【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册4.3 对数 精品学案含解析【高考】.docx，共(13)页，459.026 KB，由小赞的店铺上传

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14.3对数目标导航1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．4.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.5.掌握换底公式及其推论.6.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识解读知识点一对数的概念1．对数的定义：一般

地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的，N叫做真数．2．常用对数与自然对数知识点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒loga

N＝.(2)对数恒等式：logaNa＝；logaax＝(a>0，且a≠1，N>0)．知识点三对数的性质1．loga1＝(a>0，且a≠1)．2．logaa＝(a>0，且a≠1)．3．零和负数．知识点四

对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)logaMN＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．2知识点五换底公式1．logab＝logcblogca(a>0，且a≠

1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论(1)logaN＝1logNa(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．(2)lognmab＝mnlogab(a>0，且a≠1，b>0)．(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，

d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．跟踪训练一、单选题1．下列运算中，正确的是（）A．3log239=B．233(0)aaaa=C．()2333381−+=D．22122lg31009−+=−2．下列等式中，正确的是（）A．nnaa=B．222l

og33−=C．()()126355−=−D．132222=3．已知lg20.3010,lg70.8451，则lg9.8的值约为（精确到0.001）（）A．0.990B．0.991C．0.992D．0.9934．某品牌计算器在计算对数logab时需按“log（a，b）

”．某生在计算logab时（其中1a且1b）顺序弄错，误按“log（b，a）”，所得结果为正确值的4倍，则（）A．2ab=B．2ba=C．2ab=D．2ba=5．计算：0ln221.1e0.5lg252lg2−+−++=（）A．0B．1C．2D．36．牛顿冷却定律描述物体

在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T，则经过一定时间t分钟后的温度T满足()012thaaTTTT−=−，h称为半衰期，其中aT是环境温度．若25aT=℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约

还需要（参考数据：lg30.48，lg50.70，lg111.04）（）3A．3.5分钟B．4.5分钟C．5.5分钟D．6.5分钟7．已知2log3m=，3log7n=，则42log56=（）A．3

1mnmn++B．321mnmn++++C．31mnmnm+++D．31mnmnm+−+8．科学记数法是一种记数的方法.把一个数x表示成a与10的n次幂相乘的形式，其中110,anN„.当0x时，lglgxna=+.若一个正整数m的16次方是12位数，则m是（）（参考数据：lg20.30,

lg30.48）A．4B．5C．6D．7二、多选题9．若0,0xy，0,1,aanN，则（）A．1logloganaxxn=B．(log)lognnaaxx=C．loglogaaxxnn=D．loglognaaxxn=10．下列运算中正确的是（）

A．383log8log5log5=B．1383272−=C．2(3)3−=−D．()2log71lnlne72−+=11．若104a=，1025b=，则（）A．2ab+=B．1ba−=C．28

lg2abD．lg6ba−12．下列命题正确的是（）A．0,0,log()loglog+=+aaaxyxyxyB．0,0,logloglog()=aaaxyxyxyC．0,0,ln()

lnln=+abababD．log1,0,=ababab三、填空题13．方程()2lnlog0x=的解是_________．14．若log86x=，则2logx=___________.15．若1a，1b且lg1lgbba+=，则()()lg1lg1ab−+−的值

___．416．计算()32log2lg2lg2lg5lg53−++−=___________四、解答题17．化简求值：(1)22lg25lg32lg5lg20(lg2)5+++；(2)()2140322764232338813−−−−．18．求值5lo

g32333322log2loglog85(lg5)lg2lg509−+−++19．（1）已知223xx−−=，求44xx−+的值；（2）化简并计算110328110.25()lg162l5g()2722−−+−−+.20．（1）已知2log3a=，37b=，

试用,ab表示12log56；（2）已知3log2a=，3log7b=，试用,ab表示2849log84.3对数目标导航1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．4.掌

握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.5.掌握换底公式及其推论.6.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识解读知识点一对数的概念1．对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做

对数的，N叫做真数．2．常用对数与自然对数5【答案】x＝logaN真数知识点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝.(2)对数恒等式：logaNa＝；logaax＝(a>0，且a≠1，N>0)．【答

案】xNx知识点三对数的性质1．loga1＝(a>0，且a≠1)．2．logaa＝(a>0，且a≠1)．3．零和负数．【答案】01没有对数知识点四对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)logaMN＝lo

gaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点五换底公式1．logab＝logcblogca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论(1)logaN＝1logNa(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．(

2)lognmab＝mnlogab(a>0，且a≠1，b>0)．(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．跟踪训练一、单选题1．下列运算中，正确的是（）A．3l

og239=B．233(0)aaaa=6C．()2333381−+=D．22122lg31009−+=−【答案】C【分析】根据对数和指数的运算法则逐项计算即可.【详解】3log232=，故A错误；2233722(0)aaaaaa==，故B错误；()2233333

3832341−+=−+=−+=，故C正确；22191lg2310044−+=−=，故D错误.故选：C.2．下列等式中，正确的是（）A．nnaa=B．222log33−=C．()()126355−=−D．132222=【答案】D【分析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即

可.【详解】对于A，当n为奇数时，nnaa=，当n为偶数时，nnaa=，错误；对于B，2222422log3log4log3log33−=−=，错误；对于C，()()112633555−=−，错误；对于D，()11111123333222222882==

==，正确.故选：D.3．已知lg20.3010,lg70.8451，则lg9.8的值约为（精确到0.001）（）A．0.990B．0.991C．0.992D．0.993【答案】B【分析】利用对数的运算性质将lg9.8化为lg2和lg7的形式，代入lg2和lg7的值即可得解.【

详解】98lg9.8lg10=49lg5=lg49lg52lg7(1lg2)=−=−−2lg7lg21=+−20.84510.30101+−0.9912=0.991.故选：B74．某品牌计算器在计算对数log

ab时需按“log（a，b）”．某生在计算logab时（其中1a且1b）顺序弄错，误按“log（b，a）”，所得结果为正确值的4倍，则（）A．2ab=B．2ba=C．2ab=D．2ba=【答案】C【分析】由题意可得log4logbaab=，然后利用换

底公式化简可求得结果【详解】解：由题log4logbaab=，∴ln4lnlnlnabba=，即()()22ln2lnab=，由于1a且1b，∴ln2lnab=，即2ab=．故选：C5．计算：0ln221.1e0.5lg252lg2−+−++=（）A．0B．1C．

2D．3【答案】B【分析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得；【详解】解：0ln221.1e0.5lg252lg2−+−++1242lg52lg2=+−++()12lg52121=−+=−+=；故选：B6

．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T，则经过一定时间t分钟后的温度T满足()012thaaTTTT−=−，h称为半衰期，其中aT是环境温度．若25aT=℃，现有一杯80℃的热水

降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：lg30.48，lg50.70，lg111.04）（）A．3.5分钟B．4.5分钟C．5.5分钟D．6.5分钟【答案】C【分析】根据已知条件代入公式计算可得11102

11h=，再把该值代入，利用对数的运算性质8及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，25aT=℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得()11752580252h−=−，所以11501025511h==，又水温从75℃降至55℃，所以()155257

5252ht−=−，即13032505th==，所以11110322115ttthh===，所以10113lg3lg3lg50.480.75log5.51051lg1111.04lg11t−−====−−，

所以水温从75℃降至55℃，大约还需要5.5分钟.故选：C.7．已知2log3m=，3log7n=，则42log56=（）A．31mnmn++B．321mnmn++++C．31mnmnm+++D．31mnmnm+−+【答案】C【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计

算.【详解】由换底公式得：223log7log3log7mn==，71log2mn=4242424278log5678logloglog=+=，其中4277771111711log421log61log2log311logmnmnmmnn=====+++++++，42

4222233383242logloglogloglo67g1mnm====+++，故42313log5611mnmmnmmnmnmmn+=++=+++++故选：C8．科学记数法是一种记数的方法.把一个数x表示成

a与10的n次幂相乘的形式，其中110,anN„.当0x时，lglgxna=+.若一个正整数m的16次方是12位数，则m是（）9（参考数据：lg20.30,lg30.48）A．4B．5C．6D．7【答案】B【分析】根据题意得16lglgmna=+，进而结

合题意得11n=，再根据0lg1a得113lg164m，进而得5m=.【详解】解:由题意可设16lglgmna=+，因为正整数m的16次方是12位数，所以11n=，所以16lg11lgma=+，因为110a，所以0lg1a，所以1116lg

12m，则113lg164m，又lg42lg20.6,lg51lg20.7,lg6lg2lg30==−=+.78，所以5m=.故选：B二、多选题9．若0,0xy，0,1,aan

N，则（）A．1logloganaxxn=B．(log)lognnaaxx=C．loglogaaxxnn=D．loglognaaxxn=【答案】AD【分析】根据对数的运算性质逐一运算即可得出答案.【详解】解：对于A，1logloglog1

anaaxxxnn==，故A正确；对于B，loglognaaxnx=，故B错误；对于C，logloglogaaaxnxn−=，故C错误；对于D，log1loglognaaaxxxnn==，故D正确.故选：A

D.10．下列运算中正确的是（）A．383log8log5log5=B．1383272−=C．2(3)3−=−D．()2log71lnlne72−+=【答案】BD10【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可.【详解】因为3583log8log8log5log5=

，所以A错误；因为11113333333827333278222−====，所以B正确；因为2(3)|3|33−=−=−−，所以C错误；因为()()22log7log71ln

lne2ln17072−+=+=+=，所以D正确.故选：BD.11．若104a=，1025b=，则（）A．2ab+=B．1ba−=C．28lg2abD．lg6ba−【答案】ACD【分析

】利用指对数的运算性质及其关系求出ab+、ba−、ab，结合对数函数的单调性判断各选项的正误.【详解】由题设，10100ab+=，即2ab+=，A正确；25104ba−=，即2524lglglg644ba−==

，B错误，D正确；由2lg2,2lg5ab==，则24lg2lg54lg2lg48lg2ab==，C正确；故选：ACD12．下列命题正确的是（）A．0,0,log()loglog+=+aaaxyxyxyB．

0,0,logloglog()=aaaxyxyxyC．0,0,ln()lnln=+abababD．log1,0,=ababab【答案】BCD【分析】由对数运算性质log()logloga

aaxyxy=+可以判断选项A，取1xy==，即可判断选项B，由对数运算性质ln()lnlnabab=+与logabab=可以判断选项C与D.【详解】对于选项A，由对数运算性质知：,0xy有log()loglogaaaxyxy=+，而log()log

log++aaaxyxy，选项A错误；11对于选项B，当1xy==时，logloglog()aaaxyxy=成立，选项B正确；对于选项C，0,0,ln()lnln=+ababab，选项C正确；对于选项D

，0,0,ln()lnln=+ababab，选项D正确．故选：BCD.三、填空题13．方程()2lnlog0x=的解是_________．【答案】2【分析】根据对数的运算法则和运算性质，即可求解.【详解】由对数的运算性质，可得()2

lnlog0x=，可得2log1x=，解得2x=．故答案为：2.14．若log86x=，则2logx=___________.【答案】12【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得.【详解】解：因为log86x=，所以22log86logx=，即223log26logx=，即23

6logx=，所以21log2x=；故答案为：1215．若1a，1b且lg1lgbba+=，则()()lg1lg1ab−+−的值___．【答案】0【分析】由题意可得abab+=，然后对()()lg

1lg1ab−+−化简计算即可【详解】1aQ，1b且lg1lgbba+=，1bba+=，abab+=，()()()()()lg1lg1lg11lg1lg10abababab−+−=−−=−−+==．故答案为：0．

16．计算()32log2lg2lg2lg5lg53−++−=___________12【答案】12【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答【详解】()332log2log2111lg2lg2lg5lg53lg2(lg2lg5)lg5(3)lg2lg522−−++−=

++−=+−=.故答案为：12四、解答题17．化简求值：(1)22lg25lg32lg5lg20(lg2)5+++；(2)()2140322764232338813−−−−．【答案】(1

)3；(2)0【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可得出答案；（2）根据指数的运算性质计算即可得解.【详解】(1)解：22lg25lg32lg5lg20(lg2)5+++()()2525lg25lg

2lg52lg2lg5lg2=++++()()22lg100lg52lg2lg5lg2=+++()22lg5lg2=++3=；(2)解：()2140322764232338813−−

−−23339922816=−−99044=−=.18．求值5log32333322log2loglog85(lg5)lg2lg509−+−++【答案】0【

分析】根据对数的运算法则直接计算可得.【详解】原式2233332log4loglog83(lg5)2lg2lg5(lg2)9−+−+++=13239log483(lg5lg2)231032=−++=−+=.19．（1）已

知223xx−−=，求44xx−+的值；（2）化简并计算110328110.25()lg162l5g()2722−−+−−+.【答案】（1）11；（2）52.【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.（2）根据指数幂，对数的运算性质即可求解.【详解】解

：（1）223xx−−=，2(22)9xx−−=，4429xx−+−=，4411xx−+=.（2）原式1120.5()2lg22lg513−−=+−−+3522122=+−+=.20．（1）已知2log3a=，37b=，试用,ab表示12log56；（2）已知3

log2a=，3log7b=，试用,ab表示2849log8．【答案】（1）32aba++；（2）232baab−+.【分析】（1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解.【详解】（1）b=37，logb=37，2log3a=

，31log2a=，33312333log563log2log73log562log1212log221babaaa+++====+++；（2）2log3a=，3log7b=，33333283333349loglog49log82log73log249238

log8log28log4log72log2log72baab−−−====+++