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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题A级必备知识基础练1.若O为坐标原点,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,-2),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3,2,8),𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.√1652B.2√14C.√

53D.√5322.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为()A.13B.√33C.√53D.√633.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.√6𝑎6B.√3�

�6C.√3𝑎4D.√6𝑎34.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为.第4题图第5题图5.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=√3,在△ABC中,∠ACB=90

°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为.6.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.B级关键能力提升练7.在空间直角坐标系中,定义:

平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝑧0+𝐷|√𝐴2+𝐵2+𝐶2,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-

ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d等于()A.√55B.2√55C.2D.58.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面

PEF的距离()A.等于√55aB.和EF的长度有关C.等于√23aD.和点Q的位置有关9.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是A1B1的中点,P在正方体内部且满足𝐴𝑃⃗⃗⃗

⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则下列说法正确的是()A.点A到直线BE的距离是√55B.点A到直线BE的距离是2√55C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为√3

3D.点P到直线AB的距离为253610.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,G为线段DD1上的点,且DG=13DD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,则A1D1到平面EFGH的距离为.11.正方体ABCD-A1B1C

1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为.12.如图,已知四边形ABCD为矩形,四边形ABEF为直角梯形,FA⊥AB,AD=AF=FE=1,AB

=2,AD⊥BE.(1)求证:BE⊥DE;(2)求点F到平面CBE的距离.13.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π2,AB=BC=13AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥PC.(1)求点A到平面PCF的距离;

(2)求AD到平面PBC的距离.C级学科素养创新练14.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=2,侧棱AA1=2,D是CC1的中点,则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1,B

两点),使得点A1到平面AED的距离为2√63?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.第1课时距离问题1.D∵𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=12(4,3,6)=(2,32,3),𝑂�

�⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0),∴𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,-12,-3),∴|𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√4+14+9=√532.2.C建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0)

,C1(1,1,1),E0,12,1,所以𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=1,12,-1,𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1),所以点C1到直线EC的距离d=√|𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||2=√

1-49=√53.故选C.3.A建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),M(𝑎,0,𝑎2),B(a,a,0),A1(a,0,a),∴𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑎,0,𝑎2),𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,a,0)

,𝐷𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,0,a).设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{𝑎𝑥+𝑎2𝑧=0,𝑎𝑥+𝑎𝑦=0,令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴点A1到平面MBD

的距离d=|𝐷𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=|𝑎-2𝑎|√6=√66a.4.135如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3,

0,-1),𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,4,0),∴点P到直线BD的距离d=√|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗||2=√10-(-95)2=135.5.√32如图所示,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(

0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,√3),B1(0,1,√3),C1(0,0,√3),∴𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,-√3),𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,-√3),𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0).设平面A1BC的

法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-𝑥+𝑦-√3𝑧=0,-𝑥-√3𝑧=0.令z=1得x=-√3,y=0,∴n=(-√3,0,1).∴点B1到平面A1B

C的距离d=|𝑛·𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛|=√32.6.解(1)建立以D为坐标原点,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,

0,0),C(0,1,0),E(1,12,0),F(12,1,0),所以𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(-12,12,0),𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(1,12,-1),𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(1,12,0),设平面PEF的法向量n

=(x,y,z),则{𝑛·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-12𝑥+12𝑦=0,𝑥+12𝑦-𝑧=0.令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离d=|𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|

=|2+1|√4+4+9=3√1717,因此点D到平面PEF的距离为3√1717.(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,所以AC∥平面PEF.因为𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗

=(0,12,0),所以点A到平面PEF的距离d=|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=1√17=√1717.所以直线AC到平面PEF的距离为√1717.7.B以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,则

O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-12D,所以方程可化为-Dy-12D

z+D=0,即2y+z-2=0,所以d=|2×0+0-2|√22+12=2√55.8.A取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,∴点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,故B错误.又A1B1

∥平面PGCD,∴点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,故D错误.如图,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P𝑎2,0,a,∴𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,a,0),𝐷�

�1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,0,a),𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎2,0,a.设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由{𝑛·𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,得{𝑎2𝑥+𝑎𝑧=0,𝑎𝑦=0,令z=1,则

x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d,则d=|𝐷𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=|-2𝑎+𝑎|√5=√5𝑎5,故A正确,C错误.故选A.9

.BC如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,0),𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=-12,0,1.设

∠ABE=θ,则cosθ=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√55,sinθ=√1-cos2𝜃=2√55.故点A到直线BE的距离d1=|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|sinθ=1×2√55=2√55,故

A错误,B正确.𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,-1),𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,-1),𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐴1�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以{𝑥-𝑧=0,𝑦-𝑧=0,令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离d2=|𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||�

�|=1√3=√33.因为易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为√33,故C正确.因为𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗,所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=34,12,23,又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0),则|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=34,所以点P到AB的距离d3=√|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

||2=√181144-916=56,故D错误.10.4√3737以点D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则E(1,1,12),F0,1,12,G(0,0

,13),D1(0,0,1),A1(1,0,1),∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,0),𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-1,-16),𝐷1𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0),∴𝐷1𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗.又∵EF⊂平面EFGH,D

1A1⊄平面EFGH,∴D1A1∥平面EFGH.∴A1D1到平面EFGH的距离,即为D1到平面EFGH的距离.设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-𝑥=0,𝑦+16�

�=0,令z=6,则y=-1,∴n=(0,-1,6),又∵𝐷1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,-12),∴点D1到平面EFGH的距离d=|𝐷1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=4√37=4√3737,∴A1D1到平面EFGH的距离

为4√3737.11.83如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,0),𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=(2,2,0),𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,0,4),𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,0,4),∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩A

M=M.∴平面AMN∥平面EFBD.设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,则{𝑛·𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥+2𝑦=0,𝑛·𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝑥+4𝑧=0,解得{𝑥=2𝑧,𝑦=-2𝑧.取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).平面AMN到平面

EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=|𝑛·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛|=83.12.解∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥AB.又AD⊥BE,AB

∩BE=B,∴AD⊥平面ABEF,又AD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面ABEF.∵FA⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴FA⊥平面ABCD.∴FA⊥AD.(1)证明:如图,建立空间直角坐

标系,则B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),∴𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-1,1),𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,1),∴𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐸⃗⃗

⃗⃗⃗=0×(-1)+(-1)×1+1×1=0,∴𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,∴BE⊥DE.(2)由(1)得𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0),𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-1,1),𝐹𝐸⃗⃗

⃗⃗⃗=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面CBE的法向量,则由{𝑛·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0,得{𝑥=0,-𝑦+𝑧=0,令y=1,得z=1,∴n=(0,1,1)是平面CBE的一个法向量.设点F到平面CBE的距离为d,则d=|𝐹𝐸⃗⃗

⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=1√2=√22.∴点F到平面CBE的距离为√22.13.解(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图.则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(

0,0,a).设F(0,m,0),则𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(-a,m-a,0),𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-a,-a,a).∵PC⊥CF,∴𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0=

a2-a(m-a)=0,∴m=2a,即F(0,2a,0).设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑎𝑥+𝑎𝑦=0,𝑛·𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑎𝑥-𝑎𝑦+𝑎𝑧=0,解得{𝑥

=𝑦,𝑧=2𝑥.取x=1,得n=(1,1,2).设点A到平面PCF的距离为d,由𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(a,a,0),得d=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=𝑎×1+𝑎×1+0×2√6=√63a.(2

)由于𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-a,0,a),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,a,0),𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,a).设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),由{𝑛1·𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑎𝑥0+𝑎

𝑧0=0,𝑛1·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎𝑦0=0,得{𝑥0=𝑧0,𝑦0=0.取x0=1,得n1=(1,0,1).设点A到平面PBC的距离为h,∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC,则h为AD到平面PBC的距离,∴h=|𝐴𝑃⃗

⃗⃗⃗⃗·𝑛1||𝑛1|=𝑎√2=√22a.14.解假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0

,0,2),𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-2,2).设𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,λ∈(0,1),则E(2λ,2(1-λ),2λ),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,0,1),𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(2(λ-1),2(1-λ),2λ).设n=(x,y,z)为平面AE

D的一个法向量,则{𝑛·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0⇒{-2𝑥+𝑧=0,2(𝜆-1)𝑥+2(1-𝜆)𝑦+2𝜆𝑧=0.取x=1,则y=1-3𝜆1-𝜆,z=2,即n=(1,1-3𝜆1-

𝜆,2)为平面AED的一个法向量.由于点A1到平面AED的距离d=|𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=2√63,所以2√63=4√5+(1-3𝜆1-𝜆)2,又λ∈(0,1),所以λ=12.