【文档说明】吉林省实验中学2024-2025学年高二上学期学程性考试（二）（11月）数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.810 MB，由envi的店铺上传

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吉林省实验中学2024—2025学年度上学期高二年级学程性考试（二）数学注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.3.请认真阅读答题卡上的注

意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题未上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号.5.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.椭圆C：22126xy+=一个焦点的坐标是（）A.(2,0)B.(0,2)C.(0,4)D.(4,0)【答案】B【解析】【分析】

根据椭圆的标准方程即可求出C,并且知道焦点在y轴上,可表示出焦点坐标.【详解】由椭圆C：22126xy+=，知,,,abcc====2226242，故焦点坐标为(0,2),(0,2)−.故选：B2.在平行六面体11

11ABCDABCD−中，已知1,,AAaABbADc===，则1AC=（）A.abc++B.abc+−rrrC.abc−+D.abc−++【答案】D【解析】【分析】根据平行六面体结构特征和相等向量的定义，结合向量加法法则

即可求解.【详解】在平行六面体1111ABCDABCD−中，BCAD=,所以111ACAAABABAACADabcB==++=++−+−+.故选：D.3.双曲线22136xymm−=的渐近线方程为（）A.2yx=B.22yx=C.2yx=D.12yx=【答案】A【解析】【分析】根据双

曲线方程直接求解即可【详解】由22036xymm−=，得222yx=，所以2yx=，即双曲线的渐近线方程为2yx=.故选：A4.正四棱柱1111ABCDABCD−中，12AAAB=，E，F，G分别是1CC，BD，11AB的中点，则直线1CG与

EF所成角的余弦值为（）A.32B.63C.55D.3010【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设12,1AAAB==，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式求出答案.【详解】以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设1

2,1AAAB==，则()()11110,1,2,1,,2,0,1,1,,,0222CGEF，故11111131,,0,,1222304cos,101115610144422CGEFCGEFCGEF−−−

====++++，故直线1CG与EF所成角的余弦值为3010.故选：D5.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=的准线为=2y−，点,PQ在抛物线C上，且线段PQ的中点为()2,4−，则直线PQ的方程为（）A.

260xy+−=B.3100xy+−=C.20xy+=D.2380xy+−=【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为28xy=，再利用点差法，即可求解.【详解】由抛物线2:2Cxpy=的准线为=2y−，可得22p−=−，可得4p=，所

以28xy=，设()()1122,,,PxyQxy，可得21122288xyxy==，且124xx+=−，两式相减，可得2221212121()()8()xxxxxxyy−=−+=−，可得212121182PQyyxxkxx−+===−−，所以直线PQ的方程为()

1422yx−=−+，即260xy+−=.故选：A．6.椭圆()2222:10xyCabab+=上顶点为A，点,PQ均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为34，则C的离心率为（）A.32B.22C.12D.13【答案】C【解析】【分析】根据

直线AP，AQ的斜率之积列方程，求得22ba，进而求得椭圆的离心率.【详解】()0,Ab，设𝑃(𝑥1,𝑦1)，则()11,Qxy−，则11APybkx−=，11AQybkx−−=，故22111211134APAQkybybybkxxx−−−−+

===，又2211221xyab+=，则()2221212abyxb−=，所以()2212221234ybabyb−+=−，即2234ba=，所以椭圆C的离心率为22112cbeaa==−=．故选：C7.若关于x的方程2240ax

axx++−=有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）的A.(3,0−B.3,03−C.30,3D.(1,0−【答案】B【解析】【分析】利用直线与半圆的位置关系可得实数a的取值范围.【详

解】方程2240axaxx++−=有两个不相等的实数根等价于()242xxax−=−+有两个实数根，设24,0yxxy=−，()2yax=−+，故24,0yxxy=−的图象与()2yax=−+的图象

有两个不同的交点，又24,0yxxy=−可化为()()22240xyy−+=，故24,0yxxy=−的图象为如图所示的半圆，半圆圆心为(2,0)，半径为2，故圆心到直线的距离2421aa+，故3333a−，而直线()2yax=−+需在

x轴的上方或与x轴重合，故0a−，故303a−，故选：B.8.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，准线为l，A，B为C上两点，且均在第一象限，过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E.若1AB=，1sin4DFE=，则AFB△的外接圆面积为（）.A.16π15B.15π16C.14

π15D.15π14【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义及平行线的性质可得2AFBDFE=，结合同角三角函数的平方关系及二倍角的公式可得15sin8AFB=，进而由正弦定理可求得结果.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知|𝐴𝐹|=|

𝐴𝐷|，BFBE=，所以BFEBEFEFO==，AFDADFDFO==，所以DFEEFODFOBFEAFDBFADFE=−=−=−，故2AFBDFE=，易知DFE为锐角，且由1sin4DFE=可知15cos4DFE=，所以15sin2sin

cos8AFBDFEDFE==.设AFB△的外接圆半径为R，由正弦定理可知2sinABRAFB=，又||1AB=，所以415R=，所以AFB△的外接圆面积为216ππ15R=.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l：310xy−+=，则下列说法正确的是（）A.直线l在x轴上的截距为1B.直线l与直线1l：320xy−+=平行C.直线l的一个方向向量为()1,3n=D.直线l与直线2l：310xy+

+=垂直【答案】BD【解析】【分析】求出直线的横截距及方向向量判断AC；由方程判断两直线的位置关系判断BD.【详解】对于A，直线l在x轴上的截距为1−，A错误；对于B，直线l与直线1l的斜率均为13，它们的横截距分别为1,2−−，则1//

ll，B正确；对于C，直线l的一个方向向量为(3,1)，C错误；对于D，由13(3)10+−=，得2ll⊥，D正确.故选：BD10.已知抛物线C：2xmy=的焦点为()0,1F，点A，B为C上两个相异的动点，则（）A.抛物线C的准线方程为1y=−B.设点()

2,3P，则APAF+的最小值为4C.若A，B，F三点共线，则AB的最小值为2D.若60AFB=，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则MNAB【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由抛物线的焦点可求出抛物线的准线方程，对于B，

过点A作AK垂直准线于K，则APAFAPAK+=+，从而可求出其最小值，对于C，由抛物线的性质可判断，对于D，过,AB分别作11,AABB垂直准线，垂足分别为11,AB，则由梯形中位线定理可得()()111122MNAABBAFBF=+=

+，然后在ABF△利用余弦定理结合基本不等式可判断【详解】对于A，因为抛物线C：2xmy=的焦点为()0,1F，所以抛物线C的准线方程为1y=−，所以A正确，对于B，由题意可得抛物线的方程为24xy=，则点()2,3P在抛物线外，如图，过点A作AK垂直准线于K，则APAFAP

AK+=+，当,,APK三点共线时，APAK+取得最小值，最小值为4，所以B正确，对于C，由抛物线的性质可得当A，B，F三点共线，且AB⊥y轴时，弦AB最短为抛物线的通径24p=，所以C错误，对于D，过,AB分别作11,AABB垂直准线，垂足分别为11,AB，

则由梯形中位线定理可得()()111122MNAABBAFBF=+=+，设,AFaBFb==，则()12MNab=+，在ABF△中由余弦定理得22222cos60()3ABabababab=+−=+−

，因为22abab+，所以222231()3()()()44ababababab+−+−+=+，所以221()4ABab+，所以1()2ABabMN+=，当且仅当ab=时取等号，所以D正确，故选

：ABD11.已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为正方体内及表面上一点，且1APmABnAD=+，其中0,1m，0,1n，则下列说法正确的是（）A.当12n=时，1BP与平面ABCD所成角的最大值为π3B.当1mn+=时，11ACBP⊥恒成立C.存在

0,1n，对任意0,1m，CP与平面11ABBA平行恒成立D.当1mn+=时，22PAPC+的最小值为74【答案】BC【解析】【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.【详解】

由题意得：以点D为坐标原点，DA所在直线为x，DC所在直线为y轴，1DD所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如下图：则：()1,0,0A，()11,0,1A，()1,1,0B，()11,1,1B，()0,1,0C，()10,1,1C，()10,0,1D，()0,1,

0AB=，()11,0,1AD=−，(),,APnmn=−，得：()1,,Pnmn−对于A项：当12n=时，11,,22Pm，111,1,22BPm=−−，平面ABCD的一个法向量为：()0,0,

1m=，设1BP与平面ABCD所成的角为，所以：()11211·2sincos,112BPmBPmBPmm===+−因为：0,1m，所以：()21131222m+−，所以：当1m=时，sin有最大值22，此时：π4=，故A项错误；对于B项：()11

1,1,0AC=−，(),1,BPnmn=−−则：11·10ACBPnm=+−=，所以：11ACBP⊥，所以：11ACBP⊥，故B项正确；对于C项：由题意知平面11ABBA的一个法向量为：()1,0,0n=

，()1,1,CPnmn=−−·1CPnn=−，所以：当1n=时，·10CPnn=−=，即：CPn⊥，且CP不在平面11ABBA内，此时：对于任意0,1m，CP与平面11ABBA平行恒成立，故C项正确；对于D项：当1mn+=时，得：(),,1Pmmm−，()()()()22222222

222641111684633PAPCmmmmmmmmm+=−++−++−+−=−+=−+，当23m=时，有最小值43，故D项错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向

量m、n分别是直线l的方向向量、平面的法向量，若1cos,2=−mn，则l与所成的角为__．【答案】30o##π6【解析】【分析】利用空间向量法可得出l与所成的角.【详解】因为向量m、n分别是直线l的方向向量、平面的法向量，且1cos,2=−mn，所以，l与所成的角为30o.故

答案为：30o.13.若圆221:20Cxyxa+−+=与圆222:(1)4Cxy+−=相交于,AB两点，且22AB=，则实数a=__________．【答案】1−或9−【解析】【分析】由两个圆方程得到公共弦直线方程，由垂径定理得到等式，解方程

即可得到答案.【详解】222:230Cxyy+−−=，圆心()20,1C，半径2r=∴直线AB：2230xya−−−=，圆心2C到直线AB距离222352222aad−−−+==+，由垂径定理可得2222ABrd=+，∴()25428a+=+，即29100aa++=，∴1a

=−或9a=−，经验证均满足题意.故答案为：1−或9−14.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，以12FF为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，设2ABF=，且ππ,12

6，则该双曲线的离心率e的取值范围是______.【答案】)2,31+【解析】【分析】作出图形，分析可知四边形12AFBF为矩形，且122AFFABF==，可得出12cosAFc=，22

sinAFc=，利用双曲线的定义结合三角恒等变换、余弦函数的基本性质可求得e的取值范围.【详解】连接1AF、2BF，如下图所示：由对称性可知，AB、12FF的中点均为O，且12π2FAF=，所以，四边形12AFBF为矩形，所以，122AFFAB

F==，所以，12cosAFc=，22sinAFc=，由双曲线的定义可得()12π22cossin22cos4aAFAFcc=−=−=+，因为ππ,126，则ππ5π,4312+，且5πππππππ62co

scoscoscossinsin124646464−=+=−=，所以，π621cos,442−+，因此，该双曲线的离心率)212,31π22cos4cea

==++.故答案为：)2,31+.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，四棱锥PABCD−的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，113,3,,33ABBCBPCFCPDEDA=====.（1）证明：直线/

/EF平面ABP；（2）求点P到平面ADF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）3105.【解析】【分析】（1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法证明EF与面ABP的一个法向量垂直，即可证结论；（

2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离.【小问1详解】由PB⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,3,0,0,0,3BACDP由13CFCP=，得13C

FCP=，解得()0,2,1F，同理()3,2,0E，()3,0,1EF=−，显然面ABP的一个法向量为()0,1,0n=，显然0EFn=且EF面ABP，故//EF面ABP【小问2详解】设面ADF的一

个法向量为()1,,nxyz=，且()()0,3,0,3,1,1ADDF==−−，由113030ADnyxyzDFn⊥=−−+=⊥，取𝑥=1，则0,3yz==，所以()11,0,3n=为平面ADF的一个法向量，又()3,0,3AP

=−，点P到平面ADF的距离为113105APndn==.16.已知顶点在原点O，焦点在坐标轴上的抛物线过点()3,23.（1）求拋物线的标准方程；（2）若抛物线的焦点在x轴上且与直线yxm=+交于A、B两点（A、B两点异于原点），以A

B为直径的圆经过原点，求m的值.【答案】（1）24yx=或2332xy=（2）4m=−【解析】【分析】（1）根据抛物线过定点，分情况确定抛物线方程；（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理与圆过原点可得参数值

.【小问1详解】当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程为212ypx=，过点()3,23，即1126p=，解得12p=，即此时抛物线方程为24yx=；当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程为222xpy=，过点()3,23，即2943p=，解得2334p=，即此时抛物线方程为2332xy=；【小问2

详解】由（1）得当抛物线焦点在x轴上时，抛物线方程为24yx=，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立直线与抛物线24yxyxm==+，得2440yym−+=，则()2Δ4440m=−−，解得1m，且12

4yy+=，124yym=，()()()2221212121244xxymymyymyymmmmm=−−=−++=−+=，又以AB为直径的圆经过原点，即OAOB⊥，2121240OAOBxxyymm=+=+=，解得4m=−.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系

类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．17.已知1F，2F分别为双曲线C：()2230xy−=的左、右焦点

，过2F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，1ABF面积为12．（1）求双曲线C的标准方程；（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断2DFAB是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答

案】（1）2213yx−=（2）2DFAB是定值1【解析】【分析】（1）根据1ABF面积为12，结合双曲线基本量关系求解即可；（2）设直线l的方程为()20xtyt=+，𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立

直线与双曲线的方程，得出韦达定理，根据弦长公式求解即可.【小问1详解】双曲线223xy−=可化为2213xy−=11211232241222333ABFSFFAB====，即3=双曲线C标准方程为2213yx−=．【小问2详解】设直线l

的方程为()20xtyt=+，𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立双曲线C与直线l：22332xyxty−==+消去x可得：()22311290tyty−++=，()()22Δ1249310tt=−−

，则210t=+恒成立，又直线与双曲线交于右支两点，故1221231tyyt−+=−，1229031yyt=−，即213t，进而可得122431xxt−+=−，即AB中点M为2226,3131ttt−−−−，线段AB的中垂线为22623131

tytxtt+=−+−−，则28,031Dt−−，即222286623131tDFtt+=+=−−．的()222221212222129661414313131ttABtyyyytttt−+=++−=+−=−−−．即2DFAB为定值1．【点睛】方法点睛：（

1）根据题意设直线方程，联立圆锥曲线的方程，得出韦达定理；（2）将条件利用点的坐标结合弦长公式，代入韦达定理化简证明.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC=，PAB为正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E为线段A

B的中点，M是线段PD（不含端点）上的一个动点．（1）记平面BCM交PA于点N，求证：//MN平面PBC；（2）是否存在点M，使得二面角PBCM−−的正弦值为1010，若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在

，点M为线段PD上靠近点P的三等分点，理由见解析【解析】【分析】（1）证明//BC平面PAD，利用线面平行的性质可证得//MNBC，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）连接PE、CE、AC，推导出PE⊥平面ABCD，CEAB⊥，以点E为坐标原点，EB、E

C、EP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设PMPD=，其中01，利用空间向量法求出的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：因为四边形ABCD为菱形，则//BCAD，因为BC平面PAD，AD平面PAD，所以，//BC平面PAD，因为

BC平面BCM，平面BCM平面PADMN=，则//MNBC，因为MN平面PBC，BC平面PBC，因此，//MN平面PBC.【小问2详解】解：连接PE、CE、AC，因为PAB为等边三角形，E为AB的中点，则PEAB⊥，因为平面PAB⊥

平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，PE平面PAB，所以，PE⊥平面ABCD，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，则2ABBC==，又因为60ABC=，则ABCV为等边三角形，则CEAB⊥，以点E为坐标原点，

EB、EC、EP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B、()0,3,0C、()2,3,0D−、()0,0,3P，设()()2,3,32,3,3PMPD==−−=−−，其中01，设平面PBC法

向量为()111,,mxyz=，()1,3,0BC=−，()1,0,3BP=−，则11113030mBCxymBPxz=−+==−+=，取13x=，可得()3,1,1m=，设平面BCM的法向量为()222,,nxyz=，()()()1,0,32,3,321,3,33B

MBPPM=+=−+−−=−−−，则()()2222230213310nBCxynBMxyz=−+==−+++−=，取233x=−，则21y=−，21z=+，所以，()33,1,1n=−−+，的由题意可得()()22253103

10cos,110105411mnmnmn−===−=−++，整理可得227650+−=，即()()31950−+=，因为01，解得13=，故当点M为线段PD上靠近点P的三等分点时，二面角PBCM−−的正弦值为1010.19.已知椭圆2222:1(

0,0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，过点2F的动直线l与C交于P，Q两点.当lx⊥轴时，3PQ=，且直线11,FPFQ的斜率之积为916−.（1）求C的方程;（2）求1PFQ△的内切圆半径r的取值范围.【答案】（1）22143xy+=（2）3(0,]4

【解析】【分析】（1）根据题意列出关于,,abc的方程，解方程即可求得答案；（2）设()()1122,,,PxyQxy，由等面积法表示114PFQrS=，进而讨论直线斜率存在和不存在的情况，存在时设直线l方程，联立椭圆方程，可得

根与系数的关系，结合弦长公式可得114PFQrS=的表达式，再结合二次函数的性质，即可求得答案.【小问1详解】设椭圆2222:1(0,0)xyCabab+=的半焦距为c，则12(,0),(,0)FcFc−，令xc=代入22221xyab+=，可得2bya=

，则当lx⊥轴时，223bPQa==，此时不妨设22,,,bbPcQcaa−，则由直线11,FPFQ的斜率之积为916−，得2292216bbacac−=−，即2324bac=，结合223,1bca==，即221ab−=，解得22

4,3ab==，故C的方程为22143xy+=；【小问2详解】设()()1122,,,PxyQxy，则1PFQ△的周长为48a=，故()111142PFQSFPFQPQrr=++=，则114PFQrS=，当lx⊥轴时，1211113||||32424

24rPQFF===；当l不与x轴垂直时，设:(1),(0)lykxk=−，联立{𝑦=𝑘(𝑥−1)𝑥24+𝑦23=1，得()22243690kykyk++−=，()2221226Δ3636430,43kkkkyyk=+++=−

+，2122943kyyk=−+，()12121212121211422PFQSFFyyFFyyyy=−=+−22226364343kkkk=−+++()()222211243kkk+=+，故()()22221343kkrk+=+，令243kt+=，则3t，

则231143433rt=−++，由于3t，故1103t，令11,03uut=，则214333yu=−++1(0,)3上单调递减，则222114114140333013333333t=−++−+

+−++=，则304r，综合上述，1PFQ△的内切圆半径r的取值范围为3(0,]4.【点睛】易错点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系中的三角形的内切圆半径的范围

问题，解题思路并不困难，但很容易出错，易错点就在于根据等面积法求出内切圆半径的表达式后，结合根与系数的关系化简，求解范围，计算过程较为复杂，计算量较大，很容易计算错误，因此计算要十分细心.在