【文档说明】河南省郑州市金水区实验中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题【精准解析】.doc，共(18)页，1.261 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年河南省实验中学高二(上)第一次月考数学试卷一､选择题1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3A=，4B=，32a=，则b=（）A.23B.2C.3D.33【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理sinsinabAB=，可直接求

出b的值.【详解】在ABC中，由正弦定理得sinsinabAB=，所以32sinsin423sinsin3aBbA===，故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题．2.在

数列na中，已知31a=，53a=，79a=则na一定（）A.是等差数列B.是等比数列C.不是等差数列D.不是等比数列【答案】C【解析】【分析】依据等差、等比数列的定义或性质进行判断．【详解】因为532aa−=，756a

a−=，7553aaaa−−，所以na一定不是等差数列，故选C．【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用．3.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，下列结论不正确的是（）A.2222cosabcbcA=+−B.si

nsinaBbA=C.coscosabCcB=+D.coscossinCaBbA+=【答案】D【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,是余弦定理，所以该选项正确；选项B,实际上是正弦定理sinsinabAB=的变形，所以该选项是正确的；选项C,由

于sinsin(),sinsincoscossin,coscosABCABCBCabCcB=+=+=+,所以该选项正确；选项D,coscos2(sincossincos)2sin()2sinaBbAR

ABBARABRC+=+=+=,不一定等于sinC,所以该选项是错误的.故选D【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.在等差数列na中，若2810aa+=.，则()24652aaa+−=（）A.100B.9

0C.95D.20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到28465210aaaaa+=+==.【详解】数列na为等差数列，28465210aaaaa+=+==，()24652aaa+−=2101090−

=.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.5.各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为nS,若1010S=,3070S=,则40S等于A.150B.-200C.150或-200D.-50或400【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的

前n项和公式化简S10＝10，S30＝70，分别求得关于q的两个关系式，可求得公比q的10次方的值，再利用前n项和公式计算S40即可．【详解】因为{an}是等比数列，所以有1010(1)101aqSq−==−，3030(1)701aqSq−==

−二式相除得，3010171qq−=−，整理得102017qq++=解得102q=或103q=−（舍）所以有40401010(1)1(1)1aqSqaqSq−−=−−=401011qq−−=4121512−=−所以40

1015SS==150．答案选A．【点睛】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题，有一定的运算技巧，需学生在练习中慢慢培养．6.若满足sincoscosABCabc==，则ABC为（）A.等边三角形B.有一个内角

为30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角为30°的等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理结合条件可得tantan1BC==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.【详解】由正弦定理可知sinsinsinABCabc==，又sincoscosABCabc==，所以

cossin,cossinBBCC==，有tantan1BC==.所以45BC==.所以180454590A=−−=.所以ABC为等腰直角三角形.故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.7.设ABC的内

角ABC、、所对边分别为1330abcabA===，，，，，．则该三角形（）A.无解B.有一解C.有两解D.不能确定【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理以及大边对大角定理求出角B，从而判断出该三角形解的个数．【详解】由正弦定理得sinsinabAB=，所以

，sin3sin2bABa==，ba，BA，60B=或120，因此，该三角形有两解，故选C.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在ABC中，给定a、b、A，

该三角形解的个数判断如下：（1）A为直角或钝角，ab，一解；ab，无解；（2）A为锐角，sinabA=或ab，一解；sinbAab，两解；sinabA，无解.8.数列na的通项公式为naann=+，若数列na

单调递增，则a的取值范围为A.(,0]−B.[0,)+C.(,2)−D.[1,)+【答案】C【解析】【分析】数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+1an+＞n+an，化简解出即可得出．【详解】数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+1an+＞n+an，化为：a＜

n2+n．∴a＜2．故选C．【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.在ABC中，角ABC，，的对边分别是abc，，，若sin3cos0bAaB−=

，且三边abc，，成等比数列，则2acb+的值为（）A.24B.22C.1D.2【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B=，再利余弦定理1cos2B=以及条件2bac=得出ac=可得出ABC

是等边三角形，于此可得出2acb+的值．【详解】sin3cos0bAaB−=Q，由正弦定理边角互化的思想得sinsin3sincos0ABAB−=，sin0A，sin3cos0BB−=，tan3B=，则3B=.a、b、c成等比数列，则2b

ac=，由余弦定理得222221cos222acbacacBacac+−+−===，化简得2220aacc−+=，ac=，则ABC是等边三角形，12acb+=，故选C．【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与

余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．10.已知在数列na中，156a=，111132nnnaa++=+，则na=（）A.3223nn−B.2332nn−C.1223nn−D.2132nn−【

答案】A【解析】【分析】递推关系式乘以12n+，再减去3，构造等比数列求通项公式.【详解】因为156a=，111132nnnaa++=+，所以1122213nnnnaa++=+，整理得()11223233nnnnaa++−=−，所以数列23

nna−是以14233a−=−为首项，23为公比的等比数列.所以1422333nnna−−=−，解得3223nnna=−.故选：A.【点睛】本题考查构造数列求通项公式.一般地，譬如11nnnapaq++=+的形式，通常通过除以1nq+来进行构造；而对于形如1nnapaq

+=+的形式，则通过待定系数来构造.11.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c且BC边上的高为2a,则cbbc+的最大值为()A.22B.2C.2D.4【答案】A【解析】【分析】先由题得到22s

inabcA=，再化简22222cos2coscbcbabcAaAbcbcbcbc+++===+=2sin2cos22sin4AAA+=+，再利用三角函数求函数的最大值.【详解】由题意可知，11sin22

2aabcA=，得22sinabcA=，所以22222cos2coscbcbabcAaAbcbcbcbc+++===+=2sin2cos22sin4AAA+=+，由BC边上的高为2a可得02A

，故当4A=时cbbc+的最大值为22.故答案为A【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12.设正项数列na满足12a

=，()2211220nnnnnaaana++−−+=，若x表示不超过x的最大整数，(例如1.61=，1.62−=−)则222122019232020aaa+++=（）A.2018B.2019C.2020D.2021【答案】C【解析】

【分析】分解因式，累乘法求得通项公式，根据题意，再进行求解.【详解】数列na满足12a=，()2211220nnnnnaaana++−−+=，整理得()()1120nnnnnanaaa++−++=

，由于数列为正项数列，所以()12nnnana+=+，整理得12nnanan++=，故111nnanan−+=−，122nnanan−−=−，4242aa=，2131aa=，各式相乘得到()1112nnnaa+=，又12a=，所以()1nann=+.则()211

11nnnann++==+，①当1n=时，11n=，212112a=+=；②当1n时，()10,1n，则()211nnnan++==11n+=1.所以222122019232020220182020aaa+++=+=

.故选：C.【点睛】本题考查递推公式的整理化简、累乘法求通项公式，以及根据题意构造新数列的能力，本题中根据题意构造数列()21nna+是问题的关键.本题属于数列综合题.二､填空题13.设nS为等比数列na的前n项和且13nnSA+=−，则A=____

____.【答案】3【解析】【分析】由nS，可以求得数列的前三项，根据这三项构成等比数列，利用等比中项即可求参数.【详解】∵nS为等比数列na的前n项和且13nnSA+=−，∴21139aSAA==−=−，()()32213918aSSAA=−=−−−

=，()()433323354aSSAA=−=−−−=∵1a，2a，3a成等比数列，∴2213aaa=，∴()2189454=−，解得3A=.故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列前n项和的性质；一般地，在等比数列中，1111nnnaaSqAqAqq=−+=−

−−.14.已知锐角ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cosbaaC−=，则2coscos()ACA−的取值范围是__________.【答案】23,22【解析】【分析】由正弦定理，条件等式转化角的关系，化简所求的式子，转化角A

，求出A的范围，即可求得结论.【详解】sinsin2sincossin()sinBAACCAA−=−=，,0,,2222CAACAACA−−−==，22(,)6432CAABA==−＜＜，2coscos()ACA−23cos,22

A=.故答案为:23,22【点睛】本题考查正弦定理的应用，以及两角和差正弦公式的应用，属于中档题.15.若na是正项递增等比数列，nT表示其前n项之积，且1020TT=，则当nT取最小值时，n的值为________．【答案】15【解

析】试题分析：因为1020TT=，所以所以na是正项递增等比数列,所以，所以最小.考点：等比数列的性质.16.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余

四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是222222142acbSac+−=−，共中a，b，c是ABC的内角A，B，C的对边为.若sin2sin

cosCAB=，且2b，1，2c成等差数列，则ABC面积S的最大值为________.【答案】55【解析】【分析】先根据正弦定理得c2cosaB=,再根据余弦定理化简得【详解】因为sin2sincosCAB=，所以c2cosaB=,因此222c2,2acbaabac

+−==,因为2b，1，2c成等差数列，所以2b+2c=2,因此2222222222221154165165242421652516255acbcSacccc+−=−=−−=−−+=

（），即ABC面积S的最大值为55.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三､解答题17.已知公差不为0的等差数列na满足11a=．若5a，2a，1a成等比数列．（1

）求na的通项公式；（2）设12nnnba−=+，求数列nb的前n项和nS．【答案】（1）21nan=−；（2）221nnSn=+−.【解析】【分析】（1）根据对比中项的性质即可得出一个式子，再带入等差数列的通项公式即可求出公差．（2）根据（

1）的结果，利用分组求和即可解决．【详解】（1）因为521,,aaa成等比数列，所以2215aaa=，所以()2141dd+=+，即22dd=，因为0d，所以2d=，所以21nan=−；（2）因为1212nnbn−=−+，所以()()01113521222nnSn−=++++−++++，()

12112212nnn+−−=+−，221nn=+−.【点睛】本题主要考查了等差数列通项式，以及等差中项的性质．数列的前n的求法，求数列前n项和常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消．18.在ABC中，角A，B，C的三条对边分别为a，b，c，，cos3sinb

CbCa+=.（1）求角B；（2）点D在边BC上，4AB=，32CD=，3cos5ADC=.求AC.【答案】（1）6；（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合()sinsinABC=+进行化简即可；（2）利用（1）中结论，及已知条件，在ABD中用正弦定理求AD

，再在ADC中，用余弦定理求AC.【详解】（1）由cos3sinbCbCa+=，利用正弦定理得:sincos3sinsinsinBCBCA+=，即sincos3sinsinsincoscossinBCBCBCBC+=+，得3sinsincossinBCBC=，又()0,C，所以sin0C

，所以3sincosBB=，得3tan3B=，又()0,B，所以6B=.（2）根据题意，作图如下：由3cos5ADC=，()0,ADC，所以234sin155ADC=−=，又因为180ADBADC=−，所以4sinsin5ADBADC==；在ABD中，由正弦

定理得，sinsinADABBADB=又4AB=，6B=，所以14sin524sin25ABBADADB===；在ACD中，由余弦定理得，2222cosACADDCADDCADC=+−2253533222225=+−

4=解得2AC=.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角的能力，涉及()sinsinABC=+，同时考查了利用正弦定理，余弦定理解求解三角形的能力.属解三角形综合基础题.19.如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站

B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得,BD间的距离为21海里．(Ⅰ)

求sinBDC的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？【答案】（Ⅰ）437；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.【解析】【分析】(Ⅰ)在BDC中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算s

inABD，ABD△中，由正弦定理可得AD长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD==，BDC中，根据余弦定理求得2222120311cos221207BDC+−==−，∴43sin7BDC=．(Ⅱ)由已知可得204060BAD=+=，∴43113

536072721)4(sinABDsinBDC=−=−−=．ABD△中，由正弦定理可得sin21sin15sinsinBDABDABDADBADBAD===，∴156

022.540t==分钟．即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20.设数列na满足123(21)2naanan+++−=.（1）求na的通项公式；（2）求数列21nan

+的前n项和．【答案】(1)221nan=−；(2)221nn+.【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得na的通项公式.（2）将na的通项公式代入,可得数列21nan+的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列

na满足()123212=naanan+++−2n时,()()12132321naanan+++−−﹣＝∴()212nna−=∴221nan=−当1n=时,12a=,上式也成立∴221nan=−（2）21121(21)(21)2121nannnn

n==−+−+−+∴数列21nan+的前n项和1111113352121nn=−+−++−−+1212121nnn=−=++【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.21.设ABC的

内角ABC，，所对的边分别为abc，，，已知cos(2)cosaBcbA=−．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若4a=，BC边上的中线22AM=，求ABC的面积．【答案】（Ⅰ）3A=（Ⅱ）S23=【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案.（Ⅱ）1()2AMABAC=+，平方，代入公式利用余弦

定理得到答案.【详解】（Ⅰ）因为()acos2cosBcbA=−，由正弦定理得()sincoscos2sinsinABACB=−，即sincoscossin2sincosABABCA+=，所以()sin2sinccosABA+=，因为(

)sinsin0ABC+=，所以1cos2A=，又因为(0,)A，所以3A=．（Ⅱ）由M是BC中点，得1()2AMABAC=+，即2221(2)4AMABACABAC=++，所以2232cbbc++=，①又根据余弦定理，有

2222222cos416abcbcAbcbc=+−=+−==，②联立①②，得8bc=．所以ABC的面积1SbcsinA232==．【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.2

2.数列{}na的前n项和113nnSa=+.（1）求{}na的通项公式；（2）设nnbna=，求数列{}nb的前n项和nT，并求使nTm成立的实数m最小值.【答案】（1）13122nna−=−；（2）221

332nnTn=−+−，32.【解析】【分析】（1）由已知可先求得首项1a，然后由113nnSa=+，得11113nnSa++=+，两式相减后可得数列的递推式，结合1a得数列{}na是等比数列，从而易得通项公式；（2）对数

列{}nb可用错位相减法求其和．不等式nTm恒成立，可转化为先求nT的最大值．【详解】（1）由111113aSa==+得132a=.由113nnSa=+，可知11113nnSa++=+，可得111133nnnaaa++=−，即12nnaa+=−.因为10a，所以0na，

故112nnaa+=−因此{}na是首项为32，公比为12−的等比数列，故13122nna−=−.（2）由（1）知13122nnnb−=−.所以01213113213313122222222nnnT−=−+−

+−++−①两边同乘以12−得123131132133131222222222nnnT−=−+−+−++−②①②相减得1231

1331313131311222222222222nnnnT−+=+−+−+−++−−−从而133113312222122212nnnnT−

−−−=−−+于是221332nnTn=−+−，当n是奇数时，221332nnTn=++，因为221302nnnTTn++−=−，所以132nTT

=.当n是偶数时，2212()()3323nnTn=−+因此32nT.因为nTm，所以32m，m的最小值为32.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式，考查错位相减法求和．适用错位相减法求和的数列一般是{}nnab，其中{}na是等差数列，{}nb是等比数列．