为2

50xy−−=，求：（1）直线AC方程（2）顶点C的坐标（3）直线BC的方程【答案】（1）（2）(4,3)（3）6590xy−−=【解析】【详解】试题分析：（1）由ACBH⊥,设AC方程为20xyt++=，将点A的坐标代入，即可求解直线AC方程；（2）联立AC所在的直线方

程与CM所在直线方程，即可求得C点坐标；（3）设(),Bab，得中点M51,,22abM++点坐标满足CM所在的直线方程为250xy−−=，代入方程组，求解点B，进而得到直线的方程.试题解析：（1）A

CBH⊥,设AC方程为：20xyt++=，将点A坐标代入得，11t=−，所以直线:2110ACxy+−=.（2）联立AC所在的直线方程与CM所在直线方程，250{2110xyxy−−=+−=,得C点坐标(

)4,3.（3）设(),Bab，则中点M坐标为51,,22abM++点坐标满足CM所在的直线方程为250,xyBH−−=所在直线方程250xy−−=，代入得方程组210{250abab−−=−−=，故B点坐标为()1,3−−，根据,CB两点式，得直线方程为：6590xy−−

=.考点：直线方程的求解.20.在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，△SBC，△SDC为正三角形，E为侧棱SC上一点.（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：//SA平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面SAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析

】【分析】（1）要证明//SA平面BDE，只需证明SA平行于平面BDE内的一条直线即可，而E为中点，所以连接AC、BD交于点O．由条件知道O为AC中点，从而EO为三角形SAC的中位线，从而得到//SAOE，即可得证；（2）由SBC，SDC△为正三角形，可以得到SDB为等腰三角形，O

为底边BD中点，易得SOBD⊥，又由条件知道BDAC⊥，从而可以证明BD⊥平面SAC，从而得证．【详解】证明：（1）设AC与BD的交点为O，因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC的中点，又E为SC的中点，所以，OE为三角形SAC的中位线，所以//SAOE，又OE面BDE，SA面BDE

，所以//SA平面BDE；（2）连接SO，因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC⊥，且O是BD的中点，所以BCCD=，又SBC，SDC△为正三角形，所以，SBBCCDSD===，故SBSD=，所以BDSO⊥又SOACO=，SO，AO平面SAC，所以BD⊥平面SAC，又BD

平面BDE，所以平面BDE⊥平面SAC．21.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形.已知2ABADPAPB====，22PD=.（1）求点B到面PAD的距离；（2）求二面角PBDA−−的正切值.【答案】（1）3；（

2）6.【解析】【分析】（1）推导出BPADDPABVV−−=，设点B到平面PAD的高为h，由1133PADPABSShAD=△△，能求出点B到面PAD的距离．（2）推导出POAB⊥，POAD⊥，得到PO⊥平面ABCD，推导出POBD⊥，OEBD⊥，BDPE

⊥，从而BD⊥平面POE，由此能证明PEO为二面角PBDA−−的平面角．求出22OE=，90POE=，3PO=，由此能求出PEO的正切值．【详解】解：（1）∵2PAPBAB===，2PAAD==，22PD=，故222

PAADPD+=，则ADPA⊥，∵ADAB⊥，PAABA=，∴AD⊥平面PAB，∴1322322PABS==△，12222PADS==△，设点B到平面PAD的高为h，由BPADDPABVV−−=得1133PADPABSShAD=△△即

1123233h=，∴3h=.（2）如图所示，取AB中点O，连接PO，作OE垂直于BD，连接PE，在PAB△中，2PAPBAB===，∴POAB⊥，由（1）知AD⊥平面PAB，PO平面PAB，∴PO

AD⊥，而ABADA=，AB，AD平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴POBD⊥，又∵OEBD⊥，∴BDPE⊥，又AEPEE=，∴BD⊥平面POE，∴PEO为二面角PBDA−−的平面角，223POPAAO=−=，11222442OEAC===，

在POE△中，90POE=，∴3tan622POPEOOE===，即二面角PBDA−−的正切值为6.【点睛】本题考查点到平面的距离、二面角的正切值的求法，考查二面角的平面角的证明，考查空间中线线、线面

、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．22.已知点P1（-5+1,0）,P2（5+1,0）,P3（1,1）均在圆C上.（1）求圆C的方程;（2）若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;（3）设过点（-1,0）

的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【答案】（1）（x-1）2+（y+2）2=9；（2）6155；（3）x=-1和y=x+1.【解析】【分析】（1）依据题意可得圆心的横坐标，然后假设圆的方程(x-

1)2+(y-b)2=r2，然后代点进行计算可得结果.（2）计算圆心到直线的距离，然后利用弦长公式计算可得结果.（3）按斜率是否存在，假设直线的方程并与圆的方程进行联立，然后使用韦达定理，根据kOM·kON=-1，计算即可.【详解】解:（1）∵点P1(-5+1,0

),P2(5+1,0),P3(1,1)均在圆C上,∴圆心C的横坐标为1,设圆C的方程为(x-1)2+(y-b)2=r2,则22222(5),(1-),brbr+==解得-2,3.br==∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=9.（2）圆C的

圆心坐标为(1,-2),半径为3,圆心到直线3x-y+1=0的距离为d=|321|310510++=.∴直线3x-y+1=0被圆C截得的弦AB的长为223106159-55=.（3）存在直线l满足题意.理由如下,设M(x1,y1),N(x2,y2),

由题意,知OM⊥ON,且OM,ON的斜率均存在,①当直线l的斜率不存在时,可得直线l的方程为x=-1,则M(-1,5-2),N(-1,-5-2),满足x1x2+y1y2=0,∴直线l:x=-1满足条件;②当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=k(x+1),代入(x-1)

2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,则x1+x2=-2224-21kkk++,x1x2=224-41kkk++,∴kOM·kON=-1,则1212·yyxx=-1,即x1x2+y1y2=0.由x1x2+y1y2=0,得x1x2+

k2(x1+1)(x2+1)=0,即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,∴(1+k2)·224-41kkk++-k2·2224-21kkk+++k2=0,解得k=1,∴直线l的方程为y=x+1.综上可

知,存在满足条件的直线l:x=-1和l:y=x+1.【点睛】本题考查圆的应用，掌握圆中的弦长公式以及直线与圆联立，通常将方程进行联立并使用韦达定理，第（3）问中关键在于kOM·kON=-1，属中档题.