【文档说明】重庆市第一中学2021届高三上学期第三次月考数学试题 含答案.docx，共(11)页，666.967 KB，由小赞的店铺上传

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秘密★启用前【考试时间：2020年11月27日15:00-17:00】2020年重庆一中高2021届高三上期第三次月考数学测试试题本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．作答时，务

必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项．1．已知复数21izi=−，则复数z的虚部是（）A．1−B．1C．iD．i−2．已知集合2|2,AxxxZ=

，则A的真子集共有（）个A．3B．4C．6D．73．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（）A．10B．12C．14D．164．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星

等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足()12212.5lglgmmEE−=−，其中星等为km的星的亮度

为(1,2)kEk=．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍．（当x较小时，21012.32.7xxx++）A．1.22B．1.23C．1.2

6D．1.275．向量,ab满足||1a=，a与b的夹角为3，则||ab−的取值范围为（）A．[1,)+B．[0,)+C．1,2+D．3,2+6．已知三棱锥PABC−，过点P作PO⊥平面ABC，

O为ABC中的一点，且,,PAPBPBPCPCPA⊥⊥⊥，则点O为ABC的（）A．垂心B．内心C．重心D．外心7．设sin5a=，2log3b=，2314c=，则（）A．acbB．bacC．ca

bD．cba8．已知三棱锥PABC−的四个顶点均在同一个确定的球面上，且6BABC==，2ABC=，若三棱锥PABC−体积的最大值为3，则其外接球的半径为（）[来源:Zxxk.Com]A．2B．3C．4D．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每

小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（）A．若,,//mnmn，则//B．若,mnm⊥，则n⊥C．若,mn

⊥，则mn⊥D．若//,,mn，则//mn10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）A．||12xy=B．212logyx=C．121yx=+D．2logsinyx=11．下列关于函数1()2sin2

6fxx=+的图像或性质的说法中，正确的为（）A．函数()fx的图像关于直线83x=对称B．将函数()fx的图像向右平移3个单位所得图像的函数为12sin23yx=+C．函数()

fx在区间5,33−上单调递增[来源:学,科,网]D．若()fxa=，则1cos232ax−=12．定义在(0,)+上的函数()fx的导函数为()fx，且()()fxfxx，则对任意1x、2(0,)x+，其中1

2xx，则下列不等式中一定成立的有（）A．()()()1212fxxfxfx++B．()()()()21121212xxfxfxfxfxxx++C．()1122(1)xxffD．()()()1212fxxfxfx三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案

必须填写在答题卡相应的位置上．13．已知球O的体积为323，则球O的表面积为___________．14．已知向量,ab不共线，若ab+与2ab+平行，则的值为___________．15．一般

把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________．16．已知等比数列na的公

比为q，且101a，20201a=，则q的取值范围为_________；能使不等式12121110mmaaaaaa−+−++−成立的最大正整数m=_________．（注：前一空2分，后一空3分）四、解答

题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．[来源:学§科§网]17．（本小题满分10分）在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是等腰梯形，M是线段AB的中点，11

60,22,2,6DABABCDDDCM=====．（1）求证：1//CM平面11AADD；（2）求异面直线CM与1DD所成角的余弦值．18．（本小题满分12分）已知数列na满足：13a=，且对任意的nN，都有1，1,nnaa+成等差数列．[来源:学+科+网

]（1）证明数列1na−等比数列；（2）已知数列nb前n和为nS，条件①：()1(21)nnban=−+，条件②：11nnnba+=−，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．

来求数列nb前n和nS．注：若两个条件都计算了．．．．．．．．．，只按照第一个条件来评分．．．．．．．．．．．！9．（本小题满分12分）已知椭圆C的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF−，短轴的

两个端点分别为12,BB．且122BB=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点2F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且11FPFQ⊥，求直线l的方程．20．（本小题满分12分）已知()cossin3cos222xxxfx=+，记ABC的内角

A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）求()fB的取值范围；（2）当434,3ab==，且()fB取（1）中的最大值时，求ABC的面积．21．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABCABC−中，12,120ABACAABAC===，D，1D分别是线段11,BCBC的中点，过线

段AD的中点P作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N．（1）证明：平面1AMN⊥平面11ADDA；（2）求二面角1AAMN−−的余弦值．22．（本小题满分12分）已知21()(1)2xfxeaxbx=−−−．其中常数2.71828e．（1）当

2,4ab==时，求()fx在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()afx均有两个极值点()1212,xxxx，（ⅰ）求实数b的取值范围；（ⅱ）当ae=时，证明：()()12fxfxe+．2020年重庆一

中高2021届高三上期第三次月考数学测试试题参考答案一、单项选择题：1-8：BDBCDACA二、多项选择题：9．ABD10．ABC11．AD12．ABC三、填空题13．1614．1215．22816．1q4039四、解答题17．解：（1）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且2ABCD=，所

以//ABDC．又由M是AB的中点，因此//CDMA且CDMA=．连接1AD，在四棱柱1111ABCDABCD−中，因为1111//,CDCDCDCD=，可得1111//,CDMACDMA=，所以四边形11AMCD为平行四边形．因此11//CMD

A，又1CM平面11AADD，1DA平面11AADD，所以1//CM平面11AADD．5分（2）因为//CMDA，所以异面直线CM与1DD成的角，即为DA与1DD相交所成的直角或锐角，在1ADD中，16CM=，故116,1,2ADADDD===，由余弦定理可得：

22211111cos24ADDDADADDADDD+−==−，故异面直线CM和1DD余弦值为14．10分18．解：（1）由条件可知112nnaa++=，2分即121nnaa+=−，∴()1121nnaa+−=−，且112a−=4分∴

1na−是以112a−=为首项，2q=为公比的等比数列，∴12nna−=，∴()21nnanN=+6分（2）条件①：()1(21)(21)2nnnbann=−+=+，123325272(21)2nnSn=+++

++8分23412325272(21)2nnSn+=+++++10分利用错位相减法可求得()12(21)2nnsnnN+=−+12分条件②：11(1)12nnnnbna+==+−231111

234(1)2222nnSn=+++++8分234111111234(1)22222nnSn+=+++++10分利用错位相减法可求得()13(3)2nnsnnN=−+12分注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！19．解（1）易知椭圆C的方程为22

12xy+=4分（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为1x=，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)ykx=−，22(1)12ykxxy=−+=得()()2222214210kxkxk+−+−=，()2810k=+，6分设()()1122,,,PxyQxy

，则()22121222214,2121kkxxxxkk−+==++，()()1111221,,1,FPxyFQxy=+=+，∵110FPFQ=，8分即()()()()()2221212121211110xxyykxxkxxki+++=+−−+++=，得217,77kk==．1

0分故直线l的方程为710xy+−=，或710xy−−=．12分20．解：（1）2()cossin3cossincos3cos222222xxxxxxfx=+=+13(cos1)3sinsin2232xxx+=+=++4分因为B为三角形的内角，所以(0,)B

所以4,333B+，所以3()0,12fB+5分（2）3()12326fBBB=++==7分由正弦定理得：43433sin1sinsinsin22abAABA===9分若3A=，则2C=，183sin23

ABCSabC==11分[来源:学科网]若23A=，则6C=，143sin23ABCSabC==．12分21．（1）证明：因为ABAC=，D是BC的中点，所以，BCAD⊥．因为//MNBC，所以M，N分别为

AB，AC的中点．所以MNAD⊥．因为1AA⊥平面ABC，MN平面ABC，所以1AAMN⊥．又因为AD，1AA在平面11ADDA内，且AD与1AA相交，所以MN⊥平面11ADDA，．又MN平面1AMN，所以平面1AMN⊥平面11ADDA；5分（2）设11AA=．如图

，过1A作1AE平行于11BC，以1A为坐标原点，分别以1111,,AEADAA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz−（点O与点1A重合）．则1(0,0,0),(0,0,1)AA．因为P为AD

的中点，所以M，N分别为,ABAC的中点，故3131,,1,,,12222MN−，所以1131,,1,(0,0,1),(3,0,0)22AMAANM===．6分设平面1AAM的法向量为()1111,,nxyz=，则1111,,nA

MnAA⊥⊥即11110,0,nAMnAA==故有()()11111131,,,,10,22,,(0,0,1)0.xyzxyz==从而1111310,220.xyzz++==取11x=，则13y=−，所以1(

1,3,0)n=−是平面1AAM的一个法向量．8分设平面1AMN的法向量为()2222,,nxyz=，则212,,nAMnNM⊥⊥即2120,0,nAMnNM==故有()()22222231,,,,10,22,,(3,0,0)0.xyzxyz=

=从而2222310,2230.xyzx++==取22y=，则21z=−，所以2(0,2,1)n=−是平面1AMN的一个法向量．10分设二面角1AAMN−−的平面角为，又

为锐角，则1212|(1,3,0)(0,2,1)|15cos525nnnn−−===．故二面角1AAMN−−的余弦值为155．12分22．解：（1）2()4(1)[1,2]xfxexxx=−−−，()24,()20xxfxexfxe==

−−−∵()fx在[1,2]上单增，且2(2)80fe−=，∴()0,()fxfx在[1,2]上单减，∴max()(1)1fxfe==−．3分（2）（ⅰ）(),()xxfxeaxbfxea=−−=−，()fx在(,ln)a−

单减，(ln,)a+单增，∵()fx有两个极值点12,xx，∴(ln)ln0faaaab=−−，lnbaaa−对任意0a都成立，设()lngaaaa=−，()ln,()gaaga=−在(0,1)单增，(1,)+单减，∴(1)1bg=，又∵0,,()bab

fexfxa−−=→+→+，∴1b．7分（ⅱ）当ae=时，()xfxeexb=−−，可证()fx在(,1)−单减，在(1,)+单增，∵12,xx是()0fx=两根，且12xx．∴121,1xx设()()(2),(1)hxfxfxx−

−=则2()2220xxhxeeeee−=+−−=∴()hx在(,1)−单增，()(1)0,()(2)hxhfxfx=−∵()()()112111,21,2xxfxfxfx−=

−，又∵()fx在(1,)+上单增，∴212xx−，即1222xxx−，又∵()fx在()12,xx上单减，()()122fxfx−()()()()2222122222222xxfxfxfxfxeeexexe−+−+=+−+−令22()22xxMxeeexexe−=+−+−

，(1)x22()22,()20xxxxMxeeexeMxeee−−=−−+−=+，()Mx在(1,)+单增，(1)0M=，∴()0Mx，故()Mx在(1,)+单增又∵x()221,(1)xMxMe

=，∴()()12fxfxe+12分