【文档说明】湖南省百校大联考2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.330 MB，由管理员店铺上传

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湖南省百校大联考2023-2024年高二12月考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至4.3.1．一、选择题：本题共8小题，

每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合20Axx=−，1,2,3,4B=，则AB=（）A.3,4B.2,3,4C.4D.1,2【答案】A【解析】【分析】利用交集的运算求解即可.【详解】因为

2Axx=，所以3,4AB=．故选：A2.复数z满足()2i7i0z−−+=，则z=（）A.3i−−B.3i−+C.3i−D.3i+【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解.【详解

】由题意知，()()7i2i7i155i3i2i55z−+−+====+−．故选：D3.已知A为抛物线C：22xpy=（0p）上一点，点A到C的焦点的距离为9，到x轴的距离为6，则p=（）A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】根据抛

物线的定义结合题意可求得结果.【详解】因为点A到C的焦点的距离为9，到x轴的距离为6，所以32p=，则6p=．故选：C4.若直线1l：10axy−+=与直线2l：()210axay+−−=平行，则=a（）A.1−B.2C.1−或2D.1或2−【答案】B【解析】【

分析】利用两直线平行的必要条件（系数交叉相乘积相等）求得的值，再检验，排除重合的情况即可.【详解】因为12ll∥，所以220aa−++=，解得1a=−或2a=．当1a=−时，1l与2l重合，不符合题意．当2a=时，12ll∥，符合题意．故选：B.5.有编号互不相同的五个砝码，其中3克

、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）A310B.15C.25D.12【答案】A【解析】【分析】用列举法列举出样本空间，结合古典概型概率计算公式即可求解..【详解】记3克的砝码为1A，2A，1克的

砝码为1C，2C，2克的砝码为B，从中随机选取两个砝码，样本空间()()()()()()()()()()1211112221221212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,AAABACACABACAC

BCBCCC=，共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为310．故选：A.6.已知函数()()sinfxAx=+（0A，0）的部分图象如图所示，则3π4f=（）A.1B.1−C.

2D.2−【答案】B【解析】【分析】利用图象得出2A=，πT=，进而求得2=，再代入点坐标，可得()5π2sin22π,Z3fxxkk=−+，进而求出3π4f.【详解】由函数()()sinfxAx=+的图像可知2A=，313

341234T=−=，则πT=，2π2T==．由13π13π2sin221212f=+=，解得5π2π,Z3kk=−+，则()5π2sin22π,Z3fxxkk=−+，故3π3π5π2sin22π1443fk=−+=−

，Zk.故选：B7.已知等差数列na的前n项和为nS，且360S，370S，则当nS取得最大值时，n=（）A.37B.36C.18D.19【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质与前n项和公式推得180a，190a，从而得解.【详解】因为()()()1

3636136181936181802aaSaaaa+==+=+，()1371937193737237022aaaSa+===，所以180a，190a，从而当18n=时，nS取得最大值．故选：C.8.已知F是双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左

焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为73的直线与E的右支交于点M，3MNNF=，MFON⊥，则E的离心率为（）A.3B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】取MF的中点为P，连接1MF，1PF根据题意得到1//O

NPF，求得112MFFFc==，结合17tan3MFF=，得到113cos24MFMFFFF==，结合双曲线的定义，得到2ca=，即可求解.【详解】如图所示，双曲线2222:1xyEab−=的右焦点为1F，MF的中点为P，连接1MF，1PF因为3MNNF=，O为1FF的中点，所

以1//ONPF，则1MFPF⊥，可得112MFFFc==，又因为17tan3MFF=，所以113cos24MFMFFFF==，则3MFc=，1322MFMFccca−=−==，可得2cea==，所以E的离心率为2．故选：B.二、选择题：本题共4小题

，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为2nnam=+，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（）A.1m=B.2m=C.该数列为递增数

列D.665a=【答案】ACD【解析】【分析】根据首项可得1m=，再逐个选项判断即可.【详解】对AB，由1123am=+=，得1m=，故21nna=+，故A正确，B错误；对C，1112220nnnnnaa−−−−=−=得该数列为递增数列，故C正确；对D，21nn

a=+，则662165a=+=，故D正确.故选：ACD10.某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（单位：厘米）的平均值为170，身高的方差为24，女生身高的平均值为160，身高的方差为19，则（）A.该班全体学生身高的平均值为165B.该班全体学生身高的

平均值为166C.该班全体学生身高的方差为46D.该班全体学生身高的方差为44【答案】BC【解析】【分析】根据平均数与方差公式求解即可.【详解】由题可知，该班全体学生身高的平均值为3217016016655+=，该班全体学生身高的方差为()()2232241701661916016646

55+−++−=．故选：BC11.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=与双曲线22:13yDx−=有相同的焦点1F，2F，且它们的离心率互为倒数，P是C与D的一个公共点，则（）A.121212PFPFFF−=B.12122PFPFFF+=C.12PFF△为直角

三角形D.C上存在一点Q，使得12QFQF⊥【答案】BC【解析】【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的,ab值，根据椭圆与双曲线定义即可判断AB；联立关系式求出12,PFPF的值，根据三边关系即可判断C；若12QFQ

F⊥，则点Q在以12FF为直径的圆224xy+=上，联立方程求解即可判断D.【详解】设()1,0Fc−，()2,0Fc，双曲线D的半实轴为10a，半虚轴为10b，椭圆C的离心率为e与双曲线D的离心率为1e，由双曲线的方程可知：11a=，13b=，则22112=+=cab

，112==cea，则()()122,0,2,0FF−，椭圆C的离心率为12，则222212abcccea=+===，解得4,23ab==.对于选项A：由双曲线定义可知：1212122−==PFPFFF，故A错误；对于选项B：由椭圆定义可知：

121282+==PFPFFF，故B正确；对于选项C：根据对称性，不妨设P在第一象限，则121282PFPFPFPF+=−=，解得1253PFPF==即2221212PFPFFF=+，可知212PFFF⊥，所以12PFF△为直角三角形，故C正确；.对于选项D

：若12QFQF⊥，则点Q在以12FF为直径的圆224xy+=上，联立方程2222411612xyxy+=+=，方程组无解，所以C上不存在一点Q，使得12QFQF⊥，故D错误；故选：BC.12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所

示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角（其中M对应钟上数字3,N对应钟上数字9）.设MN的中点为,43OMN=，若长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的

分针OB指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针OC（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（）A.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则OABC⊥B.若秒针OC指向了钟上

数字5，如图2，则NA//平面OBCC.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值为147D.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC的外接球的表面积为1033【答案】ACD【解析】【分析】分别用立体几何中空间

向量法判断A，B，C，求出四面体OABC的外接球的表面积，判断D.【详解】如图，以O为坐标原点，,OMOB所在直线分别为y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1,3,0,0,0,3,(0,23,0),0,23,0

ABMN−−.若秒针OC指向了钟上数字5，则()()333333,,0,1,3,0,,,3,0,0,32222COABCOB=−=−=，则0OABC=，0OAOB=，所以OABC⊥，A正确.OAOB⊥，故OA是平面OBC的一个法向量.因()1,3,0NA=，所

以20OANA=−，所以OA与NA不垂直，从而NA与平面OBC不平行，B不正确.若秒针OC指向了钟上数字4，则333,,022C，()3331,33,0,,,322AMBC=−=−，1214cos,72732AMBCAMBCAMBC===，C正确

.由153,,022AC=，得19AC=.因为120AOC=，所以OAC外接圆的半径192sin3ACrAOC==，则四面体OABC的外接球的半径294Rr=+，则210312R=，故四面体OABC的外接球的表面积为21034ππ3R=，D正确

.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,mx=，()4,2nx=−+，若mn⊥，则x=______．【答案】2或4−【解析】【分析】根据向量的垂直的坐标运算可得答案.【详解】因为mn⊥，所

以()()2420xx−++=，解得2x=或4−．为故答案为：2或4−.14.已知()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()()2ln2fxx=+，则()()021ff+=______．【答案】2ln3−【解析】【分析】根据R上的奇函数特征易得()00f=和()()11ff

=−−，代入即得.【详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，所以()00f=，()()11ln3ff=−−=−，则()()0212ln3ff+=−．故答案为：2ln3−.15.某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的

几年中，后一年该商品的产量都是前一年的120%，则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过______年．【答案】4【解析】【分析】根据指数函数性质即得.【详解】设经过n年后，该商品年产量超过20000件，则1

00001.220000n，即1.22n．因为31.21.7282=，41.22.07362=，所以至少需要经过4年．故答案为：416.若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足PAkPB=（0k且1k），则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗

尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点()1,0A，()4,0C，()4,9D，动点P满足12PAPC=，则2PDPC−的最大值为______．【答案】610【解析】【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定12PAPC=，利用

三角形三边关系可知当A，D，P三点共线时，PDPCAD−=，即为所求最大值.【详解】设(),Pxy，则()()22221124PAxyPCxy−+==−+，整理得224xy+=，则P是圆C：224xy+=上一点，由12PAPC=，得2PCPA=如

图所示故()222PDPCPDPAAD−=−，当且仅当A，D，P三点共线，且A在DP之间时取得最大值．又因为()()221409310AD=−+−=,所以2PDPC−的最大值为610.故答案为：610.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

．17.在正项等比数列na中，14a=，4322aaa=+．（1）求na的通项公式；（2）若2lognnba=，证明nb是等差数列，并求nb的前n项和nS．【答案】（1）12nna+=（2）证明见解析，232nnnS+

=【解析】【分析】（1）设na的公比为q（0q），然后根据题意列方程可求出q，从而可求出na；（2）由（1）可得1nbn=+，从而可证得nb是以2为首项，1为公差的等差数列，进而可求出nS.【小问1详解】设na的公比为q（0q），由4322aaa=+，得220qq−−=，解得2

q=或1q=−（舍去），因为14a=，所以1111422nnnnaaq−−+===．【小问2详解】由（1）可知，122loglog21nnnban+===+，则()1211nnbbnn+−=+−+=．因为1

2b=，所以nb是以2为首项，1为公差的等差数列，故()211(1)32222nnndnnnnSnbn−−+=+=+=．18.已知圆221:450Cxyx+−−=与圆2C关于直线:10lxy−+=对称．（1）求2C的标准方程；（2）记1C与2C的公共点为,AB，求四

边形12ACBC的面积．【答案】（1）()()22139xy++−=（2）9【解析】【分析】（1）找到圆1C的圆心，半径，利用圆1C与圆2C关于l对称，求出圆心和半径即可;（2）求出圆心距与1C到直线

AB的距离，结合对称性即可求解.【小问1详解】将1C的方程转化为()2229xy−+=，可得1C的圆心为()2,0，半径为3．设2C的圆心为(),ab，半径为r，因为1C与2C关于直线l：10xy−+=对称，所以

210,2201,23,abbar+−+=−=−−=解得1,3,3,abr=−==故2C的标准方程为()()22139xy++−=．【小问2详解】()()2212210332CC=++−=，根据对称性可知1C到直线AB的距离123222CC

d==，则22932ABd=−=，则四边形12ACBC的面积12192SABCC==．19.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2c，2a，23b成等差数列．（1）若()()coscoscosacBbAC−=−

，求sinsinAB；（2）若1c=，当cosB取得最小值时，求ABC的面积.【答案】（1）3（2）53【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合正弦的差角公式，结合等差中项计算即可；（2）根据余弦定理及基本不等式先求取最小值时的边长，再利用三角形

面积公式计算即可.小问1详解】因为()()coscoscosacBbAC−=−，所以()()sinsincoscoscossinACBACB−=−，即sincossincoscossincossinABCBABCB−=−，即sincoscossins

incoscossinABABCBCB−=−，【于是有()()sinsin,ABCB−=−所以ABCB−=−或πABCB−+−=，解得AC=或πAC+=（舍去）．因为2c，2a，23b成等差数列，所以22232cba+=．由AC

=，得ac=，所以223ab=，即3ab=，所以sin3sinAaBb==．【小问2详解】由22232cba+=，得2222133bac=−，则22222222122233cos22263633acacacbacacBacaccaca+−++−===+=，当且仅当22

ac==时，等号成立，此时25sin1cos3BB=−=，所以ABC的面积15sin23SacB==．20.已知正项数列na的前n项和为nS，且()282nnSa=+．（1）求na的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）42na

n=−（2）84nn+【解析】【分析】（1）根据nS与na的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】当1n=时，()2111828Saa=+=，解得12a=．当2n时，由(

)282nnSa=+，得()21182nnSa−−=+，则2211844nnnnnaaaaa−−=+−−，则()()1140nnnnaaaa−−+−−=．因为0na，所以14nnaa−−=，所以

na是以2为首项，4为公差的等差数列，则()1142naandn=+-=-．【小问2详解】由（1）可知()()111111424244242nnnbaannnn+===−−+−+，则111111111426461044242nTnn=−+−+

+−−+111424284nnn=−=++．21.如图，在四棱锥PABCD−中，90ABCBAD==，222BCAD==，PAB与PAD均为正三角形.（1）证明：AD平面PBC.（2）证明：PB

⊥平面PCD.（3）设平面PAB平面1PCDl=，平面PAD平面2PBCl=，若直线1l与2l确定的平面为平面，线段AC的中点为N，求点N到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3

）31111【解析】【分析】（1）由已知得出ADBC∥，即可根据线面平行的判定证明；（2）取BC的中点E，连接DE，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE，通过已知得OEBD⊥，通过线面垂直的判定与性质得出OEPB⊥，通过中位线得出OECD，即可

得出PBCD⊥，再通过勾股定理得出PBPD⊥，即可证明；（3）以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，得出各点坐标，通过点到平面距离的向量求法即可求出.【小问1详解】因为90ABCBAD==，所以ABBC⊥，ABAD⊥，所以AD

BC∥，因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.【小问2详解】取BC的中点E，连接DE，则四边形ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连接OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD均为正三角形，得P

APBPD==，所以OAOBOD==，即点O为正方形ABED对角线的交点，则OEBD⊥.因为PO⊥平面ABCD，且OE平面ABCD，所以POOE⊥，又BDPOO=，且BD平面PBDPO平面PBD所以OE⊥平面PBD，因为PB平面PBD，所以OEPB⊥.

因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD，因此PBCD⊥.因22222BDABADPBPD=+=+，所以PBPD⊥，又CDPDD=，CD平面PCD，PD平面PCD，所以PB⊥平面PCD.【

小问3详解】设ABCDQ=，连接PQ，则直线1l为直线PQ，因为ADBC∥，AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD，因为BC平面PBC，且平面PAD平面2PBCl=，所以2BCl.由（1）知，OE，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立

如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B，()2,1,0C−，()1,0,0A−，()0,0,1P，()2,1,0Q−−，11,,022N−()2,1,1PQ=−−−，()2,2,0BC=−，设平面

的法向量为(),,nxyz=，则nBC⊥，nPQ⊥所以20220xyzxy−−−=−=，为取1y=，得()1,1,3n=−.又11,,122PN=−−，所以点N到平面的距离33111111PNndn===.22.已

知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的焦距为27，点(4,3)M在C上．（1）求C的方程；（2）1F，2F分别为C的左、右焦点，过C外一点P作C的两条切线，切点分别为A，B，若直线PA、PB互相垂直，求12PFF△周长的最大值．【答案】（1）22143xy−=（2）274

2+【解析】【分析】（1）依题意可得222222271691cabcab=−==+，即可求出2a、2b，从而得解；（2）依题意PA、PB的斜率均存在，设(),Pmn，过点P且与C相切的直线l为ykxt=+，联立直线与双曲线方程，由Δ0=得到2243

tk=−，再由nkmt=+，得到()2224230mkmnkn−−++=，又直线PA、PB互相垂直，即可得到221+=mn，再表示出1FP，2FP求出12FPFP+的最大值，即可得解.【小问1详解】依题意可得22

2222271691cabcab=−==+，解得2243ab==，所以双曲线C的方程为22143xy−=.【小问2详解】依题意PA、PB的斜率均存在，设(),Pmn，过点P且与C相切的直线l为ykxt=+，由22143ykxtxy=+−=，整理得()

2223484120kxktxt−−−−=，则()()()22284344120ktkt=−+−+=，整理得2243tk=−，将(),Pmn代入l得nkmt=+，则()22243tnkmk=−=−，所以()2224230mkmnkn−−++=，因为直线PA、PB互相垂直，所以2

122314nkkm+==−−，即221+=mn，则()2217827FPmnm=++=+，()2227827FPmnm=−+=−，所以()2212162642832FPFPm+=+−，所以1242FPFP+，当且仅当0m=时取等号，因为1227FF=

，所以12PFF△周长的最大值为2742+.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何

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