【文档说明】江苏省南通中学2020届高三上学期第二次调研测试数学试题【精准解析】.doc，共(25)页，2.024 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省南通中学2019—2020学年度高三第二次调研测试高三数学试卷一、填空题：本大题共14小题．1.已知集合{21}A＝-,-，{1,2,3}B＝－，则AB=__________．【答案】{2−，1−，2，3}【解析】【

分析】根据并集计算即可.【详解】2,1A−−＝，{1,2,3}B＝－,2,1,2,3AB=−−,故答案为：{2−，1−，2，3}【点睛】本题主要考查了集合并集的运算，属于容易题.2.若复数z满足(1)2izi＋＝，则复数z的共轭复数为__________．【答案】1i－【解析

】【分析】根据复数的除法运算求z，再求共轭复数即可.【详解】(1)2izi+＝,22(1)11(1)(1)iiiziiii−===+++−,1zi=−,故答案为：1i−【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的共轭复数，

属于容易题.3.如果数据1x，2x，3x，，nx的方差是a，若数据132x－，232x－，332x－，，32nx－的方差为36，则实数a的值为__________．【答案】4【解析】【分析】根据公式2()()DaXbaDX+=计算即可.【详解】数据1x，2x，3x，，nx的方差是a,数据132x

－，232x－，332x－，，32nx－的方差为9a，即936a=，所以4a=，故答案为：4【点睛】本题主要考查了方差的概念，公式2()()DaXbaDX+=，属于容易题.4.在1,2,3,4这四个数中，任取两个不同

的数，其和大于积的概率是_______.【答案】12【解析】任取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种取法，其中和大于积的有(1,2),(1,3),(1,4),三种，所以概率是3162=点

睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通

过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5.如图所示的算法中，输出的结果是__________．【答案】3【解析】【分析】由程序语句可知:该程序的功能是

利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】该算法运行如下：12S=，1x=，11;S=3x=，8;S=5x=，3S=，7x=，终止，输出3S=，故答案为3

．【点睛】本题重点考查程序框图，循环结构，考查推理能力和计算能力，属于基础题．6.若函数()cos(2)fxx=+（0）的图象关于直线12x=对称，则＝____【答案】56【解析】【分析

】由题意利用余弦函数的图象的对称性，求得的值．【详解】解：函数()cos(2)(0)fxx=+的图象关于直线12x=对称，212k+=，kZ，6k=−，kZ，0Q56\=，函数5()cos26fxx=+，故答案为：56．

【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7.已知na为等差数列，其公差为2−，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前n项和，则10S的值为__________．【答案】110【解析】【分析】根据题意，求出首项120a=，再代入求和即可得

．【详解】31124aada=+=−，711612aada=+=−，911816aada=+=−，7a是3a与9a的等比中项，()()2111(12)416aaa−=−−，解得120a=，()1011020

10921102S=+−=．故答案为：110．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．8.如果双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线与抛物线21yx=+相切，则该双曲线的离心率为_______

__【答案】5【解析】试题分析：双曲线22221xyab−=的一条渐近线为=byxa，与抛物线方程21yx=+联立，22={-1=01byxbxxaayx+=+得：，所以2=-4=02bbaa=

，即，所以5=．考点：双曲线的离心率；抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法：①直接利用公式；②利用变形公式：（椭圆）和（双曲线）③根据条件列出关于a、b、c的关系式，两边同除以a,利用方程的

思想，解出．9.如图，在正三棱柱111ABCABC−中，M为11AC的中点，已知四棱锥11BACMA−的体积为3，则三棱柱111ABCABC−的体积为__________．【答案】6【解析】【分析】由四棱锥11BACMA−的体积为3，可得111113BACMABAAMB

ACMVVV−−−=+=，而1112BACMBAAMVV−−=，可得111BAAMV−=，11111111ABCABCBACMACBMCBABCVVVV−−−−=++，由1111122BABCBAAMCBMCVVV−−−==可得结论．【详解】由四棱锥11BACMA−的体积为3，可得

111113BACMABAAMBACMVVV−−−=+=，而M为11AC的中点，1112BACMBAAMVV−−=，可得111BAAMV−=，11111111ABCABCBACMACBMCBABCVVVV−−−−=++，由11111222BABCBAAMCBMCVVV−−−===，1111

11113126ABCABCBACMACBMCBABCVVVV−−−−=++=++=．故答案为：6．【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，考查空间想象能力、化归与转化思想，属于中档题.10.若函数()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()24xfx=−，则不

等式(1)0xfx+的解集为______．【答案】(3,1)(0,1)−−【解析】【分析】由题意，当0x时，()24xfx=−单调递增，当0x时，()24xfx−=−+单调递增，则()10xfx+等价于()010xfx+或()010xfx+，求解即可．【详解】由题意

，当0x时，()24xfx=−单调递增，当0x时，()24xfx−=−+单调递增，则()10xfx+等价于()010xfx+或()0,10xfx+即10240xx+−或11240xx−−−−+或110,240xx+−−解得01x或31x

−−．故不等式()10xfx+的解集为()()3,10,1−−．故答案为：()()3,10,1−−．【点睛】本题考查不等式求解，函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，考查运算化简的能力，属于中档题．

11.若0a，0b，且11ab−=，则14ba−的最小值为_________．【答案】9【解析】【分析】根据11114454bbaabaabab−=−−=−−，利用基本不等式即可求解．【详

解】()1111144545249bbaababaababab−=−−=−−+−−=，当且仅当14abab=，即13,34ab==−时，取等号，故14ba−的最小值为9，故答案为

：9．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查推理能力和计算能力，属于基础题．12.已知点A（0，2），斜率为k的直线l与圆224xy+=交于B，C两点．设ABC与OBC的面积分别为1S，2S，若122SS＝

，60BAC＝，则实数k的值为____．【答案】3【解析】【分析】求出圆心、点A到直线的距离分别为d，'d，利用60BAC=，且122SS=，建立方程，即可求解．【详解】设斜率为k的直线l方程为

ykxm=+，即0kxym−+=，圆心O、点A到直线的距离分别为d，'d，则21mdk=+，22'1mdk−=+，根据60BAC=，可得BC对的圆心角120BOC=，且23BC=．11sin22sin120322OBCSOBOCBOC===

，123S=．221232321mk−=+，2123321mk=+，3k=，2m=−，故答案为：3．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.在ABC

中，已知2ABACBCBA=，且13BC=，则ABC面积的最大值为________．【答案】112【解析】【分析】由向量的数量积化简为2bcosAacosB=，由正弦定理和三角形面积公式得到ABCS1sin212B=，利用正弦函数性质即可求解．【详解】设ABC三角对

边分别为a，b，c，2ABACBCBA=，20bccosAaccosB−=，即2bcosAacosB=由正弦定理可得2sinBcosAsinAcosB=，所以()sin3sinCABsinAcosBcosAsinBsinA

cosB=+=+=，由13a=可得13sinsinsinbcABC==，所以11sinsin33,sinsinBCbcAA==，所以211sinsin1sinsinsinsin229sin18sinABCBCCSbcAABAA===111sincossin261212BBB==„

当4B=时，ABC面积取得最大值为112．故答案为：112．【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的运用，属于中档题．14.已知函数()2(1)2fxxax=−+−有两个零点1x，2x，函数()ln2gxxxa=−−有两个零点3x，4x，且1324xx

xx，则实数a的取值范围是__________．【答案】(,2)−−【解析】【分析】函数()fx有两个零点即方程21axx=−−有两个根1x，2x，同理方程2alnxx=−有两个根3x，4x，要使1324xxxx，作出函数图象，结合图象可得

a的范围.【详解】函数()fx有两个零点即方程21axx=−−有两个根1x，2x，同理方程ln2axx=−有两个根3x，4x，即直线ya=与曲线12:1Cyxx=−−，2:ln2Cyxx=−的交点横坐标分别为1x，2x和3x，4x，要使1324xxxx，只需直

线ya=在曲线1C与2C的交点(1,2)A−的下方即可，故有(,2)a−−．故答案为：(,2)−−【点睛】本题考查函数的零点和函数图像的交点问题，属于中档题.二、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内

作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且3,26,2abBA===.（I）求cosA的值；（II）求c的值.【答案】（1）63；（2）5【解析】试题分析：（1）依题意

，利用正弦定理326sin2sincosAAA=及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=33，sinB=13，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=539，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．试题解析：(1）由正弦定理可得，即：32

6sinsin2AA=，∴326sin2sincosAAA=，∴6cos3A=.（2由（1）6cos3A=，且0180A，∴2263sin1cos133AA=−=−=，∴3622sinsi

n22sincos2333BAAA====，2261coscos22cos12133BAA==−=−=∴()()sinsinsinCABAB=−+=+=sincoscossinABAB+=316225333339+=.由正弦定理可得：sinsincaCA=

，∴533sin95sin33aCcA===．16.如图，四棱锥VABCD－中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．（1）求证：//VA平面BDE；（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】(

1)连结OE,运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证;(2)由线面垂直的性质可得VO⊥BD,再由菱形的性质可得BD⊥AC,可得BD⊥平面VAC,再由面面垂直的判定定理，即可得证.【详解】证明（1）连结OE．因为底面ABCD是菱形，

所以O为AC的中点，又因为E是棱VC的中点，所以//VAOE．又因为OE平面BDE，VA平面BDE，所以//VA平面BDE．（2）因为VO⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，所以VOBD⊥，因为底面ABCD是菱形，所以BDAC⊥，又V

OACO=，VO，AC平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因为BD平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质,考查空间想象能力和推理能力，属于中档题.17.在平面直角坐标系x

Oy中，已知1F，2F分别为椭圆22221xyab+=(0)ab的左、右焦点，且椭圆经过点(2,0)A和点(1,3)e，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点2F的直线l交椭圆于x轴上方一点B，过点1

F作直线l的垂线交AB于点M，若2MF与x轴垂直，求直线l的斜率．【答案】（1）22143xy+=（2）2103−【解析】【分析】()1根据已知条件建立a，b，c的方程组，解方程组即可；()2设()00,Bxy，根据已知条件建立

()00,xy的方程组，求出()00,xy，然后根据斜率公式求解即可.【详解】（1）因为椭圆经过点A（2，0）和点(1,3)e，所以22222219144acbbca=+=+=解得2a=，3b=，1c=，所以椭圆的方程为2

2143xy+=．（2）由（1）可得1(1,0)F−，2F（1，0），设B（0x，0y）（022x−，00y），则22003412xy+=①，直线AB的方程为：00(2)2yyxx=−−，由2MF与x轴垂直，知点M的横坐标为1，所以M点坐标为001,2y

x−−．所以0102,2yFMx−=−,200(1,)FBxy=−,若12MFBF⊥，则220000120002(1)(2)2(1)022yxxyFMFBxxx−−−=−−==−−，所以20002(1)(2)yxx=−−②，由①②可得20

0112440xx−+=，即00(112)(2)0xx−−=，所以0211x=或02x=（舍），061011y=．所以直线l的斜率为0021023ykx==−−．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系以及圆锥曲线的

综合应用，是一道难题．18.如图，半圆AOB是某个旅游景点的平面示意图，为了保护景点和方便游客观赏，管理部门规划从公路l上某点C起修建游览线路CDEF−−−，CD、DE、EF分别与半圆相切，且四边形CDEF是等腰梯形．已知半圆半径1OA=百米，每修建1百米游览道路需要费用为20万

元，设EF与圆的切点为P，POB=（单位：弧度）．（1）试将修建游览道路所需费用y表示为的函数；（2）试求修建游览道路所需最少费用为多少万元？（精确到0.1，参考数据：31.732）【答案】（1）40[tan2tan()

]42y=+−，(0,)2．（2）修建游览道路所需最少费用约为69.3万元．【解析】【分析】()1RtPOF中，1OP=，所以·PFOPtantan==，由题意可求得1112222242POEPOQPOF==−=−=−，·tanta

n4242PEOP=−=−，代入()2024yPFPE=+即可求出函数解析式；()2换元，设()tan0,12x=，则()22221140280111xxxxyfxxxx−−+==+=−+−，()0,1x，根据导数求函数的最值．【详解

】（1）RtPOF△中，1OP=，所以tantanPFOP==，设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQl⊥，且DQQEEP==，QOEPOE=，RtPOE△中，11()222POEP

OQPOF==−1()2242=−=−，所以tan()tan()4242PEOP=−=−，所以20(24)40[tantan()]42yPFPE=+=+−，即40[tan2tan()]42y=+−，(0,)2．（2）设tan(0,1)2x=

，则222211()40280111xxxxyfxxxx−−+==+=−+−，)1(0x，，因为22280(41)()(1)xxfxx−+−=−，)1(0x，，令()0fx=，解得23x=−．列表如下：x(0,23)−23−(

23,1)−()fx−0+()fx↘极小值(23)f−↗从上表可知，当23x=−，即6=时，()fx取得极小值，这个极小值就是函数()fx的最小值，值为(23)40369.3f−=万元．答：（1）修建游览道路所需费用y表示为的函数为40[tan2

tan()]42y=+−，(0,)2．（2）修建游览道路所需最少费用约为69.3万元．【点睛】本题考查了求函数解析式和利用导数求函数最值，是一道难题．19.已知函数()afxaxx=−，函数()ln

gxcx=与直线yxe=相切，其中a，Rc，e是自然对数的底数．（1）求实数c的值；（2）设函数()()()hxfxgx=−在区间1()ee，内有两个极值点．①求a的取值范围；②设函数()hx的极大值和极小值的差为M，求实数M的取值范围．【答案】（1）

2（2）①2211eae+②28(0,)1e+【解析】【分析】()1设切点()00,Pxclnx，利用导数的几何意义即可得到2c=；()2①令()22222'0aaxxahxaxxx−+=+−==，则220axxa−+=，设()22mxaxxa=−+，根据在区间1()ee，内

有两个不等实根，列出不等式求解即可.②由121xx=，得2111222lnaMaxxx=−−，由21120axxa−+=，解得12121xax=+，且111.xe代入122221111112211122211122ln4ln112xxxxMxxxxxx+−=−−=−

++，换元设21xt=，211te，求出()t的单调性即可得到M的范围．【详解】（1）设直线yxe=与函数()lngxcx＝相切与点00(,ln)Pxcx，函数()lngxcx＝在点00(,)Pxy处的切

线方程为：000ln()cycxxxx−=−,02cxe=,把0x=，0y=代入上式得0xe=，2c=．所以，实数c的值为2．（2）①由（1）知()2lnahxaxxx=−−,设函数()()()hxfxgx=−在区间1(

)ee，内有两个极值点1x，2x12()xx，令22222()0aaxxahxaxxx−+=+−==，则220axxa−+=，设()22mxaxxa=−+因为121=xx，故只需020()0ame

，所以，2211eae+．②因为121=xx，所以12112212()()2ln(2ln)aaMfxfxaxxaxxxx=−=−−−−−11111112ln(2ln)aaaxxaxxxx=−−−−−21

11222lnaaxxx=−−．由21120axxa−+=，得12121xax=+，且111xe．122221111112211122211122ln4(ln)112xxxxMxxxxxx+−=−−=−++．设21xt=，211te，令

11()4(ln)12tttt−=−+，222212(1)()4()0(1)2(1)tttttt−−=−=++，()t在21(,1)e上单调递减，从而21(1)()()te，所以，实数M的取值范围是28(0,)1e+．【点睛】本题考查导数的综合应

用，考查推理能力和计算能力，属于难题．20.已知数列na的前n项的和为nS，记1nnSbn+=．（1）若na是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．①当13b，22b，3b成等差数列时，求ad的值

；②求证：存在唯一的正整数n，使得12nnnaba＋＋．（2）设数列na是公比为(2)qq的等比数列，若存在r，t（r，*tN，rt）使得22trbtbr+=+，求q的值．【答案】（1）①34ad=②见解析（2）5856q+=【解析】【分析

】()1先写出nb的表达式．①写出1b，2b，3b，列出等式求解．12nnnaba++②等价于()()1122nnnnad−+①„，ad是一个固定的数，当*nN时，区间()()11,22nnnn−+互不相交，且并集为)0,

+，所以n存在且唯一．()2先将等式化成基本量表示的形式，有()()111122trqqttrr++−−=++，设出函数()()112nqfnnn+−=+，当2n时，()()1fnfn+，又()()31ff

，从而找出r，t的值，再解出q．【详解】（1）①因为13b，22b，3b成等差数列，所以21343bbb=+，即334643(2)23adadad++=++，解得，34ad=．②由12nnnaba＋＋，得(1)(1)2(1)nndnaandandn++++

++,整理得222020anndannd−−+−，解得88111122aaddn−++++,由于881111122aadd++−++−=且81102ad−++．因此存在唯一的正整数n，使得12nnnaba＋＋．

（2）因为1111(1)2(1)(1)2(1)ttrraqbttqaqbrrq++−+−==−+−，所以1111(2)(2)trqqttrr++−−=++．设11()(2)nqfnnn+−=+，2n，*nN．则211211[(1

)2(2)3]23(1)()(1)(3)(2)(1)(2)(3)nnnqqqqnqnnfnfnnnnnnnnn+++−−−+−−+++−=−=++++++,因为2q，2n，所以22(1)2(2)3310qnq

nn−+−−−，所以()(1)0fnfn+−，即()(1)fnfn+，即()fn单调递增．所以当2r时，2tr，则()()ftfr，即1111(2)(2)trqqttrr++−−++，这与1111(2)(2)trqqttrr

++−−=++互相矛盾．所以1r=，即1211(2)3tqqtt+−−=+．若3t，则42221111()(3)15353qqqqftf−−+−==,即1211(2)3tqqtt+−−+，与1211(

2)3tqqtt+−−=+相矛盾．于是2t=，所以321183qq−−=，即23550qq−−=．又2q，所以5856q+=．【点睛】本题考查了等差数列和等差和等比数列的综合应用，是一道难题．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括三小题，请选定其中两

题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-2：矩阵与变换]21.己知矩阵A的逆矩阵122222222A−

=−.求曲线1xy=在矩阵A所对应的线性变换作用下所得到的曲线方程.【答案】222yx−=【解析】【分析】法一是(),xy在矩阵的作用下(),xy的关系，法二由1A−得到A，在找到(),xy与(),xy间的关系.【详解】法一：设1xy=上任意一点(),

xy在矩阵A所对应的线性变换作用下的像为点(),xy.则122222222xxxAyyy−==−.由此得()()2222xxyyyx=+=−代入方程1xy=.得222yx

−=.所以1xy=在矩阵A所对应的线性变换作用下的曲线方程为222yx−=法二：22222222A−=设1xy=上任意一点(),xy在矩阵A所对应的线性变换作用下的像为点(),xy则22222

222xxyy−=.其坐标变换公式为22222222xxyyxy=−=+，由此得()()2222xxyyyx=+=−代入方程1xy=，得222yx

−=.所以1xy=在在矩阵A所对应的线性变换作用下的曲线方程为222yx−=.【点睛】本题主要考查了矩阵变换下的曲线方程，属于中档题.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin=，直线l的极坐标方程为2cos106

++=，设直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长.【答案】15【解析】【分析】化为直角坐标方程，利用点到直线的距离，圆中弦、半径、弦心距三者关系，求得弦长.【详解】曲线C的直角坐标方程为22(2)4xy+−=.直线l的直角坐标方程为310xy−+=，所以圆

心到直线的距离为|03121|122d−+==所以221224154ABrd=−=−=.【点睛】本题考查极坐标系的圆和直线化为直角坐标系的方程，点到直线的距离，圆的性质，属于中档题．[选修4-5：不等

式选讲]23.[选修45：不等式选讲]已知abcd,,,都是正实数，且1abcd+++=，求证:2222111115abcdabcd+++++++…．【答案】见解析【解析】试题分析：把不等式的左边写成()()()()222211111111abcdabcdabcd++++++++++

++++形式，利用柯西不等式即证．试题解析：证明：∵()()()()222211111111abcdabcdabcd++++++++++++++21?1?1?1?1111abcdabcdabcd+++++++++++()21abcd=+

++=，又()()()()11115abcd+++++++=，∴2222111115abcdabcd+++++++考点：柯西不等式【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.把编号为1，2，3，4，5的五

个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球.（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；（2）设恰有X个小球的编号与盒子编号相同，求随机变量X的分布列与期望.【答案】（1）16（2）见解析，数学期望为1【解析】【分

析】()1满足条件的放法共有55120A=种，恰有两个球的编号与盒子的编号相同的放法有25220C=种，由古典概率公式可得所求概率．()2写出随机变量X的可能值以及取各值的概率，即可得到分布列，再利用公式求期望即可.【详解】（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A.将5个小球随机放入五个

盒子中，每个盒子放一个共有53A即120种不同的放法.事件A共有25220C=种放法，所以201()1206PA==.答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为16.（2）随机变量X的可能值为0，1，2，3，5.()1143234411(0)12012030CCPX+====，51(3

33)453(1)1201208CPX++====，522201(2)1201206CPX====，35101(3)12012012CPX====，1(5)120PX==.X01235P113038161121120所以113111()0

12351308612120Ex=++++=.【点睛】本题考查古典概型的应用、离散型随机变量的分布列与期望以及排列组合的应用，属中档题．25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点P3(,)4m到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线

的焦点为F.(1)求抛物线的方程；(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论.【答案】(1)y2＝6x；(2)菱形，证明见解析【解析】【分析】(1)由点P3(,)4m到准线的距离与到原点O的距离相等，

可得点P在线段OF的中垂线上，进而可求p的值，即得抛物线的方程；(2)设点A在x轴的上方，设其坐标，由导函数的几何意义写出点A处的切线方程，可得到点B的坐标，进而可写出FA与BE的坐标，进而得两向量相等，再结合抛

物线定义可得AF＝AE，可得四边形AEBF的形状。【详解】(1)由题意得点P3(,)4m到准线的距离等于PO，由抛物线的定义得点P到准线的距离为PF，所以PO＝PF，即点3(,)4mP在线段OF的中垂线上，所以344p=，p＝3

，所以抛物线的方程为y2＝6x.(2)四边形AEBF为菱形，理由如下：由抛物线的对称性，设点2001(,)6Ayy在x轴的上方，所以点A处切线的斜率为03y，所以点A处切线的方程为y－y0＝20031()6xyy−，令上式中y＝

0，得x＝－2016y，所以B点坐标为201(,0)6y−，又033(,),(,0)22EyF−，所以2200001313(,),(,),6262FAyyBEyy=−=−所以FABE=，所以FA∥BE，又因为AE∥FB，故四边形AEBF为平行四边形，再由抛物

线的定义，得AF＝AE，所以四边形AEBF为菱形.【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，意在考查学生的运算能力、逻辑推理能力、综合应用能力，难度一般。解决有关抛物线的综合问题时，要仔细观察几何图形，注意几何性质的运用和抛物线定义的运用。