【文档说明】【高考数学精准解析】多维层次练：第一章第4节基本不等式【高考】.docx，共(11)页，87.884 KB，由小赞的店铺上传

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多维层次练4[A级基础巩固]1．若x>0，y>0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是()A．x＝yB．x＝2yC．x＝2且y＝1D．x＝y或y＝1解析：因为x>0，y>0，所以x＋2y≥22xy，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的充分不必要条件．答

案：C2．下列结论正确的是()A．当x>0且x≠1时，lgx＋1lgx≥2B．当x∈0，π2时，sinx＋4sinx的最小值为4C．当x>0时，x＋1x≥2D．当0<x≤2时，x－1x无最大值解析：

对于A，当0<x<1时，lgx<0，不等式不成立；对于B，当x∈0，π2时，sinx＋4sinx的最小值不为4(因为sinx＝2不成立)；对于C，当x>0时，x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1时等号成立；对于D，当0<x≤2时，y＝x－1x单调

递增，所以当x＝2时，取得最大值，最大值为32.答案：C3．设a>0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A．16B．9C．4D．2解析：在(1，＋∞)上，x＋ax－1＝

(x－1)＋ax－1＋1≥2（x－1）×a（x－1）＋1＝2a＋1(当且仅当x＝1＋a时取等号)，由题意知2a＋1≥5.所以2a≥4，a≥2，a≥4，a的最小值为4.答案：C4．若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，

B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．2B．22C．4D．42解析：由题意知∠APB＝90°，所以|PA|2＋|PB|2＝4，所以|PA|＋|PB|22≤|PA|2＋|PB|22＝2

(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，所以|PA|＋|PB|≤22，所以|PA|＋|PB|的最大值为22.故选B.答案：B5．(多选题)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则对于1a＋4b()A．取得最值时a＝23B．最大值是5C．取得最值时b＝2

3D．最小值是92解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝2，所以1a＋4b＝121a＋4b(a＋b)＝52＋124ab＋ba≥52＋12×24ab·ba＝92，当且仅当4ab＝ba，即a＝23，b＝43时取等号，故1a＋4b的最小值为92，此时a＝23

，b＝43.答案：AD6．(2020·晋冀鲁豫名校联考)已知函数f(x)＝x2ex，若a>0，b>0，p＝fa2＋b22，q＝fa＋b22，r＝f(ab)，则()A．q≤r≤pB．q≤p≤rC．r≤p≤qD．r≤q≤p解

析：因为a2＋b22－a＋b22＝2a2＋2b24－a2＋b2＋2ab4＝（a－b）24≥0，所以a2＋b22≥a＋b22.又a＋b2≥ab(a>0，b>0)，所以ab≤a＋b22≤a2＋b22.又f(x)＝x2ex

在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(ab)≤fa＋b22≤fa2＋b22，即r≤q≤p.答案：D7．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓

储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数是()A．60B．80C．100D．120解析：若每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是

800x＋x8元，由基本不等式得800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号．答案：B8．已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线

的斜率为2，则8a＋bab的最小值是()A．10B．9C．8D．32解析：由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2a＋

b＝2，所以8a＋bab＝1a＋8b＝121a＋8b(2a＋b)＝1210＋ba＋16ab≥1210＋2ba·16ab＝12(10＋8)＝9，当且仅当ba＝16ab，即a＝13，b＝43时等号成立，所以8a＋bab的最小值为9

.答案：B9．已知一次函数y＝－12x＋1的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最大值时a的值为________．解析：易知A(2，

0)，B(0，1)，所以线段AB的方程为x2＋y＝1(0≤x≤2)．又点P(a，b)在线段AB上，知a2＋b＝1(0≤a≤2)，所以2ab2≤1，则ab≤12，当且仅当a2＝b，即a＝1，且b＝12时取等号，所以当a＝1，且b＝12时，ab有最大值12.答案：12110．(2020·吉

安期末检测)已知函数f(x)＝sin2xsinx＋2，则f(x)的最大值为________．解析：设t＝sinx＋2，则t∈[1，3]，则sin2x＝(t－2)2，则g(t)＝（t－2）2t＝t＋4t－4(1≤t≤3)．由“对勾函数”的性质可得g(t)在[1，2)上为减函数，在(2，3

]上为增函数，又g(1)＝1，g(3)＝13，所以g(t)max＝g(1)＝1，即f(x)的最大值为1.答案：111．在各项都为正数的等比数列{an}中，若a2018＝22，则1a2017＋2a2019的最小值为________．解析：因为{an}为等比数列，所以a2017·a2019＝a2

2018＝12.所以1a2017＋2a2019≥22a2017·a2019＝24＝4.当且仅当1a2017＝2a2019，即a2019＝2a2017时，等号成立．所以1a2017＋2a2019的最小值为4.答案：412．(2020·江门模拟)对

任意正数x，满足xy＋yx＝2－4y2，则正实数y的最大值为________．解析：因为y为正数，xy＋yx＝2－4y2，所以x＋1x＝2y－4y.因为x＋1x≥2(x为整数)，所以2y－4y≥2，由y>0，得2y2＋y－1≤0，解得0<y≤12.因此y的最大值为12.答案：12

[B级能力提升]13．(2020·广东汕尾联考)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则1a＋2b的最小值为()A．4B.92C.52D．6解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，

依题设，圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，所以a＋2b＝2，且a>0，b>0.所以1a＋2b＝12×(a＋2b)×1a＋2b＝12×1＋4＋2ba＋2ab≥12×(5＋24)＝92(当且仅当a＝b＝23时取等号)．答

案：B14．(2020·广东惠州三调)在△ABC中，点D是AC上一点，且AC→＝4AD→，P为BD上一点，向量AP→＝λAB→＋μAC→(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为()A．16B．8C．4D．2解析：由题

意可知，AP→＝λAB→＋4μAD→，又B，P，D共线，由三点共线的充分必要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝4λ＋1μ×(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ×λμ＝16.当且仅当λ＝12，

μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.答案：A15．正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：因为a>0，b>0，1a＋9b＝1，所以a＋b＝(a＋b)1a＋9b＝1

0＋ba＋9ab≥16，当且仅当ba＝9ab，即a＝4，b＝12时取等号．依题意，16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，

即m≥6.答案：[6，＋∞)[C级素养升华]16．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最

小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为

5万元，所以k1＝5，k2＝20，所以运费与仓储费之和为5x＋20x万元，因为5x＋20x≥25x×20x＝20，当且仅当5x＝20x，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元．答案：2

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