【文档说明】2021人教B版数学必修第三册课时分层作业：7.4　数学建模活动：周期现象的描述 .docx，共(9)页，175.639 KB，由小赞的店铺上传

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课时分层作业(十三)数学建模活动：周期现象的描述(建议用时：40分钟)一、选择题1．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(单位：s)离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由s1＝5sin2t＋π6，s2

＝10cos2t确定，则当t＝2π3s时，s1与s2的大小关系是()A．s1>s2B．s1<s2C．s1＝s2D．不能确定C[当t＝2π3时，s1＝5sin4π3＋π6＝5sin3π2＝－5，当t

＝2π3时，s2＝10cos4π3＝10×－12＝－5，故s1＝s2.]2．已知电流强度I与时间t的关系为I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，其在一个周期内的图像如图所示，则该函数的解析式为()A．I＝300sin

50πt＋π3B．I＝300sin50πt－π3C．I＝300sin100πt＋π3D．I＝300sin100πt－π3C[由题图可推知，A＝300，T＝21150＋1300＝150，ω＝2πT＝

100π，I＝300sin(100πt＋φ)．代入点－1300，0，得100π×－1300＋φ＝0，得φ＝π3，故I＝300sin100πt＋π3.]3．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正

确的是()A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时加速度最大B[由图形可知振幅为5，故选B．]4．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|

φ|<π2的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3A[由题意知f(0)＝2sinφ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，T＝2ππ3＝6.故选A．

]5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x

季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y100009500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A．10000元B．9500元

C．9000元D．8500元C[因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取3π2，φ可取π，即y＝500s

in3π2x＋π＋9500.当x＝3时，y＝9000.]二、填空题6．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝52sin100πt－π2，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5s内往复运动________次．25[据I＝52

sin100πt－π2知ω＝100πrad/s，该电流的周期为T＝2πω＝2π100π＝150s，从而频率为每秒50次，0.5s往复运行25次．]7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，

将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．10sinπt60[将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时

，d＝10，可得ω＝π60，所以d＝10sinπt60.]8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acosπ6(x－6)(x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，

为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.20.5[由题意得a＋A＝28，a－A＝18，所以a＝23，A＝5，所以y＝23＋5cosπ6(x－6)，当x＝10时，y＝23＋5×－12＝20.5.]三、解答题9．将自行车支起来，使后轮

能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度ωrad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r.(1)求气针P的纵坐标y关于时间t的

函数关系，并求出P的运动周期；(2)当φ＝π6，r＝ω＝1时，作出其图像．[解](1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦线．所以y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝2πω.(2)当φ＝π6，r＝ω＝1时，y＝sint＋π

6，如图，其图像是将y＝sint的图像向左平移π6个单位长度得到的．10．如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始

计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.[解](1)设在ts时，摩天轮上某人在高hm处．这时此人所转过的角为2π30t＝

π15t，故在ts时，此人相对于地面的高度为h＝10sinπ15t＋12(t≥0)．(2)由10sinπ15t＋12≥17，得sinπ15t≥12，则52≤t≤252.故此人有10s相对于地面的高度不小于17m.11．设y＝f(t)是

某港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观测，函数y＝f(t)

的图像可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图像．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是()A．y＝12＋3sinπ6t，t∈[0,24]B．y＝12＋3sinπ12t＋π，t∈[

0,24]C．y＝12＋3sinπ12t，t∈[0,24]D．y＝12＋3sinπ12t＋π2，t∈[0,24]A[由已知数据可得y＝f(t)的周期T＝12，所以ω＝2πT＝π6.由已知可得振幅A＝3，k＝12.又当t＝0

时，y＝12，所以令π6×0＋φ＝0得φ＝0，故y＝12＋3sinπ6t，t∈[0,24]．]12．(多选题)已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝2si

nt＋π4.给出的下列说法中正确的是()A．小球开始时在平衡位置上方2cm处B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处C．经过2πs小球重复振动一次D．小球振动的频率为12πABCD[当t＝0时，s＝2sin

0＋π4＝2，故A正确；smin＝－2，故B正确；函数的最小正周期T＝2π，故C正确．频率f＝1T＝12π，D也正确．]13．(一题两空)一个单摆的平面图如图所示．设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，

并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角．α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝Asinωt＋π2，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝π3，且每经过πs小球回到

初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是________________．π3α＝π3sin2t＋π2，t∈[0，＋∞)[因为当t＝0时，α＝π3，所以π3＝Asinπ2，所以A＝π3.又因为周期T＝

π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故所求的函数解析式是α＝π3sin2t＋π2，t∈[0，＋∞)．]14．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φ<π2，函数图像如图所示，则φ＝________.π

6[根据图像，知16，0，1112，0两点的距离刚好是34个周期，所以34T＝1112－16＝34.所以T＝1，则ω＝2πT＝2π.因为当t＝16时，函数取得最大值，所以2π×16＋φ＝π2＋2

kπ，k∈Z，又0<φ<π2，所以φ＝π6.]15．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数

，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)试用一个正弦型三

角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？[解](1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0,0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知

f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.根据上述分析可得2πω＝12，故ω＝π6，且－A＋

B＝100，A＋B＝500，解得A＝200，B＝300.根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大，故sin2×π6＋φ＝－1，且sin8×π6＋φ＝1.又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(

x)＝200sinπ6x－5π6＋300.(2)由条件可知200sinπ6x－5π6＋300≥400，化简得sinπ6x－5π6≥12⇒2kπ＋π6≤π6x－5π6≤2kπ＋5π6，k∈Z，解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.因为

x∈N*，且1≤x≤12，所以x＝6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com