【文档说明】北京市房山区2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(11)页，224.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．）1．8，2的等差中项是（）A．±5B．±4C．5D．42．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2+1，则a5＝（）A．26B．19C．11D．93．下列结论正确的是（）A．若

y＝sinx，则y′＝cosxB．若y＝，则y′＝C．若y＝cosx，则y′＝sinxD．若y＝e，则y′＝e4．已知函数f（x）＝（2x﹣1）3，则f′（1）＝（）A．8B．6C．3D．15．若1，a，b，c，4成等比数列，则abc＝（）

A．16B．8C．﹣8D．±86．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（）A．10﹣2kJB．10﹣1kJC．102kJD．103k

J7．已知{an}为等比数列，下列结论中正确的是（）A．a3+a5≥2a4B．若a3＝a5，则a1＝a2C．若a3＜a5，则a5＜a7D．a4＝8．若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，1）上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞）

B．[﹣4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，﹣4]9．直线y＝5x+b是曲线y＝x3+2x+1的一条切线，则实数b＝（）A．﹣1或1B．﹣1或3C．﹣1D．310．已知函数f（x）＝（x﹣1）2ex，

下列结论中错误的是（）A．函数f（x）有零点B．函数f（x）有极大值，也有极小值C．函数f（x）既无最大值，也无最小值D．函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．设某质点的位

移xm与时间ts的关系是x＝t2+4t，则质点在第3s时的瞬时速度等于s/m．12．函数f（x）的定义域为[0，4]，函数f（x）与f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为．13．写出一个公比q＝的递增等比

数列的通项公式．14．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2），若函数f（x）无极值，则a＝；若x＝2是f（x）的极小值点，则a的取值范围是．15．设集合A＝{x|x＝4n﹣3，n∈N*}，B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N*}

，把集合A∪B中的元素按从小到大依次排列，构成数列{an}，则a2＝，数列{an}的前50项和S50＝．三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的

单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．17．已知数列{an}满足a1＝1，＝2，等差数列{bn}满足b1＝a3，b2＝a1．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和．18．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a4＝﹣3

再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）数列{an}的通项公式；（Ⅱ）Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．条件①：S4＝﹣24；条件②：a1＝2a3．19．已知数列{an}中，a1＝1且an+1

＝．（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．20．某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式Q＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6．该产品的

成本为3元/千克．（Ⅰ）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；（Ⅱ）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；（Ⅲ）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大．21．已知函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲

线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x0，使得f（x0）＞0，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．）1．8，2的等差中项是（）A．±5B．±4C．5D．4解：根据等差

中项的性质，可得8，2的等差中项是＝5，故选：C．2．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2+1，则a5＝（）A．26B．19C．11D．9解：根据题意，数列{an}中Sn＝n2+1，则a5＝S5﹣S4＝（25+1）﹣（16+1）＝9，故

选：D．3．下列结论正确的是（）A．若y＝sinx，则y′＝cosxB．若y＝，则y′＝C．若y＝cosx，则y′＝sinxD．若y＝e，则y′＝e解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝sinx，y′＝cosx，A正确；对于B，y＝，则y′＝﹣，B

错误；对于C，y＝cosx，则y′＝﹣sinx，C错误；对于D，y＝e，则y′＝0，D错误；故选：A．4．已知函数f（x）＝（2x﹣1）3，则f′（1）＝（）A．8B．6C．3D．1解：根据题意，函数f（x）＝（2x﹣1）3，

则f′（x）＝6（2x﹣1）2，则f′（1）＝6（2﹣1）2＝6，故选：B．5．若1，a，b，c，4成等比数列，则abc＝（）A．16B．8C．﹣8D．±8解：若1，a，b，c，4成等比数列，∴b2＝ac＝1×4，∴b＝2，（负不合题意，奇数

项符号相同），则abc＝2×4＝8，故选：B．6．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（）A．10﹣2kJB．10﹣1kJC．102kJD．

103kJ解：根据题意可知：能量流动法则里表明能量的效率大约是10%，如果要使H3获得10kJ能量，则H1×（10%）2＝H3，解得H1＝103KJ，故选：D．7．已知{an}为等比数列，下列结论中正确的是（

）A．a3+a5≥2a4B．若a3＝a5，则a1＝a2C．若a3＜a5，则a5＜a7D．a4＝解：对于A：若a3＝﹣1，a4＝2，a5＝﹣4，则a3+a5≥2a4不成立，故A错误；对于B：若a3＝a5，则a1q2＝a1q4，解得q＝±1，此时a1＝

a2不一定成立，故B错误；对于C：若a3＜a5，则a3q2＜a5q2，此时a5＜a7，故C正确；对于D：a4＝±，故D错误；故选：C．8．若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，1）上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞）

B．[﹣4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，﹣4]【解答】解；因为f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，1）上是减函数，所以，解得m≥2．故选：A．9．直线y＝5x+b是曲线y＝x3+2x+1的一条切线，则

实数b＝（）A．﹣1或1B．﹣1或3C．﹣1D．3解：设切点M（m，n），y′＝3x2+2，则3m2+2＝5，解得m＝1或﹣1；若m＝1，则n＝5+b＝13+2×1+1＝4⇒b＝﹣1；若m＝﹣1，则n＝﹣5+b＝（﹣1）3+2×（﹣1）+1＝﹣2

⇒b＝3；综上所述，b＝﹣1或3，故选：B．10．已知函数f（x）＝（x﹣1）2ex，下列结论中错误的是（）A．函数f（x）有零点B．函数f（x）有极大值，也有极小值C．函数f（x）既无最大值，也无最小值D．函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点解：对于A．∵f（1）＝0，∴函

数f（x）有零点，因此A正确．对于BC．令f′（x）＝（x+1）（x﹣1）ex＝0，解得x＝﹣1或1．可得函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，因此x＝﹣1是函数f（x）的极大值

点，x＝1是函数f（x）的极小值点，因此函数f（x）有极小值，也有极大值，因此B正确，C不正确．对于D．由上面可知：x＝﹣1是函数f（x）的极大值点，x＝1是函数f（x）的极小值点，可得极大值f（﹣1）＝＞1，极小值f（1）＝0，又x→﹣∞时，f（x）→0；x→+∞时，f（x）→+∞

．∴函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点，因此D不正确．故选：C．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．设某质点的位移xm与时间ts的关系是x＝t2+4t，则质点在第3s时的瞬时速度等于

10s/m．解：∵x＝t2+4t，∴x′＝2t+4，则t＝3时，x′＝2×3+4＝10，故答案为：10．12．函数f（x）的定义域为[0，4]，函数f（x）与f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为（2，4]．解：若f′（x）的图像为虚线，则f

（x）的图像为实线，由f′（x）＞0，得：x＞3，故f（x）在（3，4）递增，与f（x）的实线不符，故不成立；若f′（x）的图像为实线，则f（x）的图像为虚线，由f′（x）＞0，得：x＞2，故f（x）在（2，4）递增，与f（x）的图像为虚线相符，故成立；

综上：f（x）在（2，4]递增，故答案为：（2，4]．13．写出一个公比q＝的递增等比数列的通项公式an＝﹣（）n，（首项为负数即可）．解：若等比数列为递增的，由于公比q＝，则首项为负数即可，则an＝﹣（）n，故

答案为：an＝﹣（）n，（首项为负数即可）．14．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2），若函数f（x）无极值，则a＝2；若x＝2是f（x）的极小值点，则a的取值范围是（﹣∞，2）．解：函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）＝（x

﹣a）（x﹣2），由函数f（x）无极值，则f′（x）≥0恒成立，可得a＝2．令f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2）＝0，解得x＝a或2．若x＝2是f（x）的极小值点，则a＜2则a的取值范围是（﹣∞，2）．故答案为：2，（﹣∞，2）．15．设集合A＝{

x|x＝4n﹣3，n∈N*}，B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N*}，把集合A∪B中的元素按从小到大依次排列，构成数列{an}，则a2＝3，数列{an}的前50项和S50＝4590．解：数列{4n﹣3}是首项为1，公差为4的等差数列，数

列{3n﹣1}是首项为1，公比为3的等比数列，可得a1＝1，a2＝3，由3，27不在A中，1，9，81在A中，也在B中，由4n﹣3＜243，可得n＞50，则243不在数列{an}的前50项内．则数列{an}的前50项的和为（1+5+9+...+4×48﹣3）+3+27＝×48×（1

+4×48﹣3）+30＝4560+30＝4590．故答案为：3，4590．三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．解：（Ⅰ）∵f（x）＝x3﹣x2﹣3x+

1，定义域是R，∴f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3

，+∞）递增，则f（x）极大值＝f（﹣1）＝，f（x）极小值＝f（3）＝﹣8．17．已知数列{an}满足a1＝1，＝2，等差数列{bn}满足b1＝a3，b2＝a1．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和．解：（Ⅰ）由a1＝1，

＝2，可得an＝2n﹣1；设等差数列{bn}的公差为d，由b1＝a3＝4，b2＝a1＝1，可得d＝b2﹣b1＝﹣3，则bn＝4﹣3（n﹣1）＝7﹣3n；（Ⅱ）an+bn＝2n﹣1+7﹣3n，可得数列{an+bn}的前n项和为（1+2+4+...+2n﹣1）+（4+1+...+7﹣

3n）＝+n（4+7﹣3n）＝2n﹣1+．18．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a4＝﹣3再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）数列{an}的通项公式；（Ⅱ）Sn的最小值，并求Sn

取得最小值时n的值．条件①：S4＝﹣24；条件②：a1＝2a3．解：若选择条件①：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a4＝﹣3，得a1+3d＝﹣3①；又S4＝﹣24，得4a1+＝﹣24，即2a1+3d＝﹣12②．联立①②，解得a1＝﹣9、d＝2，所以

an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：Sn＝﹣9n+×2＝n2﹣10n，所以S5＝52﹣10×5＝﹣25，根据二次函数的性质可得当n＝5时Sn有最小值且最小值为S5＝﹣25．若选择条件②：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a

4＝﹣3，得a1+3d＝﹣3①；又a1＝2a3，得a1＝2（a1+2d）即a1+4d＝0②．联立①②，解得a1＝﹣12、d＝3，所以an＝﹣12+3（n﹣1）＝3n﹣15．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：Sn＝﹣12n+×3＝n2﹣n，由于

n∈N+，所以当n＝4或n＝5时Sn有最小值且最小值为S4＝S5＝30．19．已知数列{an}中，a1＝1且an+1＝．（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，

并用数学归纳法进行证明．解：（Ⅰ）a1＝1且an+1＝，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，可猜想数an＝，证明如下：①当n＝1时，等式成立，假设当n＝k时等式成立，即ak＝，那么当n＝k+1时，ak+1＝＝＝＝，所以当n＝k+1时，等式成立，由①

②，对于任何n∈N*，an＝．20．某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式Q＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6．该产品的成本为3元/千克．（Ⅰ）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表

示）；（Ⅱ）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；（Ⅲ）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大．解：（Ⅰ）由题意可知每千克的利润为x﹣3；（Ⅱ）由题意可知y＝＝10（x﹣3）3﹣

60（x﹣3）2+90（x﹣3）+2，（3＜x＜6），（Ⅲ）由（2）知y′＝30（x﹣4）（x﹣6），令y′＝0，解得x＝4，或x＝6；∴函数在（3，4）上单调递增，在（4，6）上单调递减，∴x＝4时，函数取得

最大值为42，即售价为4元时日利润最大为42元．21．已知函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x0，使得f（x0）＞0，求a的取值范围．解：（Ⅰ）a＝1时

，f（x）＝lnx+x，则f′（x）＝+1，f（1）＝1，f′（1）＝2，故切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．（Ⅱ）函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）的定义域为（0，+∞）；f′（x）＝，①当a≥0时，f′（x）＝＞0，则函数f（x）

＝lnx+ax（a∈R）在（0，+∞）上单调递增；②当a＜0时，x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0，则函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）在（0，﹣）上单调递增；x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0，则函数f（x）＝ln

x+ax（a∈R）在（﹣，+∞）上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，﹣）；单调递减区间为（﹣，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递

增，而f（1）＝a≥0，则存在x0，使得f（x0）＞0，a＜0时，f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，故f（x）max＝f（﹣）＝﹣ln（﹣a）﹣1＞0，即ln（﹣a）＜﹣1，解得：﹣＜a＜0，综上：a的取值范围是（﹣，+∞

）．