【文档说明】湖南省湘潭一中2020届高三上学期11月月考数学（理）试题【精准解析】.doc，共(33)页，2.740 MB，由小赞的店铺上传

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数学诊断试题一､选择题(共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合()()2222log4,3200AxyxBxxmxmm==−=−+，若BA，则实数m的取值范围为（）A.()4+，B.)4+，C.()2+，D.)2+，【答案】D【解

析】【分析】由题意先求出集合A，B，再利用包含关系求出m范围．【详解】解：因为()22log4Axyx==−，所以{|2Axx=或2}x−因为0m，()223200Bxxmxmm=−+，所以|2Bxmxm=且B，∵BA，∴20mm

或220mm−，解得2m，即)2,m+，故选：D．【点睛】本题考查集合之间的包含关系，考查函数定义域、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2.设i是虚数单位，则

2320192342020iiii++++的值为（）A.10101010i−−B.10111010i−−C.10111012i−−D.10111010i−【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：

设2320192342020Siiii=++++,可得：24201920320023420192020iSiiiii=++++++，则24201923020(1)22020iSiiiiii−=+++++−，20192420192020

23020(1)(1)202020201iiiSiiiiiiiiii−−=++++++−+−=−，可得：2(1)(1)(1)20202020202112iiiiiSiiii++−=+−=+−=−+−，可得：

2021(2021)(1)1011101012iiiSii−+−++===−−−，故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.3.已知11xx+=，则2017201

71xx+的值为（）A.1B.1−C.i−D.i【答案】A【解析】【分析】由11xx+=，解得x，进而224131313222222xiiix=−−=−=，推导出2017xx=，由此能求出结果.【详解】解：∵11xx+=，

所以210xx−+=解得1322xi=−+或1322xi=−−由于224131313222222xiiix=−−=−=，∴2017xx=，∴20172017111xxxx+=+=.故选：A.【点睛】本题复数的乘法运算及方程的解法，考查运算求解能力，属于中档题.4.

已知(,)Pxy为函数23()4fxx=+图象上一动点，则223xyxy++的最大值为（）A.12B.32C.23D.3【答案】D【解析】【分析】由题意把223xyxy++表示为(3,1)OQ=与(,)OPxy=的夹角的余弦值的两

倍，再由导数求其最值得答案.【详解】解：设(3,1)Q，原点O，则(3,1)OQ=，(,)OPxy=，∴223cos||2()OQOPxyPOQOQOPxy+==+‖即2232cosxyPOQxy+=+.∴当OP与(

)fx在y轴右侧相切时取最大值，设直线(0)ykxk=与函数()fx相切于点()000,Pxy，yk=，()2fxx=，则0200234kxkxx==+，解得032x=.即切点033,22P，∴032c

os232POQ==，即223xyxy++的最大值为3.故选：D.【点睛】本题考查由数量积求夹角，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，属于中档题.5.已知函数()21lg,10{102,0xxfxxxx

=−−，若11{11ab−−，则方程()()20fxafxb−+=有五个不同根的概率为（）A.13B.38C.25D.112【答案】B【解析】画出函数21lg,10(){102,0xxfxxxx=−−的图像如图

，设()fxt=，则20tatb−+=，所以问题转化为方程20tatb−+=在区间(0,1)内和区间(,0)−分别各有一个根．令2()gttatb=−+，由此可得不等式组(0)00{{(1)010gbgab−+，由于1

1{11ab−−，则画出图形如下图可知：1234,122Dd+===，故由几何概型的计算公式可得其概率为133428dPD===，应选答案B．点睛：解答本题的关键是理解题设中的具体要求．明确要解决的问题的特征，进而采用切实可行的求解方法．求解过程中

巧妙运用数形结合的思想先将有５个实数根的问题进行等价转化为程20tatb−+=在区间(0,1)内和区间(,0)−分别各有一个根的问题．结合函数的图像可知这里在区间(0,1)内有一个实数根等价于方程区间()(0,1)fxt=内有四个根，这是较难理解的地方．当求得不等式组(0)0

0{{(1)010gbgab−+后依据几何概型的计算公式使得问题巧妙获解．本题的求解过程中综合运用了等价转化＼函数方程等重要数学思想．6.已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点，若()ACABR=，()ADABR=，且112u+=，则

下列说法正确的是(),A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C、D可能同时在线段AB上D.C、D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D【解析】【分析】根据向量共线定理得到,,,ABCD四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决.【详解】解：由()ACABR=，

()ADABR=，可得：,,,ABCD四点共线，对于选项A，若C是线段AB的中点，则12ACAB=，则1,02==，不满足112u+=，即选项A错误；对于选项B，若D是线段AB的中点，则12ADAB=，则10,2==，不满足1

12u+=，即选B错误；对于选项C，若C、D同时在线段AB上，则01,01，则112u+，不满足112u+=，即选项C错误；对于选项D，假设C、D同时在线段AB的延长线上，则1,1，则112u+，则不满足112u+=，即假设不成立，即C、

D不可能同时在线段AB的延长线上，即选项D正确；故选：D.【点睛】本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.7.下图程序框图的功能是求出1161616166++++的值，则框图中①、②两处应分别填写（）A.1i，aB.1i，6a−C.1i，aD.1i，6a−【答案】D【解析】【

分析】根据程序框图的功能是求1161616166++++的值，且16aa=+，循环验证即可.【详解】因为程序框图的功能是求1161616166++++的值，且16aa=+，所以要进行五次循环，得到，1616161616

6a=+++++6i=开始，1ii=−，所以①填1i，所以②填6a−.故选：D【点睛】本题主要考查流程图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.8.如图所示，已知()()010,0,4,0AA，对任何nN，点2nA+按照如下方式生成：12

1211,32nnnnnnnAAAAAAA+++++==，且12,,,nnnAAA++按逆时针排列，记点nA的坐标为()(),nnabnN，则(lim,lim)nnnnab→→为（）A.204377，B.4337，C.5338，D.205

378，【答案】A【解析】【分析】利用向量的定义，推导知112231nnnOAOAAAAAAA−=+++的向量坐标，然后求出an，bn的表达式，然后进行计算即可．【详解】由题意可知，1,4731,,kAAAA+（k0）都是在上一个点的基础上横坐标发生

变化，纵坐标不变.25832,,,kAAAA+（k0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加.36933,,,kAAAA+（k0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又112231nnnOAOAAAAAA

A−=+++，所以123naaaa=+++=4-11112cos601cos60cos60cos6024816−+−−+=344111111421222222−−+−−++=3691113222−+++=3-11112088317718n

−=−=−123nbbbb=+++=1102sin601sin600sin60sin60048+−++−++=31111212483264311128641113812183827437n

−+−+−+=+++−=−==所以选A.【点睛】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．9.已知F1，F2分别为双曲线C：22126xy−=的左、右焦点，过

F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|HG|的取值范围是（）A.[22,4)B.462,3C.43,223

D.4622,3【答案】D【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知,HG的横坐标都是a，得到HGx⊥轴，设直线AB的倾斜角为，2RtHMF和2RtGMF分别表示HM和GM，根据(60,90，将HG表示为的三角函数求最值.【详解】12AFF内切圆与各边相切于点

,,PQM，有,HM的横坐标相等，APAQ=，11FPFM=，22FQFM=121222AFAFaMFMFa−=−=，M在双曲线上，即M是双曲线的顶点，HG与双曲线相切于顶点（如图）,HG的横坐标都是a，设直线AB的倾斜角为，那么22OFG=,222HFO=−2HFG中，(

)()sincos22tantan222cossin22HGcaca=−+−=−+()()22sincos222sinsincos22caca+=−=−

双曲线22:126xyC−=，2,6,22abc===，可得22sinHG=，60903sin12，HG的范围是4622,3故选D.【点睛】本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并

且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的关键1.根据几何性质确定,HG的横坐标都是a，2.设倾斜角为，将HG表示为的三角函数.10.定义：区间[,]ab

，(,]ab，(,)ab，[,)ab的长度均为ba−，若不等式12(0)12mmxx+−−的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则（）A.当0m时，229mmlm++=B.当0m时，

3lm=C.当0m时，229mmlm++=−D.当0m时，3lm=−【答案】B【解析】【分析】当m＞0时，∵1212xx+−−m⇔()()()2332412mxmxmxx−+++−−0，令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0的

两根为x1，x2，且x1＜x2，根据韦达定理以及f（1），f（2）的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得．【详解】当m＞0时，∵1212xx+−−0⇔()()()2332412mxmxm

xx−+++−−0，令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则()()()()1212mxxxxxx−−−−0，且x1+x233mm+==33m+，∵f（1

）＝m﹣3﹣3m+2m+4＝1＞0，f（2）＝4m﹣6﹣6m+2m+4＝﹣2＜0，∴1＜x1＜2＜x2，所以不等式的解集为（1，x1]∪（2，x2]，∴l＝x1﹣1+x2﹣2＝x1+x2﹣3＝33m+−33m=，故选B．【点睛】本题考查分

式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．11.在棱长为63的正四面体DABC−中，过点D的平面与底面ABC所成锐二面角的正切值为6，设平面与底面ABC的交线为l，当平面运动时，直线l在ABC内的部分形成的区域的面积为（

）A.936+B.3312+C.1236+D.1836−【答案】A【解析】【分析】根据过点D的平面与底面ABC所成锐二面角的正切值为6，确定直线l的运动轨迹，结合正三角形和扇形面积进行求解即

可.【详解】解：正四面体的棱长为63，设D在底面的射影为O，则O是ABC的重心，∴底边三角形ABC的中线36392AG==，263AOAG==，则963OG=−=，则正四面体的高2262DOADAO=−=，设直线//lBC，延长OG交l于K，连接DK，则DKO是点D的平面与底面A

BC所成锐二面角的平面角，设DKO=，则62tan6DOOKOK===，即23OK=，即O到直线l的距离23dOK==，∴直线l在ABC内的部分形成的轨迹是以O为圆心，半径为23的圆，在底面ABC中，∵3OG=，23OEOK==，∴23EF=，即OEF是

正三角形，由对称性值圆内含有3个与OEF全等的三角形，则还有三个与扇形OEH相同的扇形，则3360360180EOH=−=，即60EOH=，则三个扇形的面积之和为半圆的面积21(23)62S==，三个正三角形的面积2133(23)9322S==，则面积之和为

936+，故选：A.【点睛】本题主要考查空间二面角的应用，结合条件求出直线l的运动轨迹，结合三角形的面积公式以及扇形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强，难度较大.12.设,,abc为ABC中的三边

长，且1abc++=，则2224abcabc+++的取值范围是（）A.131,272B.131,272C.131,272D.131,272【答案】B【解析】【分析】由222+,,4()abcabcfabc++=，则(,,2()4)1

2abcabcfcaabb−−++=，再根据三角形边长可以证得()1,,2fabc，再利用不等式和已知可得22(1)()24abcab+−=，进而得到3211(,,)22fabccc−+，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求

解．【详解】由题意，记222+,,4()abcabcfabc++=，又由1abc++=，则222122()42()22(1,))(,abcababccababfababcc=−−++=+−−++2221111112[]24()()()222222cababcab=+−−+=−

−−+，又,,abc为△ABC的三边长，所以120,120,120abc−−−，所以()1,,2fabc，另一方面(),,12(12)2(1)fabcabccc=−−−−，由于0,0ab，所以

22(1)()24abcab+−=，又120c−，所以232(1)11(,,)12(12)2(1)422cfabcccccc−−−−−=−+，不妨设abc，且,,abc为ABC的三边长，所以103c．令3211

22ycc=−+，则23(31)0ycccc=−=−，当13c=时，可得2min111113()2723227y=−+=，从而()131,,272fabc，当且仅当13abc===时取等号．故选

B．【点睛】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.设二次函数2()fxaxbxc=++（,,abc为实常数）的导函数为()

fx，若对任意xR不等式()()fxfx恒成立，则222bac+的最大值为__________.【答案】222−【解析】【分析】由题意可得2(2)()0axbaxcb+−+−恒成立，即2(2)4()0baacb=

−−−≤，且0a，进而利用基本不等式可得222bac+的最大值.【详解】∵()2fxaxbxc=++，∴()2fxaxb=+，∵对任意xR，不等式()()fxfx恒成立，∴22axbxcaxb+++恒成立

，即2(2)()0axbaxcb+−+−恒成立，故222(2)4()440baacbbaac=−−−=+−，且0a，即2244baca−≤，∴2440aca−，∴0ca，∴1ca，可令cta=，即1t，当1t=时，,0acb==，2220bac=+；当1t时，222

22222244444(1)4(1)1(1)2(1)21cbacattaacactttca−−−−===+++−+−++442222222121tt==−+−++−，当且仅当12t=+时，取得最大值222−.故答案为：222−

.【点睛】本题主要考查的是一元二次不等式恒成立，以及基本不等式的应用，利用基本不等式要注意一正、二定、三相等，三者缺一不可，考查学生分析问题和解决问题的能力，考查学生的计算能力，是中档题.14.如图，曲线2(0)yxy=上的点1P与x轴的正半轴上的点iQ及原点O构成一系列正三角形，11

OPQ△，122QPQ△，1nnnQPQ−，△设正三角形1nnnQPQ−的边长为,*nanN（记0Q为O），(),0nnQS.数列na的通项公式na=______.【答案】23n【解析】【分析】先得出直线1OP的方程为3yx=，与曲线的方程联立得出1P的坐标，可得出11aOP=，并

设(),0nnQS，根据题中条件找出数列na的递推关系式，结合递推关系式选择作差法求出数列na的通项公式，即利用11,1,2nnnSnaSSn−==−求出数列na的通项公式．【详解】设数列na的前n项和为nS，则点nQ的坐标为(),0nS，易知直线1OP的方程

为3yx=，与曲线的方程联立()230yxyxy==，解得1333xy==，221132333a=+=；当nN时，点(),0nnQS、()1

1,0nnQS++，所以，点11,22nnnnnSSSSP++++，直线nnPQ的斜率为3，则111122322nnnnnnnnnSSSSSSSSS++++++==+−−，即11322nnnSSa+++=，等式两边平方并整理得211322

nnnaSS++=+，可得21322nnnaSS−=+，以上两式相减得()2211332nnnnaaaa++−=+，即()()()11132nnnnnnaaaaaa++++−=+，易知0na，所以()132nnaa+−=，即123nnaa+−=，所以，数列na是等差数列，且首项为23，

公差也为23，因此，()2221333nnan=+−=.故答案为23n．【点睛】本题考查数列通项的求解，根据已知条件找出数列的递推关系是解题的关键，在求通项公式时需结合递推公式的结构选择合适的方法求解数列的通项公式，考查分析问题的能

力，属于难题．15.已知直线1()4ykx=+与曲线yx=恰有两个不同的交点，记k的所有可能取值构成集合A，(,)Pxy是椭圆221169xy+=上一动点，点111(,)Pxy与点P关于直线1yx=+对称，记114y−的所有可能取值构成集合B，若随机从集

合,AB中分别抽出一个元素12,，则12的概率是___．【答案】34【解析】【详解】试题分析：由1()4xkx=+，当x≥0时，显然k＞0，两边平方得2222216kkxkxx=++，即2222(1)0216kkkx

x+−+=由题意，该方程有两个不相等的正实数根即2222102140216kkkk−−−即221210kk−+结合k＞0解得k∈(0，1)，即A＝(0，1)对于椭圆221169xy+=，由于原点关于y＝x＋1的对称点

为(－1，1)所以，椭圆关于y＝x＋1的对称椭圆为22(1)(1)1169yx−++=，111(,)Pxy在改椭圆上，可知y1－1∈[－4，4]于是114y−∈[－1，1]，即B＝[－1，1]【方法一】由12,AB，分别以12

,为横坐标和纵坐标，可知点(12,)构成一个面积为2的矩形其中满足12的是图中阴影部分，面积为32所以，满足12的概率是34【方法二】当12,[1,0]A−时，此事件发生的概率为12，此时必有12当12,(0,1]A时，此事件发生的概率为12，此时

12与12概率相等，各占12，于是此时满足12的概率为12.以上两事件互斥，且[－1，0]与(0，1]的区间长度相等，故满足12的概率为113244+=.考点：直线与曲线的交点，轴对称图形，坐标的取值范围，几何概型.16.设(,)Pxy为椭

圆2211612xy+=在第一象限上的点，则346xyxy+−−的最小值为________.【答案】4【解析】【分析】利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小

值．【详解】解：设点(4cosP，23sin)，其中02，33443(6)18()()464646xyxyxyxyxyxy−+−++=−+=−+−−−−−−4184184()44646xyxy=−−+=−++−−−−，由4cosx=，23siny=，02，可设4184

184644cos623sinzxy=+=+−−−−1331cos3sin=+−−，导数为22sin33cos(1cos)(3sin)z=−+−−，由0z=，可得233233cos63cos33cos3sinsin23sin−

+−−+22(3cossin)(36cos23sin3cossin23sincos)0=−−−+++=，可得3cossin0−=或2236cos23sin3cossin23sincos0

−−+++=，由343sin()2cos23sin2543sin()2sin(2)336−++++=−+++22343sin()4sin()(2sin()3)0333=−+++=+−，(0)2，可得3cossin0−=

，即tan3=，可得3=，由03可得函数z递减；由32，可得函数z递增，可得3=时，函数z取得最小值，且为1338131322+=−−，则346xyxy+−−的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查椭圆

参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．三.解答题(共7小题，共70分)17.在△ABC中，内角,,ABC所对的边分别为a，b，c．(1)若a,b,c三边成等比数列，求B的取值范围；(2)我们

知道，若222abc+=，则2C=．现已知333abc+=，请猜测C是锐角还是钝角，并加以证明．【答案】(1)(0,]3B.(2)C是锐角.【解析】分析：（1）由余弦定理结合2bac=，可得11cos22acBca=+−，利用基本不等式得c

osB的范围，进而得B的范围；（2）由c为最大边，得33221ababcccc=++，从而，222cab+得解.详解：（1）若a,b,c三边成等比数列，即有2bac=2222211111cos22222

222acbacacacacBacaccaca+−+−===+−−=.又()0,B，从而0,3B(2)（给出正确猜测但没有证明的可以得1分）【解法一】若333abc+=，则c为最大边，即有,cacb33221ababcccc=++

从而，222cab+所以C是锐角.【解法二】若333abc+=，则()()()()332226642246633332abcababababab+−=+++−++()222233222233333333332233262

40ababababababababab=+−−=−=从而，222cab+所以C是锐角.点睛：本题主要考查了余弦定理的应用，可以判断三角的形状，也可以求解的范围，属于中档题.18.如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BEAF，ABAF⊥，12

2ABBEAF===，3CBA=，P为DF的中点（Ⅰ）求证：DEBCPA平面；（Ⅱ）求二面角DEFA−−的余弦值；（Ⅲ）设G为线段AD上一点，AGAD=，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为392

6，求AG的长.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）53131；（Ⅲ）233AG=.【解析】试题分析：（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，考虑到P是DF中点，因此取AD中点Q，可得PQ与BE平行且相等，从而可证得/

/PEBQ，所以可证得线面平行；（Ⅱ）求二面角，可建立空间直角坐标系，用向量法求解，考虑到平面ABCD与平面ABEF垂直，ABCD是菱形，因此取AB中点O，则有COAB⊥，因此COABEF⊥平面，所以可作//OMAF，以,,OBOMOC为,,xyz轴建立

空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角可得二面角；（Ⅲ）在（Ⅱ）的坐标系，利用已知AGAD=得G点坐标，从而可得向量FG的坐标，利用向量FG与平面ABEF的法向量夹角的正弦值可求得，最后可得AG的长度.试题解析：（Ⅰ）取AD的中点Q，连

接PQBQ，，则PQ∥AF∥BE,且12PQAFBE＝＝，所以四边形BEPQ为平行四边形所以PE∥BQ，又BQ平面ABCD，PE平面ABCD，则PE∥平面ABCD.（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，则COAB⊥，因为平面ABCD⊥平面ABEF，交线为AB，则CO⊥平

面ABEF作OM∥AF，分别以,,OBOMOC所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()2,0,3,1,4,0,1,2,0DFE−−于是()()1,4,3,2,2,0DFEF=−=−，设平面DEF的法

向量(),,mxyz=，则430{220xyzxy+−=−+=令1x=，则51,3yz==平面AEF的法向量()0,0,1n=所以55313cos,31313mn==又因为二面角DEFA－－为锐角，所以其余弦值为53131.（Ⅲ）()()()1,0,0,1,

0,3,,0,3,AADAG−=−=−则()1,0,3G−−，(),4,3FG=−−，而平面ABEF的法向量为()0,0,1m=，设直线FG与平面ABEF所成角为，于是2339sin26164

==+于是33=,233AG=.19.在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天

，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率y（100100天中出租的天数），设民宿租金为x（单位：元/日），得到如图所示的数据散点图.（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡

季内的三天中至少有2天闲置的概率.（2）①根据散点图判断，ybxa=+与lnycxd=+哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出9.9%x的固定成本，若

民宿出租，则每天需要再付出10%x的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益W达到最大？附：对于一组数据()11,uv，()22,uv，…，(),nnuv，其回归直线vu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为(

)()()121niiiniiuuvvuu==−−=−；vu=−.参考数据：记lniizx=，261.3x，0.47y=，5.4z=，()()1221niiixxyy=−−−，()21121333.3niixx=−，()()

10.99iiinzzyy=−−−，()212.2niizz=−，5.1164e，5.2181e.【答案】（1）0.896（2）①lnycxd=+更适合，0.45ln2.9yx=−+②181元【解析】【分析】（1）三天

中至少有2天闲置的即为3天中有两天闲置或者3天都闲置，又每天的出租率为0.2，根据二项分布的相关知识即可求出概率；（2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近lnycxd=+的图象，故lnycxd=+的拟合效果更好，代入公式求出回归

方程即可；②将收益表示为租金的函数，用函数单调性处理即可．【详解】（1）三天中至少有2天闲置的反面为3天中最多有一天能够租出，又每天的出租率为0.2，所以3天中至少有2天闲置的概率：()()232310.20.210.20.896PC=−+−=.（2）①根

据散点图的分布情况，各散点连线更贴近lnycxd=+的图象，故lnycxd=+的拟合效果更好，依题意，()()10.99iiinzzyy=−−−，()212.2niizz=−，所以()()()1210.990.452.2niiiniizzyyczz

==−−−===−−，所以0.470.455.42.9dycz=−=+=，所以回归方程为0.45ln2.9yx=−+.②设旅游淡季民宿租金为x，则淡季该民宿的出租率0.45ln2.9yx=−+，所以该民宿在这280天的收益：2802800.12800.099Wyxy

xx=−−()()2520.45ln2.927.72113.4ln703.080xxxxxxx=−+−=−+，所以589.681134'.lnWx=−，令'0W=得，ln5.2x=，所以5.2181x

e=，且当()0,181x时'0W，()181,x+时，'0W，所以()Wx在()0,181上单调递增，在()181,+上单调递减，所以当181x=时，W存在最大值，所以旅游淡季民宿租金约定为181元时，该民宿在这280天的收益W达到最大.【点睛】本题考查线性回归方程，二项分布及其

概率计算公式，考查分析求解及转化能力，属于中等题.20.过椭圆C外一点()00,Pxy作椭圆22:154xyC+=的切线1l，2l，切点分别为A，B，满足12ll⊥.（1）求P的轨迹方程（2）求ABP△的面积(用P的横坐标0x表示)（3）当P运动时，求A

BP△面积的取值范围.【答案】（1）229xy+=.（2）()()220002025253345xxSxx−−=−−剟.（3）1625,99【解析】【分析】（1）讨论切线1l，2l的斜率都存在时，设出切线方程，联立椭圆方程，结合相切的条件：判别式为0，由两直线垂

直的条件：斜率之积为1−，可得P的轨迹方程；再讨论切线的斜率不存在，可得所求；（2）设()11,Axy，()22,Bxy，求得A，B处的切线方程，可得切点弦AB的方程，联立椭圆方程，由韦达定理和弦长公式，可得||AB

，求得P到直线AB的距离，再由三角形的面积公式，化简可得所求；（3）运用换元法和导数，判断面积函数的单调性，结合P的横坐标的范围，可得所求范围.【详解】解：（1）当切线1l，2l的斜率都存在时，设切线方程为()00ykxxy=−+，由()00224520ykxxyxy=

−++=，()()()222000045105200kxkykxxykx++−+−−=()()()222220000104455200kykxkykx=−−+−−=，()2200540ykxk−−−=

，()22200005240xkxyxy−−+−=∵12ll⊥.∴201220415ykkx−==−−，∴22009+=xy.当切线1l，2l的斜率有一条不存在时，(5,2)P，P在229xy+=上.故P的轨迹方

程229xy+=.（2）设点0(Mx，0)y在椭圆22221xyab+=上，则过点0(Mx，0)y的切线方程为00221xyxyab+=，以下来证明此结论：因为点0(Mx，0)y在椭圆22221xyab+=上，得2200221xyab+=．把0(x，0)y代入方程

00221xyxyab+=，得2200221xyab+=，所以点0(Mx，0)y在直线00221xyxyab+=上，联列方程组2222002211xyabxyxyab+=+=，消去y可得222220020axaxxax−+=，解

得0xx=，即方程组只有唯一解．所以，直线00221xyxyab+=为椭圆在点M处的切线方程；设()11,Axy，()22,Bxy，可知，过A的切线方程为11154xxyy+=，过B的切线方程为22154xxyy+=.又两切线均过()00,P

xy，∴01010202154154xxyyxxyy+=+=.说明()11,Axy，()22,Bxy均在直线00154xxyy+=上.∵过两点的直线唯一，∴切点弦AB所在的直线方程为：00154xxyy+=.由00224520452

0xxyyxy+=+=，()22200004540100250xyxxy+−+−=可得01222004045xxxxy+=+，201222001002545yxxxy−=+，即有()2220001212122200104520445yxyxxx

xxxxy+−−=+−=+，可得222000022200010452016||12545yxyxABgyxy+−=++，又P到直线AB的距离为2200220045201625xydxy+−=+，可得ABP△的面积为()22220000220045204

5201||245xyxySABdxy+−+−==+，由22009+=xy.可得22009yx=−，即有()()220002025253345xxSxx−−=−−剟；（3）设2025[4,5]tx=−，则3220tSt=+，()422260020ttSt+=+，可得S在[4,5]

递增，可得1625,99S.则P运动时，求ABP△面积的取值范围为1625,99.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质､直线与椭圆相切0=､直线垂直与斜率的关系､分类讨论等基础知

识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.21.已知函数f（x）()3211232xxeaxax=−−+．（1）当a≤e时，求证：当x＝1时函数f（x）取得极小值：（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）a＞6e【解析】【分析】（1）由题可得f

'（x）＝（x﹣1）（ex﹣ax）．①当a≤0时，对任意x∈（0，+∞），都有ex﹣ax＞0恒成立，易得函数f（x）在x＝1处取得极小值，②当0≤a≤e时，令g（x）＝ex﹣ax，令g′（x）＝0，得x＝lna，再论证当1＜a≤e，0＜a≤1

时，都有ex﹣ax≥0恒成立即可．（2）由（1）知当a≤e时，当x＝1时函数f（x）取得极小值，所以f（x）最多有2个零点；当a≥0时，ex﹣ax＞0，f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，0]上单调减，所以f

（x）最多有2个零点；当a＜0时，设g（x）＝ex﹣ax，g'（x）＝ex﹣a＞0，又()110110aggea==−，＜，由零点存在定理，存在010xa，使得g（x0）＝0，是f（x）的极大值点，所

以f（x）最多有3个零点；所以要使得f（x）有4个零点，则a＞e，根据（1）知，g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）＜0，又g（1）＝e﹣a＜0，g（0）＝1＞0，g（a）＝ea﹣a2＞0，由零点存在定理，则存在0＜x1＜1＜x2，使得g（x1）＝g（x2）＝0，所以f'（x）＝0

有3个零点x1，1，x2，要有4个零点，则()1106fae=−＞即可.【详解】（1）由题可得f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣ax）．①当a≤0时，对任意x∈（0，+∞），都有ex﹣ax＞0恒成立，所以当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．所以函数f（x）在x＝1处取得极小值

，符合题意．②当0≤a≤e时，设g（x）＝ex﹣ax，依然取x∈（0，+∞）．则g′（x）＝ex﹣a，令g′（x）＝0，得x＝lna，当1＜a≤e时，lna＞0，所以g（x）在（0，lna）上单调递减，在区间（lna，+∞

）上单调递增，所以g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）．因为1＜a≤e，所以g（x）min＝a（1﹣lna）≥0．当且仅当a＝e时，等号成立，此时x＝1，所以对任意x∈（0，1）∪（1，+∞），都有

ex﹣ax≥0恒成立．当0＜a≤1时，由x∈（0，+∞）时ex＞1得g′（x）＝ex﹣a≥0，所以当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．所以函数f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意．综上①②可知：当a≤e时x＝

1是函数f（x）的极小值点．（2）由（1）得当a≤e时，f（x）在（0，1）上单调减，在（1，+∞）单调增；在x≤0时，x﹣1＜0，当a≥0时，ex﹣ax＞0，f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，0]上单调减，所

以f（x）最多有2个零点；当a＜0时，设g（x）＝ex﹣ax，g'（x）＝ex﹣a＞0，又()110110aggea==−，＜，所以存在010xa，使得g（x0）＝0，则在（﹣∞，x0）上g（x）＜0，f'（x）＞0，f（x）单调增，在（x0，0]上

，g（x）＞0，f'（x）＜0，f（x）单调减，所以f（x）最多有3个零点；所以要使得有4个零点，a＞e，由（1）得g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）＜0，又g（1）＝e﹣a＜0，g（0）＝1＞0，g（a）＝ea﹣a2＞0（证明：h（a）＝a﹣2lna（a＞2），则()22'

10ehaaa−=−=＞，所以h（a）在（2，+∞）单调增，所以在（e，+∞）上h（a）＞h（e）＝e﹣2＞0，所以a＞2lna，即ea＞a2，所以存在0＜x1＜1＜x2，使得g（x1）＝g（x2）＝0，又当x≤0时，g（x）＞0，所以f'（x）＝0有3个零点x1，1，x2，当x

＜x1，或1＜x＜x2，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞x2，或x1＜x＜1，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以要有4个零点，()1106fae=−＞，即a＞6e，此时()3531506faeee−=−+−+＞＞，f（0）＝﹣2＜0，()8222033faaa=−+=−

＜，设m（a）＝a﹣3lna（a＞3），()3'0amaa−=＞，所以在（6e，+∞）上m（a）＞m（6e）＞m（e2）＝e2﹣6＞0，所以a＞3lna，即ea＞a3，又()()()433433111123220323232

afaaeaaaaaaaa=−−+−−+=−＞＞，综上，当且仅当a＞6e时，函数f（x）有4个零点．【点睛】本题主要考查导数与函数的极值、最值和零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程是2cos{s

inxy==（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2sin=.（1）写出1C的极坐标方程和2C的直角坐标方程；（2）已知点1M、2M的极坐标分别为12

，和(20)，，直线12MM与曲线2C相交于P，Q两点，射线OP与曲线1C相交于点A，射线OQ与曲线1C相交于点B，求2211||||OAOB+的值.【答案】（1）线1C的普通方程为2214xy+=，曲线2C的直

角坐标方程为22(1)1yx+−=；（2）22115||||4OAOB+=.【解析】试题分析：（1）（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用xcosysin==即可化为极坐标方程，同理可

得曲线C2的直角坐标方程；（2）由12MM过()2211xy+−=的圆心，得OPOQ⊥得OAOB⊥，设()1A，，22B，+，2222121111||||OAOB+=+代入222

2cossin14+=中即可得解.试题解析：（1）曲线1C的普通方程为2214xy+=，化成极坐标方程为2222cossin14+=曲线2C的直角坐标方程为()2211xy+−=（2）在直角坐标系下，()101M，，()220M，，12:220MMxy+−=恰好过()221

1xy+−=的圆心，∴90POQ=由OPOQ⊥得OAOB⊥A，B是椭圆2214xy+=上的两点，在极坐标下，设()1A，，22B，+分别代入222211cossin14+=中，有222211cossin14+=和2

22222cos2sin142+++=∴22211cossin4=+，22221sincos4=+则22121154+=，即22115||||4OAOB+=23.（1）设不等

式|2|11x−的解集为M，且aM，bM，试比较1ab+与+ab的大小；（2）若,,abc为正实数且满足236abc++=，求12131abc+++++的最大值.【答案】（1）1abab++.（2）33【解析】【分析】（1）由|2|11x−可

得1211x−−，求出x的范围，即可得到集合M，可得01a，01b，根据(1)()(1)(1)0ababab+−+=−−，得到1ab+与+ab的大小.（2）由题意可得，3[(1)(21)(31)]27abc+++

++=.再利用柯西不等式可得227(12131)abc+++++…，由此可得12131abc+++++的最大值.【详解】解：（1）由|2|11x−可得1211x−−，∴01x，集合(0,1)M=.∴01a，01b，∴(1)()(1)(

1)0ababab+−+=−−，∴1abab++；（2）由236abc++=，可得(1)(21)(31)9abc+++++=，∴3[(1)(21)(31)]27abc+++++=.再利用柯西不等式，可得2(111)[(1)(21)(31)]27(121

31)abcabc+++++++=+++++…，∴1213133abc+++++„，当且仅当12131abc+=+=+时，取等号，故12131abc+++++的最大值为33.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，用

作差比较法比较两个式子的大小，考查利用柯西不等式求式子的最大值，式子的变形是解题的关键，属于中档题.