【文档说明】上海市浦东新区2022届高三二模数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.061 MB，由小赞的店铺上传

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浦东新区2021学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12

题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.已知集合1,3,5A=，()2,B=+，则AB=__________.【答案】3,5【解析】【分析】利用集合的交运算求AB即可.【详解】由题设，{1

,3,5}(2,){3,5}AB=+=.故答案为：3,52.复数z满足(2i)5z+=（i为虚数单位），则z=________．【答案】5【解析】【分析】根据复数乘法、除法运算，求得复数z，代入求模公式，即可得答案.【详解】由题意得55(2i)2i2i(2

i)(2i)z−===−++−，所以222(1)5z=+−=，故答案为：53.若函数()()log1(01)afxxaa=+，的反函数图像经过点()13，，则=a________【答案】4【解析】【分析】利用函数与其反函数图象关于yx=对称即可求解.的【

详解】因为函数()()log1(01)afxxaa=+，的反函数图像经过点()13，，由函数与其反函数关于yx=对称可知，设点()13，关于yx=对称的点为()00,xy，即00003111322yxxy−=−−++=，解得0031xy

==，则函数()fx的图象经过点()3,1，即1log4a=，解得4a=，故答案为：4.4.直线11xtlyt=+=−：（t为参数，tR）的斜率为________．【答案】-1【解析】【分析】根据参数方程和普通方程的转化，将参数方程化为普通方程，根据斜截式即可求解.【详解】

将参数方程化为普通方程得：2yx=−+，所以斜率为1−故答案为：-15.首项为1，公比为12−的无穷等比数列na的各项和为______．【答案】23【解析】【分析】根据等比数列前n项和公式即可求解.【详解】由由等比数列前n项和公式可得11212113212nn−−

=−−−−，当n趋于无穷大的时候，na的各项和为23.故答案为：236.62xx−的二项展开式中的常数项为_______．【答案】160−【解析】【分析】先求出展开式通项公式()62162CrrrrTx−+

−=，令620r−=可得答案.【详解】62xx−的二项展开式的通项为()6621662C2CrrrrrrrTxxx−−+=−=−．令620r−=得3r=．所以62xx−的二项展开式的常数项为()336216C0−=−．故答案为：160−7.已知x

、y满足202300xyxyy+−+−，则4zyx=−的最小值为________．【答案】12−【解析】【分析】画出可行域再根据4yxz=+截距与z正相关，分析取最值时过的点求解即可【详解】不等式组表示的可行域如图：由4zyx=−可得4yxz=+，由图可

得当直线2yxz=−过点()3,0A时纵截距最小，即z最小，最小值为04312z=−=−故答案为：12−8.设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8，0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为________【答案】0.

98【解析】【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式计算．的【详解】由题意目标未被击中的概率是(10.8)(10.9)0.02−−=，所以目标被击中的概率为10.020.98−=．故答案为：0.98．9.圆锥的底面积和侧面积分别为9和15，则该圆锥母

线与底面所成角为___________.（用反三角表示）【答案】3arccos5【解析】【分析】圆锥的底面积和侧面积分别为9和15，由此得到底面半径和母线的比值，从而能求出该圆锥的母线与底面所成的角．【详解】解：∵圆锥的底面积和侧面积分别为9和

15，设底面圆的半径为r，母线长为l，该圆锥母线与底面所成角为215593rllrr===，∴该圆锥的母线与底面所成角的余弦值：3cos5rl==．则3arccos5=故答案为：3arccos5．10.已知双曲线2221(

0)4xybb−=右焦点为F，若双曲线上存在关于原点O对称的两点PQ、使4FPFQ=，则b的取值范围为_________．【答案】2b【解析】【分析】根据双曲线上关于原点对称的点，根据向量的坐标运算得到2224xyc+=−，然后练习双曲线方程，得()222284bcyb−=+，根据范围

即可求解.【详解】(),0Fc，设(,)Pxy，则(,)Qxy−−，()(),,,FPxcyFQxcy=−=−−−，()()24FPFQxcxcy=−−−−=，化简得2224xyc+=−，因为(,)Pxy满足双曲线

方程，所以的22214xyb−=，因此可得：()222284bcyb−=+，由20y得28c，又224cb=+，所以242bb.故答案为：2b11.若各项均为正数的有穷数列{}ny满足11ii

yy++，（**3,11,N,Nninin−）122022nyyy+++=,则满足不等式nynM+的正整数M的最大值为__．【答案】109【解析】【分析】根据11iiyy++，可得11nyyn+−，则有121111(1)

(2)[(1)]nyyyyyyyn++++++++++−，要使不等式nynM+成立，只要min()nMyn+即可，而1(1)nynynn++−+，再结合基本不等式即可得出答案．【详解】解：因为11iiyy++，所以211yy+，32112yyy

++，4321123yyyy+++，L所以11nyyn+−，故121111(1)(2)[(1)]nyyyyyyyn++++++++++−=1(1)2nnny−+，因为122022nyyy+++=，所以1(1

)20222nnny−+，则1202212nyn−−，要使不等式nynM+成立，只要min()nMyn+即可，而1(1)nynynn++−+，所以120221202231(1)21222nnynnnnn−+−+−+−=+−，因为202232022322303322n

nnn+=，当且仅当202232nn=，即2337n=时，取等号，又因*3,N,36233737nn，当36n=时，202231109.6722nn+−，当37n=时，202231109.6422nn+−，所以min202231()109.642

2nn+−，所以1(1)109.64nynynn++−+，所以正整数109M，即正整数M的最大值为109．故答案为：109．12.若函数()()2221fxxaxx=−+−的最大值为2，则由满足条件的实数a的值

组成的集合是__________．【答案】2,2−【解析】【分析】设()2,1mxx=−，()22,naxx=−，由()fxmnmn=可知2=a，由此可得结果.【详解】设()2,1mxx=−，()22,naxx=−，()

cos,fxmnmnmnmn==，2211mxx=+−=，222nxaxa=+−=，()fxa，又()max2fx=，2a=，解得：2a=，实数a的值组成的集合为2,2−.

故答案为：2,2−.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数最值求解参数值问题，解题关键是能够利用转化的思想，将函的数表示为向量数量积的形式，根据mnmn确定参数的取值.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一

个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.“22loglogab”是“ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由2

logx的单调性可知22loglogab即有ab，而反过来不一定成立，即可判断是否为充要条件【详解】根据对数函数单调性知：22loglogabab，但22loglogabab¿∴“22loglogab”是“ab”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了充分条件，应

用两个结论将其中一个作为条件推导出的结论是否为另一个来判断是否为充分、必要条件14.甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（）A.甲

平均产量高，甲产量稳定B.甲平均产量高，乙产量稳定C.乙平均产量高，甲产量稳定D.乙平均产量高，乙产量稳定【答案】B【解析】【分析】根据平均数计算公式11niixxn==和方差计算公式()2211ni

iSxxn==−，代入运算，并根据平均数是研究平均水平（或总体水平），方差是研究偏离程度（或稳定性），确定选项.【详解】对于甲：可得平均数80701005090785x+==+++方差()()()()()222222118078707810078507890782965S

=−+−−−−=+++同理对于乙：可得平均数72y=，方差22206S=∵7872,296206>∴甲平均产量高，乙产量稳定故选：B．15.将函数()sin2fxx=的图像向左平移4个单位后，得

到函数()gx的图像，设,,ABC为以上两个函数图像不共线的三个交点，则ABC的面积不可能为（）A.22B.2C.22D.24【答案】D【解析】【分析】先求得()gx的解析式，在同一坐标系内作出()()fxgx、图像，不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，分别求

得当C位于不同位置时，ABC的面积，根据规律，分析即可得答案.【详解】由题意得()sin2sin2cos242gxxxx=+=+=，在同一坐标系内作出()()fxgx、图

像，如下图所示令sin2cos2xx=，解得,82kxkZ=+，不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，所以252,,,8282AB−若C点位于192,82C时，ABC的面积19222882S=−=

，故C正确当C点位于2132,82C−时，ABC的面积1135222882S=−=，当C点位于3172,82C时，ABC的面积11722288S=−=，故B正确

，因为312ACAC=，此时3ABC△为1ABC面积的2倍，以此类推，当C位于不同位置时，ABC的面积应为22的整数倍，故A正确，D错误，故选：D16.已知()fxx=，()2gxxax=−，()a

R，实数12xx、满足12xx，设()()1212fxfxpxx−=−，()()1212gxgxqxx−=−，现有如下两个结论：①对于任意的实数a，存在实数12xx、，使得pq=；②存在实数0a，对于任意的(121xxa−+、，，都有pq；则

（）A.①②均正确B.①②均不正确C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确【答案】C【解析】【分析】对①，根据()()1212fxfxpxx−=−，()()1212gxgxqxx−=−的几何意义，判断得

出()fxx=与()2gxxax=−一定有两个交点分析即可对②，通过化简pq，将题意转换为：存在实数0a，使得()2hxxaxx=−−在(1a−+，上为减函数，再分析出当0x时函数有增区间，推

出矛盾即可【详解】对①，()()1212fxfxpxx−=−的几何意义为()()11,xfx与()()22,xfx两点间的斜率，同理()()1212gxgxqxx−=−的几何意义为()()11,xgx与()()22,xgx两点间的斜率.数形结合可得，当a<0时，

存在120xx=；当0a时，存在120xx=，使得()()()()1122,fxgxfxgx==，即pq=成立.即对于任意的实数a，存在实数12xx、，使得pq=，故①正确；对②，若存在实数0a，对于任意的(121xxa−+、，，都有pq，即()()()()1212121

2fxfxgxgxxxxx−−−−，即()()()()1212fxfxgxgx−−，即()()()()2211gxfxgxfx−−.即存在实数0a，对于任意的(121xxa−+、，，()()()()2211gxfxgxfx−−恒成立

.设()()()hxgxfx=−，则()()21hxhx，即()()()2hxgxfxxaxx=−=−−为减函数.故原题意可转化为：存在实数0a，使得()2hxxaxx=−−在(1a−+，上为减函数.因为当0x时，(

)()21hxxax=−+，因为()hx对称轴为12ax+=，故当1,12axa++时()hx一定为增函数，故不存在实数0a，使得()2hxxaxx=−−在(1a−+，上为减函数.故②错误故选：C三、解答题（本大

题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，直三棱柱111ABCABC-中，90ACB=，12CACBCC===，点D是线段11AB的中点．（1）求三棱柱111ABC

ABC-的体积；（2）已知P为侧棱1BB的中点，求点P到平面BCD的距离．【答案】（1）4（2）55【解析】【分析】（1）直接代入柱体体积公式VSh=计算；（2）利用等体积法PBCDDBCPVV−−=，进行求解．【小问1详解】122242VSh===【小问2详解】设点P到平面BCD

的距离为d，由题知11AC⊥平面11BCBC，即1A到平面11BCBC的距离为2，因为点D是线段11AB的中点，所以D到平面11BCBC的距离为1．在△1BBD中，22116BDBBDB=+=，在△1CCD中，22116CDCCDC=

+=，22126152BCDS=−=，又BCPS=11212=，又由PBCDDBCPVV−−=，即11133BCDBCPSdS=，55d=．18.已知函数()()sincosfxtxxtR=−（1）若函数()fx为偶

函数，求实数t的值；（2）当3t=时，在ABC中（,,ABC所对的边分别为a、b、c），若()223fAc==，，且ABC的面积为23，求a的值．【答案】（1）0t=（2）733a=【解析】【分析】（1）根据偶函数满足()()fxfx−=，即可求解.（2）先有辅助角公式得()π2sin6fxx

=−，代入()22fA=，即可求解π3A=，然后根据余弦定理即可求解.【小问1详解】任取()sincosxRfxtxx−=−−，因为函数()fx为偶函数.所以()()0fxfxt−==（法二：特值法，再验证）由函数()fx为偶函数知ππ-=22f

f，（可取不同特殊值）得tt−=，t=0又当0=t时，()cosfxx=−，函数()fx为偶函数，0t=．（法三：观察法，需举反例）()sincosfxtxx=−，0=t时，函数()fx为

偶函数，()cosfxx=−任选()cosxRfxx−=−，，则有()()cosxRfxxfx−=−=，当0t时，举反例，如ππππ-+0--06666ffff，，此时()fx为非奇非偶函数，所以，函数()fx

为偶函数时0=t；【小问2详解】当3t=时,()π3sincos2sin6fxxxx=−=−，由()22fA=，则有()ππ2sin220π63AAA−==，，由题意18si

n2323SbcAb===，在ABC中，22222881732cos3233329abcbcA=+−=+−=，则733a=．19.某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y（微克）随着时间x（小时）变化的函数关

系式近似为2(06)812(612)xxyxxx=−−．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？（2）某次实验：

先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？【答案】（1）163小时（2）263小时【解析】【分析】（1）根据4y，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求

解即可.【小问1详解】设服用1粒药，经过x小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克，可得06248xxx−，解得1663x，所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果．【小问2详解】设经过x小时能有效抗病毒，即

血液含药量须不低于4微克；若06x，药物浓度248xx−，解得1663x，若612x，药物浓度2(6)(12)48(6)xxx−−+−−，化简得2201000xx−+，所以612x；若1218x，药物浓度12(6)4x−−，解得14x，所以1214x

；综上16[,14]3x，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时．20.已知12FF、分别为椭圆E：22143xy+=的左、右焦点，过1F的直线l交椭圆E于,AB两点．（1）当直线l垂直于x轴时，求弦长AB；（2）当2OAOB=−时，求

直线l的方程；（3）记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线6x=于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）3（2）()21yx=+（3）证明见解析；定点()()4080，，，【解析】【分析】（1）将=1x−代入椭圆方程求解即可；（2）由（

1）知当直线l的斜率存在，设直线l的方程为：()1ykx=+，联立直线与椭圆的方程，得出()22223484120kxkxk+++−=，设()()1122AxyBxy，，，可得韦达定理，代入2OAOB=−计算可得斜率；（3）分

析当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在x轴上，再以CD为直径的圆的方程，令0y=，代入韦达定理化简可得定点【小问1详解】由题知()110F−，，将=1x−代入椭圆方程得332yAB==，【小问2详解】由（1）知当直线l的斜率不存在时，331122

AB−−−，，，，此时14OAOB=，不符合题意，舍去直线l的斜率存在，设直线l的方程为：()1ykx=+，联立()221431xyykx+==+得()22223484120kxkxk+++−=，设()()1122

AxyBxy，，，，则2122212283441234kxxkkxxk−+=+−=+，由()()()()2222222121212121212224128111()13434kkOAOBxxyyxxkxkxkxxkx

xkkkkkk−−=+=+++=++++=+++++，解得222kk==，直线l的方程为()21yx=+．．【小问3详解】①当直线l的斜率不存在时，()33112022ABT−−−，，，，，，

直线AT的方程为112yx=−+，C点坐标为()62−，，直线BT的方程为112yx=−，D点坐标为()62，，以CD为直径的圆方程为()2264xy−+=，由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在x轴上，令0y=，得48xx==，．即圆过点()()4080

，，，．②当直线l的斜率存在时，同（2）联立，直线AT的方程为()1122yyxx=−−，C点坐标为11462yx−，，同理D点坐标为22462yx−，，以CD为直径的圆的方程为()()12124466022yyxxyyxx−−+−−=−−

，令0y=，得()2121212161236024yyxxxxxx−++=−++，由()()()()22222121222121212122241281611611343416441282424243434kkkkxkxkkyyk

kxxxxxxxxkk−−++++++===−−−−++−++−+++，得212320xx−+=，解得48xx==，，即圆过点()()4080，，，．综上可得，以CD为直径的圆恒过定点()()40

80，，，．21.已知数列nx．若存在BR，使得nxB−为递减数列，则nx称为“B型数列”．（1）是否存在BR使得有穷数列132，，为B型数列？若是，写出B的一个值；否则，说明理由；（2）已知2022项的数列nu中，()()12022n

nun=−−（*12022nNn，）．求使得nu为B型数列的实数B的取值范围；（3）已知存在唯一的BR，使得无穷数列na是B型数列．证明：存在递增的无穷正整数列12knnn，使

得21kna−为递增数列，2kna为递减数列．【答案】（1）存在；2B=（2）1122B−，（3）证明见解析【解析】【分析】（1）取2B=，可得答案；（2）当2nk=（*11010kNk

，）时，由()()22221221kkkkuBuBuBuB++−−−−，解得12B，同理，当21nk=−时得12B−，从而得到B的范围；（3）首先证明：对任意*NN，①存在pN，使得paB；②存在qN，使得qaB．用反证法证明①，②可同理得到答案；根据①、②可知，存

在11n，使得1naB，存在21nn，使得2naB，由①的证明知，如此递归选择的12knnn使得21kna−递增且2kna递减即为所求．【小问1详解】是，如：取2B=，则123222−−−，，为递减数列．（232B+时均可）．【小问2详解】

当2nk=（*11010kNk，）时，()()22221221kkkkuBuBuBuB++−−−−，解得()()()()2220222202121222022220212kkBkk−−−=−+−，同理，当21nk=−（*11011kNk，）时，()()22212212

−−−−−−kkkkuBuBuBuB，解得12B−，而此时nu确为B型数列，故1122B−，为所求．小问3详解】首先证明：对任意*NN，①存在pN，使得paB；②存在qN，使得qaB．用反证法证明①，②可同理得，若存在*mN，

使得当pm时，均有paB，则由B型数列定义，12++mmaa，设113nndminaBaB+=−−−，由题意，0d，当pm时，()()1ppaBdaBd+−+−+，而当1nm时，13nndaBa

B+−−−，故()()11nnnnaBdaBdaBdaBd++−+−−−+−+．因此，na也是()Bd+型数列，与B的唯一性矛盾，证毕．根据①、②可知，存在11n，使得1naB，存在21nn，使得2n

aB，由此，若212kknnaBa−，则存在212kknn+，使得21knaB+，又存在2221kknn++，使得22knaB+，由①的证明知，如此递归选择的12knnn，使得21kna−递增且2kna递减，即为所求．【点睛】本题考查了数列新定义的问

题，考查了数列的单调性及反证法。要求学生有较强的逻辑能力和计算能力.【获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com