【文档说明】安徽省亳州市涡阳县联考2023-2024学年高一下学期5月阶段性检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，2.664 MB，由小赞的店铺上传

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2023－2024学年（下）安徽高一5月份阶段性检测数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把

答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()4i1iz=+，则z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简z，即可求出z，再根据复数的几何意

义判断即可.【详解】因为()24i1i4i4i44iz=+=+=−+，所以44iz=−−，则z在复平面内对应的点为()4,4−−，位于第三象限.故选：C2.已知和是两个不重合平面，则下列条件中可判定//的是（）A.内有无数条直线与

平行B.和垂直于同一条直线C.和平行于同一条直线D.和都垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A，内有无数条直线与平行，则，可能相交或//，当与相交时，这无数条直线都与两平面的交线平行，故内有无数条直线与平行

得不出与平的行，所以A错误；对于B，，垂直于同一条直线时，可得与平行，所以B正确；对于C，，平行于同一条直线，与相交或//，所以C错误；对于D，，垂直于同一平面，与相交或//，所以D错误．故选：B．3.如图，某学校共有教师200人，按

老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为（）A.18B.14C.12D.6【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的方法求解即可.【详解】由题意，青年教师所占比例0000001304030−

−=，故用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，被抽到的青年教师的人数为00603018=.故选：A4.已知非零向量a，b满足ab=，2abab−=+，则a，b的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π

6【答案】B【解析】【分析】将2abab−=+两边平方，结合数量积的运算律求出ab，再由夹角公式计算可得.【详解】因为ab=，2abab−=+，所以()()222abab−=+，即2222442aabbaab

b−+=++，即212abb=，所以22112cos,2babababb===，为又,0,πab，所以π,3ab=.故选：B5.已知点P是ABC的重心，且APACBC=+，则+=（）A.23B.13C.13−D.23−【答案】B【解析】【分析】利用三角形重心的性质，结合平面

向量的线性运算，即可求得答案.【详解】设BC的中点为D，连接AD，点P是ABC的重心，则P在AD上，()()2211212332333APADABACACCBACBC==+=+=−，所以23=，13=−，所

以13+=.故选：B.6.已知某圆台的上、下底面半径分别为1r，2r，且212rr=，2132rr+=.若存在一球与圆台上、下底面及所有母线均相切，则该圆台的体积为（）A.28π3B.40π3C.56π3D.112π3【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求解1r，2r，再根据

圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征，求解圆台的高，然后代入圆台体积公式求解即可.【详解】如图，设圆台上下底面的圆心为12,OO，已知圆台上、下底面圆心分别为1r，2r，且212rr=，2132rr+=，则12222,rr==.存在一球与圆台上、下底面及所

有母线均相切,圆台内切球的球心O一定在12OO的中点处，设内切球半径为R，球O与母线切于M点，所以OMAB⊥，所以1212,2OMOOOOROOR====，所以1OOA△与AOM全等，所以12OAAM==，同理22BM=，所以32AB=，过A作2AGOB⊥

，垂足为G，则21122,2BGrrAGOOR=−===，又222ABAGBG=+，所以222(32)(2)(2)R=+，所以24,2RR==，所以该圆台的体积为156π(2π+8π+2π8π)433=.

故选：C.7.如图（1），在梯形PBCD中，//PDBC，24PDCD==，点A在边PD上，且四边形ABCD是正方形，现将正方形ABCD沿直线AB折起，使得平面PAB⊥平面ABCD，得到如图（2）所示的三棱锥PABCD−.若M

是棱PB的中点，则cosDMC=（）A.66B.55C.13D.23【答案】D【解析】【分析】连接AM，由面面垂直的性质得到AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，求出DM、CM，再由余弦定理计算可得.【详解

】连接AM，因为ADAB⊥，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，AD平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，又//ADBC，所以BC⊥平面PAB，AM平面PAB，所以ADAM⊥，BM平面PAB，所以BCBM⊥，又2APAB==，所以

221122222AMPB==+=，所以()22226DM=+=，()22226CM=+=，所以在CDMV中，由余弦定理222cos2DMCMCDDMCDMCM+−=()()22266223266

+−==.故选：D8.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求其面积的公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”翻译成公式，即2222221()42cabScaa

bc+−=−，其中a，b，c分别为ABC中角A，B，C的对边，S为ABC的面积．现有面积为315的ABC满足sin:sin:sin2:3:4ABC=，则其内切圆的半径是（）A.153B.154C.105D.53【答案】A【解析】【分析】由已知根据正弦

定理可得::2:3:4abc=，设2ak=，3bk=，4ck=，0k，代入题目中所给公式可求得a，b，c，即可求解.【详解】因为sin:sin:sin2:3:4ABC=，由正弦定理可知::2:3:4abc=，设2ak=，则3bk=，4ck=，

0k，所以2222221164916?431542kkkkk+−−=，解得2k=，所以4a=，6b=，8c=，设ABC内切圆的半径为r，由()13152abcr++=，得153r=.故

选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1x，2x，，()12nnxxxx，由()111,2,,2iiyxin=−=生

成一组新数据1y，2y，，ny，则（）A.新数据平均数一定比原数据的平均数小B.新数据的中位数一定比原数据的中位数小C.新数据的标准差一定比原数据的标准差小D.新数据的极差一定比原数据的极差小【答案】CD【解析】【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，

得到新数据的标准差和极差都是原数据的12倍，且这两个量都大于0，从而CD正确.【详解】对于A，设12,,,nxxx的平均数为x，即12nxxxxn+++=，则新数据1y，2y，…，ny的平均数为12111111122212nxxxx

n+−+−+−=−，故112yx=−，的当2x−时，112xx−，故A错误，对于B，设12,,,nxxx的中位数为m，由于112yx=−单调递增，则新数据1y，2y，…，ny的中位数为112m−，当2m−时，112mm−，故B错误；对于C，设12,,,nxxx的标准

差为s，则()()()222122nxxxxxxsn−+−++−=，故新数据1y，2y，…，ny的平均数112yx=−，故新数据的方差为22212211111111112241122221nsnxxxxxx

+++−−+−−−+=+−，故新数据的标准差为12s，由于0s，故12ss，故新数据的标准差一定比原数据的标准差小，C正确；对于D，设12,,,nxxx的极差为t，由于112yx=−单调递增，故新数据

极差为12t，由于0t，故新数据的极差比原数据的小，D正确.故选：CD10.下列关于复数1z，2z的说法错误的是（）A.若21Rz，则1RzB.1212zzzz=C.若1212zzzz+=−，则120zz=D.若2121zzz=，则12zz=【答案】A

CD【解析】【分析】对于A，取1iz=即可判断；对于B，设1izab=+，2izcd=+，a，b，c，Rd，利用复数的乘法和共轭复数的概念即可判断；对于CD，取11iz=+，21iz=−，利用复数的乘法和复数的模的运算即可判断.【详解】对于A，若1iz=，则221i1Rz==−，但

1Rz，故A错误；对于B，设1izab=+，2izcd=+，a，b，c，Rd，()()()()12iiizzabcdacbdadbc=++=−++，所以()()21izbzacdadbc=−−

+，()()()()12iiizzcdacbdabadbc−=−−+=−，所以1212zzzz=，故B正确；对于C，取11iz=+，21iz=−，122zz+=，122izz−=，所以1212zzzz+=−，()()211i1i20zz=+−=，故C错误；对于D，取11iz=+，

21iz=−，()()2121i1i1i2zz=+−=−=，212z=，2121zzz=，但12zz，故D错误.故选：ACD.11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，

体现了数学的对称美.将一个棱长为2的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共要截去八个三棱锥，形成一个由正三角形和正方形围成的“阿基米德多面体”，如图，则（）A.该多面体共有12个顶点，14个面B.该多面体的表面积为1643+C.该多面体

的外接球体积为82π3D.所在直线与直线AB所成的角是60的棱共有8条【答案】AC【解析】【分析】对A，根据立体图象直接数点面数即可；对B，分别计算三角形与正方形的面积再求和即可；对C，将该几何体补全到正

方体中分析外接球半径求解即可；对D，分析与AB相交的6条棱中与直线AB所成的角是60的棱，再根据平行线的性质判断即可.【详解】对A，由该立体图象可得，该多面体共有12个顶点，14个面，故A正确；对B，由该立体图象可得，该多面体共有8个正三角形面，6个正方形面

，又该几何体由棱长为2的正方体所切，故正三角形与正方形边长2AB=，则该多面体的表面积为223826212434+=+，故B错误；对C，易得该几何体的外接球球心即正方体的中心O，又正方体的棱长为2，故外接球的半径2OA=，体积为3482π2π33V=

=，故C正确；对D，如图，易得ABC为正三角形，故,ACBC与AB夹角均为60，又//ABEF，//BDCF，且EF与CF的夹角为60，即AB与BD的夹角为60，同理AB与AG的夹角为60.故与AB相交的6条棱中与直线AB所成的角是60的棱有4

条，又这四条棱每一条都有3条平行的棱，故与直线AB所成的角是60的棱共有16条，故D错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设()()()i1ii,Rabab−+=+，则iab+=__________．【答案

】13【解析】【分析】由已知根据复数的相等可得a，b，利用复数模的计算求解即可.【详解】因为()()i1iiab−+=+，所以()()11iiaab++−=+，即111aba+=−=，解得23ab==，所以i23i13a

b+=+=.故答案为：13.13.某班共有36名男生和24名女生，统计他们的体重数据（单位：kg），已知男生体重的平均数为65，方差为34，全体学生体重的平均数为59，方差为86，则该班女生体重的方差为______.【答案】29【解析】【分析】利用均值公式求得女生体重均值，应用方差公式及男生

的体重方差和求全体学生的体重方差求解女生的体重方差.【详解】设男生平均体重为1x，方差为21s，女生平均体重为2x，方差为22s，全体学生体重为x，方差为2s，则男生在班级中所占比重为35，女生在班级中所占比重为25，故165x=，213

4s=，59x=，286s=，所以232596555xx==+，解得250x=，()()222223234596559508655ss=+−++−=，解得2229s=.故答案为:2914.我国古代数

学家赵爽在为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”（如图（1）），亦称“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，可构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，已知ABC与DEF的面积之比为71

：，设ABACAD+=，则+=__________．【答案】37【解析】【分析】依据题意设出边长，建立平面直角坐标系，同时在ACD中利用余弦定理结合等面积法和勾股定理求出点D的坐标，后依据平面向量的坐标运算建立方程，求

解参数，最后求和即可.【详解】设ABC边长a，DEF边长为b，由题意得ABC与DEF的面积之比为71：，可得22131372222ab=，化简得227ab=，可得7=ab，不妨设7,1ab==，如图，作CNCA⊥

，以C为原点建立平面直角坐标系，在ACD中，设ADm=，由余弦定理得221(1)722(1)mmmm++−−=+，解得1m=，故1AD=，2CD=，且设(,)Dxy，作DGAC⊥，故13312222ACDS==，故得13722ACDSDG=

=，解得217DG=，由勾股定理得577CG=，故5721(,)77D，易知(7,0)A，721(,)22B，(0,0)C，为可得721(,)22AB=−，(7,0)AC=−，2721(,)77AD=−，且

721(,)22AB=−，(7,0)AC=−，可得721(7,)22ABACAD+=−−=，得到727727212127−−=−=，解得1727==，显然37+=.故答案为：37【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平

面直角坐标系，然后求出关键点的坐标，最后利用平面向量的坐标运算得到所要求的参数值，再求和即可．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(1,3)a=−

，(2,)bt=．（1）若,ab的夹角为锐角，求实数t的取值范围；（2）若(2)aba+⊥，求|3|ab+．【答案】（1）23tt且6t−（2）65【解析】【分析】（1）由数量积的坐标表示和向量共线的充要条件计算即可求出；（2）由坐标表示向量垂直的冲要条件结合模长的计算即可；【小

问1详解】因为,ab的夹角为锐角，所以0ab且a与b不共线，则230,60,tt−+解得23t且6t−，故实数t的取值范围是23tt且6t−.【小问2详解】由题可得2(1,3)2(2,)(5,23)abtt+=−+=−．由(2)aba+⊥，得(2)0aba+=，即1

53(23)0t−−=，解得73t=，则3(1,3)(6,7)(7,4)ab+=−+=，所以22|3|7465ab+=+=．16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且()cos2cosaBcbA=−．（1）求A；（2）若23a=，求ABC

周长的最大值．【答案】（1）π3A=（2）63【解析】【分析】（1）由已知根据正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式即可求解；（2）由余弦定理结合基本不等式即可求解.【小问1详解】因为()cos2cosaBcbA=−，所以由

正弦定理得sincossincos2sincos0BAABCA+−=，所以()sin2sincos0ABCA+−=，因为πABC++=，所以sin2sincos0CCA−=，因为()0,πC，所以sin0C，则1cos2A=，又()0,πA，所以π3A=；【

小问2详解】由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即222222()12()3()324++=+−=+−+−=bcbcbcbcbcbcbc，可得2()48bc+，当且仅当bc=时等号成立，即43bc+

，所以63abc++，即ABC周长的最大值为63.17.某家面包店以往每天制作120个三明治，为了解销售情况，店长统计了去年三明治的日销售量（单位：个），并绘制频率分布直方图如图所示.（1）求图中a的值，并求该面包店去年（按360天算）三明治日销

售量不少于100个的频率；（2）估计该面包店去年三明治日销售量平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）（3）由于三明治的保质期只有一天，为了避免浪费，店长决定今年减少每天三明治的制作量，但要求有75%的天数可以满足顾客的需求，估计每天应该制作

多少个三明治.（结果用四舍五入法保留到整数）【答案】（1）0.015a=，63（2）89.75（3）98【解析】【分析】（1）根据小长方形的面积和为1求出a，计算日销售量不少于100个的频率，进而得解；（2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解；（3）根据百分位数的计算方法求解.【小

问1详解】由(20.002520.030.035)101a+++=，解得0.015a=.日销售量不少于100个的频率为(0.0150.0025)100.175+=，则估计该面包店去年三明治日销售量不少于100个的天数为3600.17563=.【小问2详解】由题图知，平均数为

的(650.0025750.015850.035950.031050.0151150.0025)10x=+++++0.16251.1252.97520.851.5750.2875()1=+++++89.75=，故估计该面包店去年三明治日销售量的平

均数为89.75.【小问3详解】由题意，即求三明治日销售量的75%分位数，设为m.[60,90)对应的频率0.5250.75，[60,100)对应的频率0.8250.75，故[90,100)m.由0.750.5250.225−=，得

0.2259097.5980.03+=，故估计每天应该制作98个三明治.18.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点E，F分别在棱AB和1CC上.（1）证明：111BDAF⊥；（2）若三棱锥111FADB−的体

积是89，1AF⊥平面11BDE，试确定点E的位置，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析（2）当点E是棱AB靠近点A的三等分点，即12AEEB=时1AF⊥平面11BDE，证明见解析【解析】【分析】（1）依题意

可得111AABD⊥、1111BDAC⊥，从而得到11BD⊥平面11AACC，即可得证；（2）当点E是棱AB靠近点A的三等分点，即12AEEB=时1AF⊥平面11BDE，首先求出CF，过点F在平面11BCCB内作//FGBC交1BB于点G，连接1AG，交1BE于点H，即可得

到112BGGB=，从而证明1BE⊥平面1AFG，则11BEAF⊥，结合（1）即可得证.【小问1详解】连接11AC、AC，因为正方体1111ABCDABCD−，所以1AA⊥平面1111DCBA，又11BD平面1111DCBA，所以111AABD⊥，又因为1111BDAC⊥，1111ACAAA=

，111,ACAA平面11AACC，所以11BD⊥平面11AACC，因为1AF平面11AACC，所以111BDAF⊥；【小问2详解】当点E是棱AB靠近点A的三等分点，即12AEEB=时1AF⊥平面11BDE，证明如下：因为三棱锥111FADB−的体积

是89，所以11111839ADBSFC=，即111822329FC=，解得143FC=，所以23CF=，即112CFFC=，过点F在平面11BCCB内作//FGBC交1BB于点G，连接1AG，交1BE

于点H，因为112CFFC=，所以112BGGB=，当12AEEB=时1EBBG=，所以111RtRtABGBBE≌，所以111BAGBBE=，又1111π2BAGAGB+=，所以111π2BBEAGB+=，所以1π2

BHG=，即11AGBE⊥，又CB⊥平面11ABBA，所以FG⊥平面11ABBA，又1BE平面11ABBA，所以1BEFG⊥，又1AGFGG=，1,AGFG平面1AFG，所以1BE⊥平面1AFG，又1AF平面1AFG，所以11BEAF⊥，由（

1）可知111BDAF⊥，1111BBDEB=，111,BBDE平面11BDE，所以1AF⊥平面11BDE.19.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面EDC⊥平面ABCD，90EDC=，//FBED，33ABEDFB===.（1）求二面角BACF

−−的余弦值；（2）求三棱锥FACE−的体积.【答案】（1）31111（2）6【解析】【分析】（1）连接BD交AC与O，根据面面垂直、线面垂直的判定与性质可得二面角BACF−−的平面角为FOB，再根据几何关系求解余弦值即可；（2）根据FACEABCDEFFABCEADCVVVV−−

−=−−求解即可.【小问1详解】连接BD交AC与O，连接OF，因为底面ABCD是正方形，故BDAC⊥.又平面EDC⊥平面ABCD，90EDC=，平面EDC平面ABCDDC=，ED平面EDC，故ED⊥平面ABC

D.又AC平面ABCD，故EDAC⊥，因为//FBED，故,,,FBED共面.又BDEDD=，,BDED平面FBDE，故AC⊥平面FBDE.又,OFOB平面FBDE，故,OFACOBAC⊥⊥，故二面角BACF−

−的平面角为FOB.因为ED⊥平面ABCD，//FBED，故FB⊥平面ABCD.又33ABEDFB===，故1FB=，322OB=，则223222122OF=+=.则323112cos11222OBFOBOF===，即二面角BACF−

−的余弦值为31111.【小问2详解】由（1）可得()12232ABCDEFABDEFCBDEFABDEFBFEDBDVVVVAO−−−+=+==()13322312322+==.13322FABCABBCVBF−==，19

322EADCADDCVED−==，故3912622FACEABCDEFFABCEADCVVVV−−−=−−=−−=.