【文档说明】专题9 立体几何中的表面积与侧面积问题（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练.docx，共(18)页，924.513 KB，由管理员店铺上传

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专题9：立体几何中的表面积与侧面积问题（解析版）⑴圆柱侧面积；lrS=2侧面⑵圆锥侧面积：lrS=侧面⑶圆台侧面积：lRlrS+=侧面hSV=柱体hSV=31锥体()13VhSSSS=++下下台体上上球的表面积和体积32

344RVRS==球球，.正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。1．在底面半径为2，高为22的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1：4，求圆柱的表面积.【答案】2(21)+【分析】由圆柱、圆锥的底

面面积比可得圆柱的底面半径和高分别为1、2，进而求其表面积即可.【详解】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，即圆柱底面半径1r=，若设圆柱的高为h，则有221222h−=，即2h=，∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，即：2222(21)S

rhr=+=+.【点睛】本题考查了圆柱的表面积计算，由圆锥内接圆柱及底面面积比求圆柱表面积，属于简单题.2．已知圆锥的底面半径为1，高为3，求圆锥的表面积.【答案】3.【分析】先求圆锥的侧面积，再求底面积，即可

得答案；【详解】解：设圆锥的母线长为l，则312l=+=，所以圆锥的表面积为1(12)3S=+=.【点睛】本题考查圆锥的表面积求解，考查运算求解能力，属于基础题.3．已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和.（1）求圆台的母线长.

（2）求圆台的表面积.【答案】（1）5（2）80π【分析】（1）由圆台的侧面积公式与两底面圆的面积之和的关系构建方程，求得母线；（2）由（1）可得圆台的母线，再由圆台的表面积的公式求得答案.【详解】（1）设圆台的母线长为l，则由题意得π(2

＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5；（2）由（1）可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.【点睛】本题考查由圆台的性质

求圆台的母线与表面积，属于基础题.4．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.【答案】160【分析】由于该直四棱柱的底面是菱形，所以求其中一个侧面的面积乘以4即可，由菱形其对角线垂直于勾股定理求得底面边长，再由矩形面积公式求得答案.【详解】如

图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝22AC22BD+＝224ab+＝200564+＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的

侧面积S＝4×8×5＝160.【点睛】本题考查求直四棱柱的侧面积，属于基础题.5．若长方体的三个面的面积分别是2222cm,3cm,6cm，求：（1）长方体的体对角线的长；（2）长方体的表面积.【答案】（1）6cm.（2）

2(222326)Scm=++表【分析】（1）设长方体的长，宽，高分别为cm,cm,cmabc，根据已知条件列出方程，求出,,abc，即可求出对角线；（2）根据已知条件，即可求解.【详解】（1）设长方体的长，宽，高分别为cm,cm,cmabc，如图

.可令2,3,6,abbcac===解得2,1,3.abc===2222222221116BDDDBDDDADABabc=+=++=++=，16cmBD=，∴该长方体的体对角线长为6cm.（2）2(222326)cmS=++表.【点睛】本题考查长方体面的面积与边

长的关系，明确长方体的对角线与长、宽、高的关系，属于基础题.6．如图，四面体PABC−的各棱长均为，求它的表面积.【答案】23【解析】【分析】因为四面体PABC−的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.【详解

】解：因为PBC是正三角形，其边长为，所以234PBCS=.因此，四面体PABC−的表面积223434PABCS−==.【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题.7．已知一个正三棱锥的侧面都是等

边三角形，侧棱长为4，求它的侧面积和全面积.【答案】123S=侧，163S=全【分析】由题意可知，该几何体是边长为4的正四面体，然后利用等边三角形的面积公式可计算出该几何体的侧面积和全面积.【详解】由于正三棱锥的侧

面都是等边三角形，则该几何体为正四面体，所以，23341234S==侧，23441634S==全.【点睛】本题考查正四面体侧面积和表面积的计算，考查计算能力，属于基础题.8．正四棱台两底面边长分别为3和9.（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角

为45，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.【答案】（1）723；（2）94.【分析】（1）设1O、O分别为上、下底面的中心，过1C作1CEAC⊥于E，过E作EFBC⊥于F，连接1CF

，则1CF为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积；（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.【详解】（1）如图，设1O、O分别为上、下底面的中心，过1C作1CEAC⊥于E，过E作EFBC⊥于

F，连接1CF，则1CF为正四棱台的斜高，由题意知145CCO=，112(93)322CECOEOCOCO=−=−=−=，又2sin453232EFCE===，∴斜高222211(32)333CFCEEF=+=+=，∴1(4349)337232S=+=侧；（2）由题意知，223

990SS+=+=上底下底，∴1(39)4902h+=斜，∴902151244h==斜，又9332EF−==，2294hhEF=−=斜.9．如图，四棱锥PABCD-的底面是正方形，E为AB的中点，PDCE⊥，1AE=，3PD=，13PC=.（1）证明：AD⊥平面PCD.（2）求三棱锥

BCEP−的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）23132+.【分析】（1）要证明AD⊥平面PCD，只需证明ADCD⊥，PDAD⊥即可；（2）只需计算EBC，EBP△，PBC的面积，相加即可.【详解】（1）证明：因为E为AB的中点，1AE=，所以2CDAB==，所以2

22CDPDPC+=，从而PDCD⊥.又PDCE⊥，CDCEC=，所以PD⊥底面ABCD，所以PDAD⊥.因为四边形ABCD是正方形，所以ADCD⊥.又CDPDD=，所以AD⊥平面PCD.（2）由（1）知AD⊥平面PCD，因为BC∥AD，所以BC⊥平面PC

D，因为PC平面PCD，所以BCPC⊥，所以PBC的面积为112131322BCPC==.易证PBCPBA△≌△，所以PBE△的面积为132.故三棱锥BCEP−的侧面积为11323131213222+++=.【点睛】本题考查线

面垂直的判定定理以及三棱锥侧面积的计算问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.10．如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，面BDE⊥平面ABCD．（1）证明：AC⊥平面BDE；（2）若ABD△为

等边三角形，AEEC⊥，EBBD⊥，三棱锥EACD−的体积为63，求四棱锥EABCD−的侧面积.【答案】（1）证明见详解；（2）2522+【分析】（1）通过面面垂直，找出交线，通过证明AC垂直于交线即可

证明线面垂直；（2）通过三棱锥EACD−的体积，求得四边形ABCD的边长，利用几何关系解得所有棱长，再计算棱锥的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD⊥，因为面BDE⊥平面ABCD，面BDE

面ABCDBD=，故AC⊥平面BDE.（2）设ABx=，在菱形ABCD中，由120ABC=，可得32AGGCx==，2xGBGD==.因为AEEC⊥，所以在RtAEC中，可得32EGx=.由BEBD⊥，知EBD为直角三角形.可得22BEx=.又由（

1）知ACBE⊥，易得BE⊥面ABCD所以三棱锥EACD−的体积：3116632243EACDVACGDBEx−===.故2x=.从而可得6AEECED===.又在EAD中，6AEED==，2AD=，

求得边AD上的高5h=.EAD的面积与ECD的面积均为12SADh==5.EAB的面积与EBC的面积均为12SABBE==2.故四棱锥EABCD−的侧面积为2522+.【点睛】本题考查由面面垂直，推证线

面垂直，以及棱锥侧面积的求解，属垂直关系综合基础题.11．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD6=，点E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，点P是MN上的一点．（1）证明：EP∥平面SBD；（2）求四棱锥S﹣ABCD的表面积．【答

案】（1）证明见解析（2）454+．【分析】（1）根据已知条件可证平面EMN∥平面SBD，即可证结论；（2）四棱锥的各侧面为全等的等腰三角形，只需求出底边的高，求出侧面积，即可求出全面积.【详解】（1）证明：连接BD，EM，EN，∵E，M，N分别是BC，CD，SC

的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，∵BD⊂平面SBD，EM⊄平面SBD，∴EM∥平面SBD，∵SD⊂平面SBD，MN⊄平面SBD，∴MN∥平面SBD，又EM⊂平面EMN，MN⊂平面EMN，MN∩EM＝M，∴平面EMN∥平面SBD，而EP⊂平面EMN，则EP∥平面SBD；

（2）解：在四棱锥S﹣ABCD中，由底面ABCD是边长为2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD6=，可知四棱锥S﹣ABCD是正四棱锥，又E为BC的中点，连接SE，则SE为四棱锥的斜高，可得22(6)15SE=−=，∴四棱锥S﹣ABCD的表面积S142522

4542=+=+．【点睛】本题考查面面平行的判定以及性质，考查正四棱锥的表面积，属于基础题.12．如图，在三棱柱111ABCABC−中，111,2,1,ACBCABBCBC====⊥平面ABC.（1）证明：平面11AACC⊥平面11BCCB（2）求三棱锥1BABC−的表面积.【答案】

（1）证明见解析（2）332+【分析】（1）要证明面面垂直，关键是证明线面垂直，根据条件转化为证明AC⊥平面11BCCB，再转化为证明ACBC⊥和1ACBC⊥；（2）根据（1）的垂直关系，计算各个棱长，分别求四个面的面积.【详解】（1）证明：因为1BC⊥平面ABC，所以1BCAC⊥因为1,2

ACBCAB===.所以222ACBCAB+=.即ACBC⊥又1BCBCC=.所以AC⊥平面11BCCB因为AC平面11AACC.所以平面11AACC⊥平面11BCCB（2）解：因为1BC⊥平面ABC，

所以11,BCACBCBC⊥⊥11111111,112222BCCBACSS====则112,2ABBB==，又2AB=，所以1ABB△是等边三角形，故1233(2)42ABBS==又111

122ABCS==所以三棱锥1BABC−的表面积为3333222++=【点睛】本题考查面面垂直的证明和计算几何体表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明

线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.13．A、B、C是球O表面上三点，AB=6㎝，∠ACB=30°，点O到△ABC所在截面的距离为5㎝，求球O

的表面积．【答案】2244cm【分析】根据正弦定理求出ABC截面圆的半径，再由距离求出球的半径，再求出其表面积。【详解】在ABC中2126ABrrACB===2225661R=+=22=4244SRcm=【点睛】

根据正弦定理求出ABC截面圆的半径，再由距离求出球的半径，再求出其表面积。14．已知,AB是球O的球面上两点，90AOB=，C为球面上的动点.若三棱锥OABC−体积的最大值为36，求球O的表面积.

【答案】144【分析】如图所示，当OC⊥面AOB时，三棱锥OABC−的体积最大，根据体积计算半径得到答案.【详解】如图所示：当OC⊥面AOB时，三棱锥OABC−的体积最大此时，设球O的半径为R，则311136,6326OABCCAOBVVRRRRR−−=====，24144SR=

=球.【点睛】本题考查了球的表面积，确定垂直时体积最大是解题的关键.走进高考1．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）如图，在四棱锥PABCD−中，ABCD∥，且90BAPCDP==.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PAPDABDC===，90APD=，且四棱锥PABCD−的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）623+.【详解】试题分析：（1）由90BAPCDP==，得ABAP⊥，CDPD⊥．从而得ABPD⊥，进而而AB⊥平面P

AD，由面面垂直的判定定理可得平面PAB⊥平面PAD；（2）设PAPDABDCa====，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且22,2ADaPOa==，由四棱锥PABCD−的体积为83，求

出2a=，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知90BAPCDP==，得ABAP⊥，CDPD⊥．由于ABCD∥，故ABPD⊥，从而AB⊥平面PAD．又ABÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2

）在平面PAD内作PEAD⊥，垂足为E．由（1）知，AB⊥面PAD，故ABPE⊥，可得PE⊥平面ABCD．设ABx=，则由已知可得2ADx=，22PEx=．故四棱锥PABCD−的体积31133PABCDVABADPEx−==．由题设得31833x=，故2x=．从而2P

APD==，22ADBC==，22PBPC==．可得四棱锥PABCD−的侧面积为111222PAPDPAABPDDC++21sin606232BC+=+2．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（

新课标Ⅰ）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BEABCD⊥平面，（I）证明：平面AEC⊥平面BED；（II）若120ABC=，,AEEC⊥三棱锥EACD−的体积为63，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析（2）3+25【分析】（1）由四

边形ABCD为菱形知AC⊥BD，由BE⊥平面ABCD知AC⊥BE，由线面垂直判定定理知AC⊥平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC⊥平面BED；（2）设AB=x，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在RtAEC

中，用x表示EG，在RtEBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥EACD−的体积为63求出x，即可求出三棱锥EACD−的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，故AC⊥平面BE

D.又AC平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED（2）设AB=x，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=32x,GB=GD=2x.因为AE⊥EC，所以在RtAEC中，可得EG=32x.连接EG，由BE⊥平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=22x.由已

知得，三棱锥E-ACD的体积3116632243EACDVACGDBEx−===.故x=2从而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.【点睛】本题考查线面垂直的判定

与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.3．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）图1是由矩形,ADEBRtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1,2ABBEB

F===，60FBC=，将其沿,ABBC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明图2中的,,,ACGD四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.【答案】(1)见详解；(2)

4.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED，RtABC和菱形BFGC内部的夹角，所以//ADBE，//BFCG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为AB是平面BCGE垂线，所以易证.(2)欲求四边形ACG

D的面积，需求出CG所对应的高，然后乘以CG即可．【详解】(1)证：//ADBE，//BFCG，又因为E和F粘在一起.//ADCG，A，C，G，D四点共面.又,ABBEABBC⊥⊥.AB⊥平面BCGE，AB平面ABC，平面ABC⊥平面BCGE，得证.(2)取CG的中点M，连结

,EMDM.因为//ABDE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DECG⊥，由已知，四边形BCGE是菱形，且60EBC=得EMCG⊥，故CG⊥平面DEM．因此DMCG⊥．在RtDEM△中，DE=1，3EM=，故2D

M=．所以四边形ACGD的面积为4.【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形ACGD的面积考查考生的空间想象能力.