【文档说明】2021浙江省高考压轴卷 数学 含解析.docx，共(23)页，1.225 MB，由小赞的店铺上传

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2021浙江省高考压轴卷数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。参考公式：如果事件A，B互斥，那么()()()PABPAPB+=+如果事件

A，B相互独立，那么()()()PABPAPB=如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率()C(1)(0,1,2,,)kknknnPkppkn−=−=台体的体积公式

11221()3VSSSSh=++其中12,SS分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高柱体的体积公式VSh=其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式13VSh=其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

球的表面积公式24SR=球的体积公式343VR=其中R表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合0Axx=或2x，|11Bxx=−，则

AB=（）A．()1,−+B．()1,1−C．(1,0−D．)0,12．已知i是虚数单位，则()()112ii+−=（）A．3i+B．3i−C．1i−+D．1i−−3．已知a、bR，且ab，则A．11abB．s

insinabC．1133abD．22ab4．函数()2cosxxxfxe+=在2,2−上的大致图象为（）A．B．C．D．5．设mR，则“12m”是“直线:0lxym

+−=和圆22:2420Cxyxym+−−++=有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且()213PX=，1(3)6PX==，若X的数学期望()54EX=，则(

)43DX−=（）A．19B．16C．194D．747．已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为()12,0F−，()22,0F，P为双曲线上位于第二象限内的一点，点Q在y轴上运动，若21PQQFPF+−的

最小值为233，则双曲线的离心率为（）A．3B．23C．33D．438．已知1x，2x，是函数()()()tan0,0fxx=−的两个零点，且12xx−的最小值为3，若将函数()fx

的图象向左平移12个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（）A．34B．4C．78D．89．如图，正方形ABCD和正方形ADEF成60的二面角，将DEF绕DE旋转，在旋转过程中（1）对任意位置，总有直线AC与平面DEF相交；（2）对任意位置，

平面DEF与平面ABCD所成角大于或等于60；（3）存在某个位置，使DF⊥平面ABCD；（4）存在某个位置，使DFBC⊥.其中正确的是（）.A．（1）（3）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）10．已知函数()32

1162fxxbxcx=++的导函数()'fx是偶函数，若方程()'ln0fxx−=在区间1,ee(其中e为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是A．2111,2e2−−−B．2111,2e

2−−−C．2111e,22−−D．2111e,22−−非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11．已知二项展

开式()92901291xaaxaxax+=++++，则0a=___________；1234aaaa+++=___________.(用数字作答)12．15．某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护

人员平均派往某地的A，B，C3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有______种．（用数字作答）13.已知实数x，y满足不等式组10,240,320,xyxyxy++−−+−

则点(),xy表示的平面区域的面积为______，2zxy=+的取值范围为______．14．已知某几何体是由一个三棱锥和一个四棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为______3cm，表面积为______2cm．15．设

nS是数列na的前n项和，满足()()()*2113322,NnnnnSSSSnn++−+−+=，且12a=，26a=，312a=，则na=______；若1nnba=，则数列nb的前2021项和为______．16．已知向量a，b满足3a

b+=，0ab=．若()1cλaλb=+−，且cacb=，则c的最大值为______．17．已知0x，0y，若21122xyxyxyxy+++++，则()2xy+的最大值是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明

、证明过程或演算步骤。18．（本题满分14分）如图，在ABC中，6AB=，3cos4B=，点D在BC边上，4=AD，ADB为锐角．（1）若62AC=，求线段DC的长度；（2）若2BADDAC=，求sinC的值．19．（本题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，1111

AABDAA=，111ABD是等边三角形，11DBBC⊥．（1）求证：111CBBD⊥；（2）若13BBBC==，1AB=，160BBC=，求直线1BC与平面11ADB所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知数列na是正项等比数列，且12a=，32111aa−=，若数列

nb满足114b=，11nnnbba+=+．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）已知111nnnncabb++=，记12nnSccc=+++．若28nSn−恒成立，求实数的取值范围．21．（本题满分15分）已知1F是

椭圆C：()222133xyaa+=的左焦点，经过点()0,2P−作两条互相垂直的直线1l和2l，直线1l与C交于点A，B．当直线1l经过点1F时，直线2l与C有且只有一个公共点．（1）求C的标准方程；（2）若直线2l与C有两个交点，求AB的取值范围．22．（本题满分15分）

已知函数()()lnRxfxxxmem=−．（1）当1me=时，求函数()fx的单调区间；（2）当22me时，求证()0fx．KS5U2021浙江省高考压轴卷数学试卷答案1.【KS5U答案】C【KS5U解析】由题可知：集合0Axx=或2x，|

11Bxx=−所以(1,0AB=−故选：C2．【KS5U答案】B【KS5U解析】由题意得：()()21312122iiiiii+−=−+−=−.故选：B..3．【KS5U答案】C【KS5U解析】对于A选项，

取1a=，1b=−，则ab成立，但11ab，A选项错误；对于B选项，取a=，0b=，则ab成立，但sinsin0=，即sinsinab=，B选项错误；对于C选项，由于指数函数13xy=在R上单调递减，若ab，

则1133ab，C选项正确；对于D选项，取1a=，2b=−，则ab，但22ab，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质

来进行判断，考查推理能力，属于中等题.4．【KS5U答案】A【KS5U解析】因为()fx的定义域为R，且()()()()22coscosxxxxxxfxfxee−+−+===−，所以()fx为偶函数，排除选项B；()0cos001fe==，排除选项D；()()22cos2220fe

+=，排除选项C．故选：A．5．【KS5U答案】A【KS5U解析】圆()()22:123Cxym−+−=−，圆心()1,2，半径3rm=−，若直线l与圆C有公共点，则圆心()1,2到直线的距离332mdm−=−，解得：13

m，12mm13mm，所以“12m”是“直线:0lxym+−=和圆22:2420Cxyxym+−−++=有公共点”的充分不必要条件.故选：A6．【KS5U答案】A【KS5U解析】由题知()103PX==，设()1PXa==，则()122PXa==−，因此()1115

01233264EXaa=++−+=，解得14a=，因此离散型随机变量X的分布列如下：X0123P13141416则()2222151515151901233444446416DX

=−+−+−+−=，因此()()431619DXDX−==.故选：A7．【KS5U答案】B【KS5U解析】如图所示：连接2PF，因为21212PQQFPFPFPFa+−−=，当且仅当P，Q，2F三点共线时等号成立，所以21PQ

QFPF+−的最小值为2a，所以2323a=，解得33a=．由题意知2c=，∴23cea==，故选：B．【点睛】关键点点睛：本题关键是利用三角形的性质得出21PQQFPF+−取得最小值时P，Q，2F三点共线求解.8．【KS5U答案】A【KS5U解析】由题

意知函数()fx的最小正周期3T=，则3=ππω，得3=，()()tan3fxx=−.将函数()fx的图象向左平移12个单位长度，得到tan3tan3124yxx=+−=+−的图象，要使该图象关于原点对称，则42k

−=，kZ，所以42k=−，kZ，又0，所以当1k=−时，取得最大值，最大值为34．故选：A【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数()fx的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的

函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.9．【KS5U答案】C【KS5U解析】过D作AC的平行线l，如图当平面DEF过l时，直线AC与平面DEF平行，故（1

）错误；DEF绕DE旋转形成一个以DE为高，EF为底面半径的圆锥，设平面ABCD的法向量为n，平面DEF的法向量为r，则向量n所在直线与圆锥底面所成角为60，向量r所在直线为圆锥底面的半径所在直线，根据最小角原理，n与r的夹角大于或等于60，故（2）正确；若有DF⊥平面ABCD，则ADDF⊥

，∴AD⊥平面DEF，则F在平面DEC内，此时DF与平面ABCD所成角为15或75，矛盾，故（3）错误；当ADDF⊥，∴AD⊥平面DEF时，ADDF⊥，∴DFBC⊥，故（4）正确.故选：C【点睛】本题考查立体几何中存在性问题，重在考查空间想象能力，

属基础题.10．【KS5U答案】B【KS5U解析】()321162fxxbxcx=++Q，()212fxxbxc=++，导函数()yfx=的对称轴为直线xb=−，由于该函数为偶函数，则00bb−==，()212f

xxc=+，令()ln0fxx−=，即21ln02xcx+−=，得21ln2cxx=−.问题转化为当直线yc=与函数()21ln2gxxx=−在区间1,ee上的图像有两个交点时，求实数c的取值范围．()211xgxxxx−=−=，令()0gx=，得1x=，列表如

下：x1,1e1()1,e()gx+0−()gx极大值所以，函数()ygx=在1x=处取得极大值，亦即最大值，()()max112gxg==−，又21112gee=−−，()2

12ege=−，显然，()1gege，如下图所示：结合图象可知，当()11gcge时，即当211122ce−−−时，直线yc=与函数()ygx=在区间1,ee上有两个交点，因此，实数c的取值范围是2111,2

2e−−−．故选：B．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转化为直线yc=与函数()ygx=的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、极值以及端点值，通过这些来确定函数

图象，考查数形结合思想，属于中等题．11．【KS5U答案】1255【KS5U解析】由题可知：0091aC==，1199aC==，22936aC==，33984aC==，449126aC==，所以1234255aaaa+++=故答案为：1，255

.12．【KS5U答案】1080【KS5U解析】由题可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．假设A医院分配的是2名医生1名护士，则B，C医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有21124524CCCC36

0=（种），故不同的分配方案有36031080=（种）．故答案为：1080【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.要根据已知灵活选择方法求解.13．

【KS5U答案】214[]3,2-【KS5U解析】如图：不等式组10,240,320,xyxyxy++−−+−表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中()2,0A，53,22B−，()1,2C−，所以点(),xy表示的平面区域的面积为()()132

1212224−−−−=．由2zxy=+，得122zyx=−+，作直线12yx=−并平移，数形结合可知当平移后的直线经过点C时，z取得最小值，经过点A时，z取得最大值，故max2z=，

min143z=−=−，所以2zxy=+的取值范围为[]3,2-．故答案为：214；[]3,2-【点睛】（1）线性规划问题求取值范围，先画出可行域，确定目标函数所表示的几何意义（截距、距离或斜率），然后用数形结合找范围；（2）解析几何中求面积，通常用两点间距

离和点到直线的距离来解决，有时分成两个三角形用公共边求更便捷.14．【KS5U答案】1253222++【KS5U解析】如图，由三视图知该几何体的直观图如图所示，其中四边形ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，平面QAD⊥平面ABCD．故该几何体的体

积111632PADCQABCDVVV−−=+=+=，表面积()2131153225112121224222S++=+++=．故答案为：12；53222++．【点睛】本题以组合体的三视图为载体，考查几何体体积和表面积的求解，

考查空间想象能力．解题过程是由三视图还原几何体，画出直观图，确定几何体的结构，再进行计算．15．【KS5U答案】()1nn+20212022【KS5U解析】当2n时，由()()211332nnnnSSSS++−+−+=，得()()21132nnnnSSSS+−+−−−=，所以21132n

nnnaaaa+++++−=，整理得()()2112nnnnaaaa+++−−−=，则数列1nnaa+−从第二项起是等差数列．因为12a=，26a=，312a=，所以()()32212aaaa−−−=，符合上式

，所以1nnaa+−是等差数列，所以()()142121nnaann+−=+−=+．当2n时，()()()()()1122112212221nnnnnaaaaaaaannnn−−−=−+−++−+=+−+++=+，12a=也符合

上式，所以()1nann=+，所以1111nnbann==−+，所以数列nb的前2021项和为11111111202111223342021202220222022−+−+−++−=−=

．故答案为：(1)nn+；20212022．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键点有两个：（1）根据递推关系式得出1nnaa+−从第二项起是等差数列，注意不是从第一项起，要验证第一项是否满足；（2）数列

递推公式是以前后项的差给出时，利用累加法求出na．16．【KS5U答案】32【KS5U解析】令MaA=，MBb=，则abAMMBAB=++=，故3AB=，又0ab=，所以AMMB⊥．以AB为直径作直角三角形ABM的外接圆O，进而得出当NMAB⊥时，AC即c取得最大值．令ANMB=，连

接MN．设cAC=，因为()1cλaλb=+−，所以点C在直线MN上，又cacb=，所以()0cab−=，即0ACNM=，所以ACNM⊥．结合图形可知，当NMAB⊥时，AC即c取得最大值，且32cAO==．故

答案为：3217．【KS5U答案】845+【KS5U解析】令xyt=，则2()04xyt+„,令21()()xyfttt++=+，因为2221121()2222xyxyxyxyxyxyxyxyxy++++++++−+++厖，等价

于2()()()4xyftf+，所以题意可转化为函数21()()xyfttt++=+在2()0,4xy+有最小值2()4xyf+，因为对勾函数21()()xyfttt++=+在2(0,1()]xy++上递减，在2(1(),)xy+

++上递增，所以22()1()4xyxy+++„，即42()16()160xyxy+−+−，所以2()845xy++，故2()xy+的最大值是845+．故答案为：845+【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用．根据具体条件和解题需要，从不同的角

度出发，在众多变元中选用一个变元为主元，并以此为线索把握解决问题的方法叫做主元法．本题中以xy为主元、xy+为参数，将问题转化为了对勾函数的最值问题，达到了“避虚就实、变繁成简，化难为易”的解题效果．属于中档题.18．【KS5U答案】

（1）7；（2）71432.【KS5U解析】（1）在△ABD中，由余弦定理得22223616312co24sABBDADBABBBDDBD+−=+−==，∴5BD=或4BD=．当4BD=时，1616

36cos0244ADB+−=，则2ADB，不合题意，舍去；当5BD=时，162536cos0245ADB+−=，则2ADB，符合题意．∴5BD=．在△ABC中，22223672312co24sABBCAC

BABBBCCBC+−=+−==，∴12BC=或3BC=−（舍）．∴7DCBCBD=−=．（2）记DAC=，则2BAD=．在△ABD中，2229coscos2216ABADBDBADABAD+−===

，∴2为锐角，得21cos27sin232−==，57sin216=，即14sin8=，52cos8=，解法一：1714sin3sin2coscos2sin64=+=，同理52cos364=．由3cos4B=知：7sin4B=，∴(

)()714sinsin3sin3sincos3cossin332CBBBB=−−=+=+=．解法二：2221625361cos22458ADBDABBDAADBD+−+−===，37sin8BDA=．∴()714sinsinsincos

cossin32CBDABDABDA=−=−=.【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求DC；（2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可.19．【KS5U答案】（1）证明见解析；（2）714．【

KS5U解析】（1）如图，取11DB的中点E，连接1AE，AE，因为111ABD是等边三角形，所以1111ADAB=，111AEDB⊥．又1111AABDAA=，11AAAA=，所以1111AABAAD≌△△，所以11ABAD=，所以11AEDB⊥．又

1AE，AE平面1AAE，1AEAEE=，所以11DB⊥平面1AAE．又1AA平面1AAE，所以111DBAA⊥，因为11//AABB，所以111DBBB⊥．因为11DBBC⊥，1BBBCB=，1BB，BC平面11BBCC，所以11DB⊥平面11BBCC，又1CB平面11

BBCC，所以111CBBD⊥．（2）由（1）知，11DB⊥平面11BBCC，则以1B为坐标原点，以11BC，11BD所在直线分别为x轴、z轴，在平面11BBCC内过1B且垂直于11BC的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标

系，则()10,0,0B，()13,0,0C，()10,0,1D，33,,022B−，131,0,22A−，所以1333,,022BC=−，()110,0,1BD=，1111

111313,,22BABAAABABB=+=+=−．设平面11ADB的一个法向量为(),,nxyz=，则1110,0,nBDnBA==即0,3130,22zxyz=−++=取3x=，则2y=，则平面11ADB的一个法向量为()3,2,0n=．从而1117

cos,14nBCnBCnBC==，所以直线1BC与平面11ADB所成角的正弦值为714．【点睛】方法点睛：证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的

性质．20．【KS5U答案】（1）212nna−=，()1214nnb=−；（2）24,5+．【KS5U解析】解：（1）设数列na的公比为q，则0q，因为12a=，32111aa−=

，所以211122qq−=，即21120qq−−=，解得1q=−（舍去）或12q=，故数列na的通项公式为1211222nnna−−==．因为11nnnbba+=+，所以212nnnbb−+−=，又114b=，所以当2n时，()()()312132111242nnnnbbbbb

bbb−−=+−+−++−=+++()()1121421124nn−==−−．经检验，114b=也满足上式，所以()1214nnb=−．（2）由（1）得，()()()()11111128212121212116nnnnnnnnnncabb−++++===−−−−()

()()()1118212111821212121nnnnnn+++−−−==−−−−−，所以12122311111118212121212121nnnnSccc+=++=−+−+

+−−−−−−−111111881212121nn++=−=−−−−．又28nSn−恒成立，所以21821nn+−恒成立．设()2121nnfn+=−，*Nn则()()()()()()()22

122121212211121212121nnnnnnnnnnfnfn+++++−++−+++−=−=−−−−．易知当2n时，()()10fnfn+−；当3n时，()()10fnfn+−．于是()

()()()()12345fffff，所以()()max335fnf==，所以实数的取值范围是24,5+．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式，考查累加法求通项公式，裂项相消法求和，数列不等式恒成立问题．数列不等式恒成立问题角

方法一般也是分离参数后求最值，只是数列作为特殊的函数，其自变量取值只能是正整数．因此可用作差法得出数列的增减性．21．【KS5U答案】（1）22143xy+=；（2）600,19.【KS5U解析】（1）设()1,0Fc−，其中23ca=−①当直

线1l经过点1F时，直线1l的斜率12PFkc−=，直线2l的斜率为2c，方程为22cyx=−，与椭圆C的方程联立，消去y得：22223232cxaxa+−=，整理得：()2222212840acxacxa+−+=．直线2l与椭圆C有且只有一个公共点，()42222641

6120acaac=−+=，即2ac=②由①②得：24a=，解得：2a=，1c=，223bac=−=，C的标准方程为22143xy+=．（2）由题意知：直线1l的斜率存在且不为零，设其方程为()20

ykxk=−，与椭圆C的方程联立，消去y得：()22341640kxkx+−+=，则()2225616340kk=−+，解得：214k．同理：当直线2l与椭圆C有两个交点时，24k，2144k．设()11,A

xy，()22,Bxy，则1221634kxxk+=+，122434xxk=+，()()()()22222122224341444111233434kkkABkxxkkk−+−=+−=+=++．设234tk=+，则()4,19t，()()()()()22222222

444114341325481634kktttttttk+−+−−−===−+++，()213254816ftt=−++Q在()4,19上单调递增，()23000,19ft，

AB的取值范围是600,19．【点睛】关键点点睛：解决本题第（2）问的关键有：（1）根据直线1l，2l与椭圆C的位置关系得到2144k；（2）利用根与系数的关系和弦长公式得到AB关于k的表达式，然后换元，利用函数的单调性求解范围．22．【KS5U答案】（1）单调递减区间为

()0,+，无单调递增区间；（2）证明见解析．【KS5U解析】（1）函数()fx的定义域为()0,+．当1me=时，()1lnxfxxxe−=−，则()11lnxfxxe−=+−．记()11lnxgxxe−

=+−，则()11xgxex−=−．显然()gx在()0,+上单调递减，且()10g=，所以当()0,1x时，()0gx，函数()gx单调递增；当()1,x+时，()0gx，函数()gx单调递减．所以()()11ln110gxg=+−=，即()0fx恒

成立，所以函数()fx在()0,+上单调递减．所以函数()fx的单调递减区间为()0,+，无单调递增区间．（2）要证()0fx，只需证lnxmexx．①当01x时，e1x，ln0xx，22me，不等式显然成立．②当1x

时，ln0xx，xee，由22me可得，22xxmeee，于是原问题可转化为求证22lnxexxe，即证22ln0xexx−−．令()22lnxehxxx−=−，则()()2222221221xxxexxexehxxxx−−

−−−−=−=，令()()221xpxexx−=−−，则()2222(1)2121xxxpxexexe−−−=−+−=−，易知()px在()0,+上单调递增，又()2110pe=−，()230p=，所以存在

()01,2x使得()00px=，所以()px在()01,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，又()110p=−，()20p=，故当()1,2x时，()0hx，()hx单调递减，当()2,x+时，()0hx，()hx单调递增，所以当1x时，()()21ln2

0hxh=−，即()0fx．综上，()0fx．【点睛】关键点点睛：求解本题第（2）问的关键有：（1）想到分01x，1x两种情况进行证明；（2）当1x时，想到利用放缩法将原问题转化为求证22lnxexxe．