【文档说明】【精准解析】高中数学北师大必修4一课三测：2.3.2平面向量基本定理含解析【高考】.docx，共(15)页，294.184 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

§3从速度的倍数到数乘向量3.2平面向量基本定理填一填平面向量基本定理与基底(1)平面向量基本定理：条件结论①e1，e2是同一平面内的两个________向量②a是该平面内的________向量存在唯一

一对实数λ1，λ2，使得a＝________(2)基底：成为基底的条件：向量e1，e2________.判一判1.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()2．若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()3．平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面

内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．()4．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．()5．若e1，e2不共线，则λ1e1＋λ2e2＝0⇔λ1＝λ2＝0.()6．设e1，e2是不共线的

非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.则a，b可以作为一组基底．()7．若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．()8．若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，

则a＝c，b＝d.()想一想如何准确理解平面向量基本定理？提示：(1)定理的实质平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式．(2)分解的唯一性平面向量基本定理中，平面内任意两个不

共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．(3)体现的数学思想平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用基底化归，使问

题得以解决．思考感悟：练一练1.下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是(

)A．①②B．②③C．①③D．①②③2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A．e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2C．e1,5e2D．e1，e1＋e23．在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则B

E→＝________.4．如图所示，向量OA→可用向量e1，e2表示为________．知识点一平面向量基本定理的理解1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B

．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e22．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________.知识点二用基底表示向量3.已知AD是△ABC的BC边上的中线，若AB→

＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.12(a－b)B．－12(a－b)C．－12(a＋b)D.12(a＋b)4．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设AD→＝a，AB→＝b，试用a，b表示DC→，EF→，FC→.知识点三平面向量基本定

理的应用5．如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋29AC→，则实数m的值为()A.19B.13C．1D．36．如图，在△ABC中，M是BC的中点，N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P

，分别求APPM与BPPN的值．综合知识利用定理求解面积问题7.如图，已知M为△ABC的边BC上一点，且满足AM→＝34AB→＋14AC→，求△ABM与△ABC的面积之比．基础达标一、选择题1．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确

的是()A．a与b一定共线B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直D．a与b中至少一个为02．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.AB→，DC→B.AD→，BC→C.BC→，CB

→D.AB→，DA→3.如图在矩形ABCD中，若BC→＝5e1，DC→＝3e2，则OC→＝()A.12(5e1＋3e2)B.12(5e1－3e2)C.12(3e2－5e1)D.12(5e2－3e1)4．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a

－b，CD→＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形5．已知△ABC的边BC上有一点D，满足BD→＝3DC→，则AD→可表示为()A.AD→＝34AB→＋14AC→B.AD→

＝14AB→＋34AC→C.AD→＝－2AB→＋3AC→D.AD→＝23AB→＋13AC→6．已知OA→＝a，OB→＝b，∠AOB的平分线OM交AB于点M，则向量OM→可表示为()A.a|a|＋b|b|B．λa|a|＋b|b|C.a＋b|a＋b|D.|b|a＋|a|

b|a|＋|b|7.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若AM→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ＝()A．－53B．－12C.12D.238.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝()A．2B．4

C．5D．7二、填空题9．已知平面向量e1，e2是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________.10.如图，在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.11．向

量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________.12．已知O为△ABC内一点，且OB→＋OC→＝2AO→，且λAD→＝AC

→，若B，O，D三点共线，则实数λ的值为________．三、解答题13．如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若AB→＝a，AD→＝b，试用a，b表示向量DE→，BF→.14．如图，已知点G是△ABC的重心，若PQ过△ABC的重心G，且AB→

＝a，AC→＝b，AP→＝ma，AQ→＝nb(m>0，n>0)，试问m，n的倒数和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．能力提升15.如图，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，H，M是AD，DC的中点，F

在BC上，且BF＝13BC，试用a，b表示AM→与HF→.16．已知AP→＝λAB→(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．(1)试以OA→，OB→为基底表示OP→；(2)当λ＝12时，试确定

点P的位置．3．2平面向量基本定理一测基础过关填一填(1)不共线任一λ1e1＋λ2e2(2)不共线判一判1．×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.×练一练1．B2.B3.b－12a4.OA→＝4e1＋3e2二测考点落实1．解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所

以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．答案：B2．解析：若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4

，＋∞)3．解析：如图，因为AE→＝AB→＋AC→＝2AD→，所以AD→＝12(a＋b)．答案：D4．解析：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以FC→＝AD→＝a，DC→＝AF→＝12AB→＝12b.EF

→＝ED→＋DA→＋AF→＝－12DC→－AD→＋12AB→＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.5．解析：∵AN→＝13NC→，AP→＝mAB→＋29AC→，∴AP→＝mAB→＋89AN→.设BP→＝λPN→(λ>0)，得BP→＝λ1＋λBN

→＝λ1＋λ(AN→－AB→)，则AP→＝AB→＋BP→＝11＋λAB→＋λ1＋λAN→，∴m＝11＋λ且89＝λ1＋λ，解得λ＝8，m＝19.答案：A6．解析：设BM→＝e1，CN→＝e2，则AM→＝A

C→＋CM→＝－3e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2.∵点A，P，M和点B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使得AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2，故BA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋

(3λ＋μ)e2.而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35，∴AP→＝45AM→，BP→＝35BN→，∴APPM＝41，BPPN＝32.7．解析：∵AM→＝34A

B→＋14AC→，∴AM→＝34(MB→－MA→)＋14(MC→－MA→)，∴34MB→＋14MC→＝0，∴MC→＝3BM→，∴S△ABMS△ABC＝|BM→||BC→|＝14.三测学业达标1．解析：由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0

.答案：B2．解析：由于AB→，DA→不共线，所以是一组基底．答案：D3．解析：OC→＝12AC→＝12(BC→＋AB→)＝12(BC→＋DC→)＝12(5e1＋3e2)．答案：A4．解析：∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2B

C→，即AD→＝2BC→，∴AD∥BC且AD≠BC.故四边形ABCD为梯形．答案：C5．解析：由BD→＝3DC→，得AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→.答案：B6．解析：由向量

加法的平行四边形法则知，向量OM→和与OA→，OB→同向的单位向量之和共线，与OA→同向的单位向量即a|a|，与OB→同向的单位向量即b|b|，所以OM→可表示为λa|a|＋b|b|.答案：B7．解析：因为在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD

为BC边上的高，所以在△ABD中，BD＝12AB＝1，又BC＝3，∴BD＝13BC，∴AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→，∵M为AD的中点，∴AM→＝12AD→＝12AB→＋16BC→，∵AM→＝λAB→

＋μBC→，∴λ＝12，μ＝16，∴λ＋μ＝23.答案：D8．解析：如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2，则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6

e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，所以－λ＋6μ＝－1λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2μ＝－12，所以λμ＝4.故选B.答案：B9．解析：因为平面向量e1，e2是一组基底，所以向量e1，e

2不共线，所以3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x－y＝3.答案：310．解析：CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，故λ＝23.答案：2311．解析：由条件，可知λ＋μ＝2λ－μ

＝3，解得λ＝52μ＝－12答案：52－1212．解析：设点E为边BC的中点，则12(OB→＋OC→)＝OE→，由题意，得AO→＝OE→，所以AO→＝12AE→＝14(AB→＋AC→)＝14A

B→＋λ4AD→，因此若B，O，D三点共线，则14＋λ4＝1，即λ＝3.答案：313．解析：DE→＝DA→＋AB→＋BE→＝－AD→＋AB→＋12BC→＝－AD→＋AB→＋12AD→＝a－12b.BF→＝BA→＋AD

→＋DF→＝－AB→＋AD→＋12AB→＝b－12a.14．解析：因为AB→＝a，AC→＝b，AD→＝12(a＋b)，所以AG→＝23AD→＝13(a＋b)，由于P、G、Q三点共线，则PG→∥GQ→⇔PG→＝λGQ→(λ为正实数)，因为PG→＝AG→－AP→＝13(a＋b)－ma＝

13－ma＋13b，GQ→＝AQ→－AG→＝nb－13(a＋b)＝－13a＋n－13b，所以13－ma＋13b＝λ－13a＋n－13b，可得13－m＋13λa＋13－λ

n＋13λb＝0，由于a，b不共线，则必有13－m＋13λ＝13－λn＋13λ＝0，消去λ，整理得3mn＝m＋n，所以1m＋1n＝3为定值．15．解析：由题意得AM→＝AD→＋DM→＝AD→＋12DC→＝AD→＋12AB→＝12

a＋b，HF→＝AF→－AH→＝AB→＋BF→－AH→＝AB→＋13BC→－12AD→＝AB→＋13AD→－12AD→＝a－16b.16．解析：(1)因为AP→＝OP→－OA→，AB→＝OB→－OA→，AP→＝λAB→，所以

OP→－OA→＝λ(OB→－OA→)，所以OP→＝λOB→＋(1－λ)OA→.(2)当λ＝12时，由(1)可知OP→＝12OB→＋12OA→＝12(OA→＋OB→)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号w

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