【文档说明】第1章 三角形的证明（培优篇）-【挑战满分】2021-2022学年八年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）.docx，共(46)页，1.596 MB，由管理员店铺上传

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第1章三角形的证明（培优篇）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0,n)是y轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（）A．(0,)B．(0,)C．(0,3)D．(0,4)

2．如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，已知90ADBACB==，45CAB=，2CD=，5BC=，则四边形ABCD的面积为（）A．22B．3C．72D．43．如图，在△ABC中，AB

＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（）A．90°B．92°C．95°D．98°

4．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝12BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BCN；②GF＝12EF；③∠GNC＝120

°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）A．B．C．D．6．两个直角三

角形如图放置，则∠BFE与∠CAF的度数之比等于()A．8B．9C．10D．117．如图，在矩形ABCD中，2BCAB=，ADC的平分线交边BC于点E，AHDE⊥于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF

于点O.给出下列命题：①AEBAEH=；②22DHEH=；③12HOAE=；④2BCBFEH−=.其中正确命题为（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④8．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）A．45°B．45°或135°C．

45°或125°D．135°9．如图，等边三角形ABC，6AB=，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则NDCN+的最小值为（）A．3B．23C．33D．610．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB

＝4，顶点A，B分别在x正半轴和y轴正半轴上滑动，连接OC．当OC的长度最大时，点C的坐标为（）A．(2，23)B．(4，23)C．(2，3)D．(4，3)二、填空题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）11．如图，

在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，点D为AC边上一点，过点D作DE∥AB，交BC于点E，且DE＝BE，则∠BDE的度数是________．12．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点P，∠ABC＋∠ADC＝180°

，BD平分∠ABC，AD＝CD，过D作DE⊥BC于E，若AB＝5，BC＝12，则CE＝_______．13．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠

APB的度数为___．14．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．

15．如图，ABC中，90ACB=，30A=，以B为圆心，BC为半径作弧，交AB于点D，分别以C，D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点E，射线BE交AC于点F，若4AF=，则BD的长为______；16．如

图，在ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，并且相交于点F，且70DFE=，则DAE的度数是______．17．如图，等边△ABC，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为

2，则DB＝______________．18．如图，在边长为2的等边ABC中，射线BDAC⊥于点D，将ABD△沿射线BD平移，得到EGF△，连接CF、CG，则CFCG+的最小值为______．19．如图，等边三角形ABC是由3

个全等的三角形和一个小等边三角形DEF无缝拼接而成．若DF＝2AF，AB＝213，则DE的长是_____．三、解答题（本大题共8小题，共84分）20．（10分）如图，在ABC中，ABAC=，ADAE=．(1)若40BAD=，求EDC的度数．(2)判断

BAD与EDC之间的数量关系，并说明理由．21．（10分）已知，如图，ADBE∥，C为BE上一点，CD与AE相交于点F，连接AC．12=，34=．（1）求证：ABCD∥；（2）已知12cmAE=，5cmAB=，13cm=BE，求AC的长度．22．（10分）如图，直线l与m分别是

△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．(1)若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？(2)若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．23．（10分）如图，已知点B（-2，0），C（2，0），A

为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠ABD=∠ACD．（1）求证：∠BDC=∠BAC；（2）求证：DA平分∠CDM；（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果

不变，请求出∠BAC的度数？24．（10分）在锐角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D．(1)如图1，过点B作BG⊥AC于点G，求证：AC=BF；(2)动点P从点D出发，沿射线DB运动，连接AP，过点A作AQ⊥AP，且满足APAQ=．①如图2，当点P在线线段BD

上时，连接PQ分别交AD、AC于点M、N．请问是否存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，若有，求此刻∠APD的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ，交直线AD与点F，当点P在线段BD上时，试猜想BP和DF的数量关系并证明；当点P在DB的延长线上时，若27A

DFD=，请直接写出PBBD的值．25．（10分）如图，四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，ABAD=，AG⊥CD于点G．(1)如图1，求证：AG＝CG；(2)如图2，延长AB交DC的延长线于点F，点E在DG上，连接AE，且∠AEF＝2∠F，求证：F

G＝AE+EG；(3)如图3，在（2）的条件下，点H在CB的延长线上，连接EH，EH交AG于点N，连接CN，且=CNAE,当BH＝5，EF＝9时，求NG的长．26．（12分）如图①，CDE是四边形ABCD的一个外角，ADBC∥，BCBD=，点F在CD的延长线上，FA

BFBA=，FGAE⊥，垂足为G．（1）求证：①DC平分BDE；②BCDGAG+=．（2）如图②，若4AB=，3BC=，1DG=．①求AFD的度数；②直接写出四边形ABCF的面积．27．（12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（

1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝AE．我们把这个数学模型

称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形AB

CD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1S2（填“＞、＝、＜”）参考答案1．B解：过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=-34x+3，令x=0，得y=3；令y=0，x=4，∴A（4，

0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴AB=5，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=3-n，∴DA=OA=4，∴DB=5-4=1，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+12=（3-n）2，解得n

=43，∴点C的坐标为（0，43）．故选B．2．B【分析】如图，延长BC，AD，二线交于点E，设AC，BD的交点为点M，过点C分别作CG⊥DE，垂足为G，CF⊥DB，垂足为F，证明△AGC≌△BFC即可．解：如图，延长BC，AD，二线交于点E，设AC，BD的交点为点M，∵∠ACB=∠ADB=9

0°，∠ADM=∠BCM，∠CAB=45°，∴∠ACE=∠BCM=90°，∠EAC=∠MBC，AC=BC，∴△ACE≌△BCM，∴∠AEC=∠BMC，CM=CE，过点C分别作CG⊥DE，垂足为G，CF⊥DB，垂足为F，∵∠AEC=∠BMC，C

M=CE，∴△GEC≌△FMC，∴GC=FC，∴DC平分∠BDE，∠GDC=∠FDC=45°，四边形CGDF是正方形，∵CD=2，∴CG=GD=DF=FC=1，∵BC=5，∴BF=2(5)1−=2，∵∠GAC=∠FBC，GC=FC，∴△

AGC≌△BFC，∴AG=BF=2，AD=AG-DG=1，BD=BF+DF=3，∴11=+22ABCDSBDCFBDAD四边形=11(+)22BDDGADBDAG==1322=3，故选B．【点拨】

本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握三角形全等，勾股定理，灵活运用角的平分线的判定定理是解题的关键．3．B【分析】仔细分析题意，可连接BO，CO，根据角平分线性质和中垂线性质不难得到∠OAB=∠OBA；然后结合

三角形内角和定理以及等边对等角可得∠ABC的度数；接下来根据全等三角形的判定易得△ABO≌△ACO，进而结合全等三角形的性质可得∠OCB的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO=EC，由等边对等角以及三角形内角和定理的知识即可求出∠OEC的度数．解：连

接BO，CO，∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=∠OAC=23°，∵OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∵OA=OB，∠OAB=23°，∴∠OAB=∠ABO=23°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67

°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=44°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，∴∠EOC=∠OCE=44°

，∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°，故选：B．【点拨】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，

综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．4．B【分析】由ABC是等边三角形，M不是AB中点可判断①；根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得30E=，由60B=可判断⑤；设AGx=，则2AFFCCEx===，表示EF和FG的长可判断②；作辅

助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得NHNM=，由线段垂直平分线的性质得BNCNNG==，证明()RtNGMRtNCHHL，NGGM可判断③④．解：ABC是等边三角形，MN是BG的垂直平分线M

不是AB中点，N点不在∠ACB的角平分上，∴CN不平分∠ACB，ACNBCN，故①错误；ABC是等边三角形，60BACACB===，ACBC=，12CEBC=，F是AC的中点，CFCE=，ECFE=，60A

CBECFE=+=，30E=，90BGE=，EGAB⊥，故⑤正确；设AGx=，则2AFFCCEx===，3FGx=，6BEx=，在RtBGE中，3BGx=，33EGx=，33323EFEGFGxxx=−=−=，12GFEF

=，故②正确；如图，过N作NHAC⊥于H，连接BN，在等边ABC中，ADBC⊥，AD平分BAC，BNCN=，MNAB⊥，NHNM=，MN是BG的垂直平分线，BNNG=，BNCNNG==，在RtNMG中，NGGM，GMCN，故④错误；在RtNGM和RtNC

H△中，MNNHGNNC==，()RtNGMRtNCHHL，GNMCNH=，MNHCNG=，60ANMANH==，120GNC=，故③正确．故选：B．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角

形的判定与性质、垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．5．B解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+

PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，∵DP=PA，

∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2，由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，∴AM=，∴AD=2×=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°，

∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=，∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC==，即PA+

PC的最小值是，故选B．6．B解：考点：三角形的外角性质；平行线的性质．分析：首先根据直角三角形的两锐角互余，求得∠BAC与∠BAE的度数，由∠ABC=∠D=90°，可得BC∥DE，可求得∠BFE的度数，问题则可得解．解答：解：∵在

Rt△ADE中，∠E=45°，∠D=90°，∴∠DAE=90°-∠E=45°，∵在Rt△ABC中，∠C=30°，∠ABC=90°，∴∠BAC=90°-∠C=60°，∴∠D=∠ABC，∠FAC=∠BAC-∠BAE=60°

-45°=15°，∴BC∥DE，∴∠BFE+∠E=180°，∴∠BFE=135°，∴∠BFE：∠CAF=135°：15°=9．故选B．点评：此题考查了直角三角形的两锐角互余的性质与平行线的性质与判定．解此题的关键是

要注意合理应用数形结合思想．7．B解：在矩形ABCD中,22ADBCABCD===，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，2ADAB=，∴AH=AB=CD.∵△DEC是等腰直角三角形，2DECD=，∴

AD=DE，∴∠AED=67.5°，∴∠AEB=180°−45°−67.5°=67.5°，∴∠AED=∠AEB.故①正确；设DH=1，则AH=DH=1,2ADDE==，21HE=−,()2222211HE=−,

故②错误；∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°.∵DH=CD,∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=22.5°，∴∠OAH=∠OHA，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE，12OHAE=，故③正确；∵AH=DH

，CD=CE，在△AFH与△CHE中，∵∠AHF=∠HCE=22.5°,∠FAH=∠HEC=45°,AH=CE，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH.在△ABE与△AHE中，∵AB=AH,∠BEA=∠HEA,AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∴BC−

BF=(BE+CE)−(AB−AF)=(CD+EH)−(CD−EH)=2EH，故④错误，所以①，③正确，故选B【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形,矩形的性质.根据矩形的性质得到22ADBCABCD===，由DE

平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到2DECD=，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，得到①正确；设DH=1，则AH=D

H=1，2ADDE==，求出21HE=−，得到()2222211HE=−，故②错误；通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到③正确；由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC-BF=（BE+CE）-（AB-AF）=（CD+EH）-（CD

-EH）=2EH，从而得到④错误．8．B【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出

∠BHC=∠A，从而得解．解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，在△ABD中，∵∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠AB

D+∠BEC=45°+90°=135°；②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∴∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故选B.【

点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．9．C【分析】根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，利用将军饮马河原理计算即可．解：如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重

合，∴点N在线段BP上运动，∵△PDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点，∴BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°，∴∠CBP=30°，∠BPC=90°，作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点

就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC，连接BE，ED，∴∠CBP=∠EBP=30°，△BDE是等边三角形，∠CBE=60°，∴BD=DC=DE，∴∠BEC=90°，∠BCE=30°，∵BC=6，∴BE=3，CE=33，

∴DN+CN最小值为33，故选C．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，将军饮马河原理，直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定和将军饮马河原理是解题的关键．10．A【分析】首先取线段AB的中点，根据直角三

角线斜边上的中线和斜边的关系，三角形三边关系，可以得到OC最大时，OC＝AB，然后根据等边三角形的性质和直角三角形的判定，可以得到△OAC是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到点C的坐标．解：取AB的中点M，连接MO，MC，如图1所示，则OM+MC＞OC，故当OM+MC＝O

C时，OC取得最大值，如图2所示，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，点M为AB的中点，AB＝4，∴CM＝BM＝AM＝OM＝2，∵∠ABC＝60°，∴△BMC是等边三角形，∴∠BMC＝∠AMO＝60°，∴△AMO是等边三角

形，∴OA＝AM＝2，∠OAM＝60°，又∵AM＝MC，∠AMO＝∠MAC+∠MCA，∴∠MAC＝30°，∴∠OAC＝∠OAM+∠MAC＝60°+30°＝90°，∵OC＝MO+MC＝2+2＝4，∴AC＝22OCOA−＝2242−＝1

2＝23，∴点C的坐标为（2，23），即当OC的长度最大时，点C的坐标为（2，23），故选：A．【点拨】此题考查了直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质和勾股定理，有一定的综合性

．11．40°##40度【分析】由三角形内角和定理可求得∠ABC的度数，再由平行的性质可得∠DEC的度数，由等腰三角形性质及三角形外角的性质即可求得∠BDE的度数．解：∵∠A＝70°，∠C＝30°∴∠ABC=180°−∠A−∠C=80°∵DE∥AB∴∠DEC=∠ABC=8

0°∵DE=BE∴∠BDE=∠DBE∵∠DEC=∠BDE+∠DBE=2∠BDE∴1402BDEDEC==故答案为：40°【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，平行线的性质及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握它们并能正确运

用是关键．12．72##3.5【分析】过点D作DFAB⊥交BA的延长线于点F，证明RtDFARtDEC≌，可得ECAF=，证明RtBFD≌RtBED，可得BEBF=，根据125ECEC−=+即可求得EC．解：过点D作DFAB⊥交BA的延长线于点F，如图，DE⊥BC90DECF==BD平分

∠ABC，DEDF=又AD＝CD，RtDFARtDEC≌()HLECAF=,在RtBFD和RtBED中BDBDDFDE==RtBFD≌RtBED()HLBEBF=5,12ABBC==12,5B

EBCECECBFABAFAF=−=−=+=+125ECEC−=+解得72EC=故答案为：72【点拨】本题考查了角平分线的性质，HL证明三角形全等，以及全等的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．13．150°【分析】如图：连接PP′

，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的

和差即可解答．解：连接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角

形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．14．4360BPC−【分析】根

据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2180BACBPC=−；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2BOCBAC=，进而得出BOC和BPC的数量关系．解：BP平分ABC，CP平分ACB，12PBCABC=，12

PCBACB=，180()BPCPBCPCB=−+180(=−11)22ABCACB+1180()2ABCACB=−+1180(180)2BAC=−−1902BAC=+，即2180BACBPC=−；如图，连接AO．点O是这个三角形三边垂直平分线的

交点，OAOBOC==，OABOBA=，OACOCA=，OBCOCB=，1802AOBOAB=−，1802AOCOAC=−，360()BOCAOBAOC=−+360(18021802)OABOAC=−−+−，22OABOAC

=+2BAC=2(2180)BPC=−4360BPC=−，故答案为：4360BPC−．【点拨】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．15．23【分析】先根据直角三角形的性质和得到AB=2BC、∠AB

C=60°，再根据角平分线的作法可得∠1=∠2=30°，进而得到∠1=∠A=30°，即BF=AF=4,然后再根据三角形的性质求得FC，最后运用勾股定理解答即可．解：∵90ACB=，30A=，∴AB=2BC,∠

ABC=60°∵作图可知BC平分∠ABC，BC=BD∴∠1=∠2=30°∴∠1=∠A=30°∴BF=AF=4∵90ACB=，230=，∴BF=2FC，即FC=2∴BC=22224223BFFC−=−=∴BD=BC=23．．【点拨】本题主要考查了直角

三角形的性质、角平分的作法、等腰三角形的性质以及勾股定理的灵活应用，掌握含30°直角三角形的性质成为解答本题的关键．16．40【分析】根据四边形内角和为360求出BAC，根据三角形内角和定理求出BC+，根据线段垂直平分线的性质得到DADB=，EAEC=，进而得到DABB=，

EACC=，结合图形计算，得到答案．解：ABQ、AC的垂直平分线相交于点F，70DFE=，360909070110BAC=−−−=，18011070BC+=−=，ABQ、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，DADB=，EAEC=，DABB=，EACC

=，70DABEACBC+=+=，1107040DAE=−=，故答案为：40．【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的

距离相等．17．22【分析】过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，证明△ADG是等边三角形，再证明△BDG≌△DEC，得DB＝DE，进而证明∠BDE＝30°，得EH＝12

BD，再根据三角形的面积公式求得BD．解：过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠C＝60°＝∠ABC＝∠AGD，∵∠DAG＝∠BAC＝60°，

∴△ADG是等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，∴AB+AG＝AC+AD，∴BG＝CD，在△BDG和△DEC中，BGDCBGDCDGEC===，∴△BDG≌△DEC（SAS），∴∠BDG＝∠DEC，BD＝DE，∴∠DBE

＝∠DEB，∵∠BFE＝45°，∠EBF＝60°，∴∠DEB＝∠DBE＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝75°，∴∠BDE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴EH＝12DE，∴EH＝12BD，∵△DBE的面积为2，∴122BDEH=，即212

4BD=，∴BD＝22．故答案为22．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形的面积公式，关键在于作平行线构造全等三角形．18．7【分析】连接AG、AE、AF，作点F关于点E的对称点F，连接AF，得出当G、A、F三点在同-直线上时，AF

+AG的最小值为GF，再根据勾股定理和等边三角形的性质即可得出答案解：连接AG、AE、AF，作点F关于点E的对称点F'，连接AF'，则AFAF=，∵等边ABC，BDAC⊥，∴,AGCGAFCF==，∴AFCF=，∴CFCGAFAG+=+，∴当G、A、F三点在同-直线上时,AF'+

AG的最小值为GF连接GF∵等边△ABC的边长为2，∴332322GFBDAB====，222FFEFADAC====，∴2222.(3)27GFGFFF=+=+=故答案为：7【点拨】本题考查轴对

称，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．19．4【分析】取FD的中点为G，连接,,BGBFEG，且过C作AB的垂线，得3ABDGBDSS=，过点D作BG的垂线，交于J，设AFx=，则DGBGx==，得出3ABDGBDSS

=，23FEDSx=，11332ABCSCHAB==，根据3FEDABCABDSSS=−，建立等式求解即可．解：取FD的中点为G，连接,,BGBFEG，且过C作AB的垂线，垂足为H，如下图：2DFAF=Q，AFFGGD==，

3ABDGBDSS=，60EDF=，120BDG=，等边三角形ABC是由3个全等的三角形和一个小等边三角形DEF无缝拼接而成，AFBD=，DGBD=，过点D作BG的垂线，交于J，设AFx=，则D

GBGx==，1122DJDGx==，由勾股定理得：2232xGJDGDJ=−=，2113333322224ABDGBDSSxxx===，223EGEFFGx=−=，21132322FEDSEGFDxxx===，同理2239CHACAH=−=，113921313

322ABCSCHAB===，3FEDABCABDSSS=−，2233313334xx==−，解得：2x=，2AF=，24DEDFAF===，故答案为：4．【点拨】本题考查了等边三角形、全等三角形、勾股定理

，解题的关键是作适当辅助线，找到三角形面积之间的关系，通过勾股定理求出面积建立等式求解．20．(1)∠EDC的度数为20°(2)∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝12∠BAD）．理由见解析．【分析】（l）根据三角形的一个外角等于

和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，代入数据计算即可求出∠BAD的度数；（2）由AE=AD，推出∠ADE＝∠AED，

∠BAD＋∠B＝∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠AED＋∠EDC＝(∠EDC＋∠C)＋∠EDC＝2∠EDC＋∠C，根据AB＝AC，可得∠B＝∠C，即可求得∠EDC＝12∠BAD．(1)∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，又AD=AE，AE

D=∠ADE，AB=AC，B=C，B+BAD=EDC+C+EDC，即BAD=2EDC，BAD=40°，EDC=20．(2)∠BAD＝2∠EDC(或∠EDC＝12∠BAD)．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AE

D，∴∠BAD＋∠B＝∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠AED＋∠EDC＝(∠EDC＋∠C)＋∠EDC＝2∠EDC＋∠C，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BAD＝2∠EDC，∴∠EDC＝12∠BAD．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形的一个外角等

于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．21．（1）证明见解析；（2）60.13AC=【分析】（1）先证明13,EAC???再结合4,43,EACACD??行=?证明1,ACD??从而可得结论；（2）先证明90,E

ABDAC???再证明390,??从而利用等面积法可得AC的长度.解：（1）ADBE∥，3,DAC\??而2,DACEAC???12,=13,EAC\???4,43,EACACD??行=?Q1,EACEACA

CD\????1,ACD\??.ABCD\∥（2）12cmAE=，5cmAB=，13cm=BE，22222125169,AEABBE\+=+==9012,EABEACEAC\??????90,DAC\??,ADBC∥Q390,D

AC\???11,22AEABBEAC\=gg51260.1313AC´\==【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，证明390=是解本题的关键.22．(1)△CDE的周长为10，理由见解析；(2)70°【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，

即可得到△CDE的周长=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB；（2）依据AD=CD，BE=CE，即可得到∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B=55°，进而得到∠ACD+∠BCE=55°，再根据∠DCE=∠

ACB-（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．(1)解：△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；(2)解：∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴

AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂

直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．23．（1）见详解；（2）见详解；（3）∠BAC的度数不变化；理由见详解．【分析】（1）由三角形的内角和定理，以及对顶角相等，即可得到结论成立；（2）过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥BM于点G．运用“AAS

”证明△ACH≌△ABG得AH=AG．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；（3）运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．解：（1）由题意，在△ACF和△BDF中，1

80ACDAFCCABABDBFDBDC++=++=，∵∠ABD=∠ACD，∠AFC=∠BFD，∴∠BDC=∠BAC；（2）过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥BM于点G，如图：则∠AHC=∠

AGB=90°，∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACH≌△ABG（AAS）∴AH=AG．∴AD平分∠CDM．（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，∴AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠

ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理

和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．24．(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，∠APD=30°，理由见解析．②BP=2DF，47PBBD=【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF和△

ADC全等，即可得出AC=BF．（2）①因为∠C=60°在Rt△ABC中∠CAD=30°，∠PAQ=90°，由对称的性质可知∠PAD=∠QAC=30°，所以可以得出∠APD=60°；②过Q作QE⊥AD，交AD与点E,可证△APD≌△QAE，得出AE=PD，再证△APD≌△

QAE，得出EF=DF，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°又∵∠B=45°∴△ABD是等腰直角三角形∴AD=BD∵BG⊥AC∴∠BGC=90°又∵∠C=60°∴∠DAC=90°-∠C=90°

-60°=30°∠FBD=90°-∠C=90°-60°=30°∴∠DAC=∠FBD在△BDF和△ADC中，FBDCDABDFADCBDAD===∴△BDF≌△ADC∴AC=BF(2)①存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称∵AQ⊥AP∴

∠QAP=90°由(1)的证明知∠DAC=30°，根据对称的性质，得∠PAD=∠QAC=2QAPCAD−=90－30２=30°∵∠ADP=90°∴∠APD=90°-∠PAD=90°-30°=60°②BP=2DF理由如下:如图4所示,过Q作QE⊥AD，交AD与点E

,那么∠AEQ=∠FEQ=90°∴∠AQE+∠QAE=90°又∵∠PAD+∠QAE=90°∴∠AQE=∠PAD在△APD和△QAE中，AQEPADAEQPDAAQAP===，∴△APD≌△QAE∴AE=PD；AD=QE∴DE=BP又∵AD=BD∴BD=QE在△QEF和△B

DF中，QEFBDFEFQDFBEQDB===，∴△QEF≌△BDF∴EF=DF∴BP=2DF当点P在DB的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB=2DF，BD=AD又已知27ADFD=∴DF=2

7AD∴PB=2×27BD=47BD∴PBBD=47【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．25．(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）过点B作

BQAG⊥于点Q，根据AAS证明△ABQDAG得AGBQ=，再证明四边形BCGQ是矩形得BQ=CG，从而得出结论；（2）在GF上截取GH=GE，连接AH，证明AH=FH，GE=GH即可；（3）过点A作APHC⊥于点P，在FC上截取MGGE=，连接,,AMACAH，证明()RtAGERtC

GNHL得GNGEMG==，可证明AC是EH的垂直平分线，再证明()RtAPHRtAGMHL和△()ABHADMSAS得5BHMD==可求出4ME=，从而可得结论．(1)证明：过点B作BQAG⊥于点Q，如图1∵AGCD⊥90AQBBAD==ABQ

BAQDAGBAQ+=+ABQDAG=又ABAD=，90AQBAGD==∴△()ABQDAGAASBAGQ=,,BCCDAGCDBQAG⊥⊥⊥∴四边形BCGQ是长方形BQCG=CGAG=；(2)在GF上截取G

H=GE，连接AH，如图2，,HGGEAGGF=⊥AHAE=AEHAHE=2AEFF=2AHEF=又AHEFFAH=+FFAH=FHAH=AEFH=FGFHHGAEEG=+=+(3)过点A作APHC⊥于点P，

在FC上截取MGGE=，连接,,AMACAH，如图3，由（1）、（2）知，APCGAG==，,AMAEFMFFAM===∵EFFGGEFMME=+=+∴9AMME=+∵,CNAEAGCG==∴()RtAGERtCGNHL∴GNGEMG==∴∠45GNEGEN==

∵BCFD⊥∴∠45CHECEH==∴CHCE=∵AGCG=∴∠45ACGCAG==∴45ACGACH==∴AC是EH的垂直平分线，∴AHAE=∴AHAM=又∵AGAP=∴()RtAPHRtAGMHL∴∠HAP

MAG=∴∠90HAMPAG==∵∠FFAM=，90,90FAMMADFD+=+=∴∠MADD=∴AMMD=∵,,APCHHCFDAGFD⊥⊥⊥∴90PAG=∴90MAGPAM+=

∵∠HAPMAG=∴90PAHMAP+=，即90HAM=∴90HABBAM+=∵90BAD=，即90BAMMAD+=∴HABMAD=在ABH和ADM中，AHAMHABMADABAD

===∴△()ABHADMSAS∴5BHMD==∴5AMFM==∴4ME=∴2GNGEMG===【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．（1）①见解析；②见解析

；（2）①90°；②735【分析】（1）①根据等边对等角性质和平行线的性质证得BDCCDE=即可；②过点F作FHBD⊥，垂足为H，根据全等三角形的判定证明FDGFDH≌△△（AAS）和RtRtAFGBFH≌△△，再根据全等三角形的性质即可证

得结论；（2）①AD，BF的交点记为O．由（1）结论可求得AD，利用勾股定理在逆定理证得∠ABD=90°，根据三角形的内角和定了可推导出BDCFAB=，再根据平角定义和四边形的内角和为360°求得∠AFD=90°；②过B作BM⊥AD于M

，根据三角形等面积法可求得BM，然后根据勾股定理求得FG，进而由AFDABDBCDSSS++求解即可．解：（1）①证明：∵BCBD=，∴BCDBDC=，∵ADBC∥，∴BCDCDE=，∴BDCCDE=，∴DC平分BDE；②证明：如图①，

过点F作FHBD⊥，垂足为H，∵BDCCDE=，又BDCFDH=，CDEFDG=，∴FDGFDH=，∵FGAE⊥，FHBD⊥，∴90FGDFHD==，∵FDFD=，∴FDGFDH≌△△（AAS），∴FGFH=，DGD

H=．∵FABFBA=，∴AFBF=．∴RtRtAFGBFH≌△△（LH），∴AGBH==BDDH+．∴BCDGAG+=；（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．由（1）知，AGBCDG=+，FOADBO=，BDCFDO=,∵3BCBD==，1DG=，∴3115ADAGDGBCDGD

G=+=++=++=,在ABD△中，22234325ABBD+=+=，225AD=，∴222ABBDAD+=．∴90ABD=．∵180FAOAFOAOFDBOBDOBOD++=++=，又AOFBOD=

，AFODBO=．∴AFOBDO=．∵180FABFBAAFB++=，又FABFBA=，∴1902FABAFB=−．∵180BDCFDOADB++=，又BDCFDO

=，∴1902BDCBDO=−．∴BDCFAB=．∵180BDCBDF+=，∴180FABBDF+=∴360180AFDABDFABBDF+=−−=．∴18090AFDABD=−=；②过B作BM⊥AD于M，∵∠AB

D=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，∴125ABBDBMAD==，∵AD∥BC，∴△BCD边BC上的高为125，∴1112483432255ABDBCDSS+=+=，∵∠AFD=90°，FG⊥AE，∴222AFFDAD+=，22222AFAGFDDGFG−=−=，∵D

G=1，4AGBCDG=+=，AD=4+1=5，∴2225AFFD+=，2215AFFD−=，解得：25FD=，220AF=，∴22220164FGAFAG=−=−=，∴FG=2，∴1152522AFDSAD

FG===，∴四边形ABCF的面积为AFDABDBCDSSS++=4873555+=．【点拨】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形的内角和定理、四

边形的内角和、三角形的面积公式、等角的余角相等、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较难，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用．27．（1）DE；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求

解；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，进而可得∠BAF=∠ADH，然后可证△ABF≌△DAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ，通过证明△DHG≌△EQG可求解问题；（3）过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN

⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M，由题意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，则有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，进而可得OD=NE，通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进

行求解问题．解：（1）∵ABCDAE△≌△，∴ACDE=；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，如图所示：∴90DAHADH+=，∵90BAD=，∴90BAFDAH+=，∴BAFADH=，∵BC

AF⊥，∴90BFAAHD==，∵ABDA=，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴90DHGEQG==，∵DGHEGQ=∴△DHG≌△E

QG，∴DG=EG，即点G是DE的中点；（3）12SS=，理由如下：如图所示，过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M∵四边形ABCD与四边形DEGF都

是正方形∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE∵DO⊥AF，CM⊥OD，∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，又∵∠ODA+∠CDM=90°，∴∠ADO=∠DCM，∴△AOD≌△DMC，∴AODDMCSS=△△，OD

=MC，同理可以证明△FOD≌△DNE，∴FODDNESS=△△，OD=NE，∴MC=NE，∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，∴△ENP≌△CMP，∴ENPCMPSS△△=，∵,ADFAODFODDCEDCMCMPDENENPSSSSSSS

S=+=−++，∴DCEDCMDENAODFODSSSSS=+=+,∴DCEADFSS△△=即12SS=．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．