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5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式A级必备知识基础练1.(2022河南南阳高一期末)cos15°cos45°+sin15°sin45°=()A.12B.√32C.-12D.-√322.计算cos(π4-𝛼)sin𝛼+cos�

�的值是()A.√2B.-√2C.√22D.-√223.已知锐角α,β满足cosα=35,cos(α+β)=-513,则cos(2π-β)的值为()A.3365B.-3365C.5465D.-54654.化简2cos

10°-sin20°cos20°=.5.若cosθ=-1213,θ∈(π,3π2),则cos(𝜃-π4)=.6.(2021山东威海高一期末)已知cos(α-β)=-1213,cos(α+β)=1213,且α-β∈π2,π,α+β∈3π2,2π,求角β的值.B级关

键能力提升练7.(2021河南洛阳高一期末)已知sinα-sinβ=1-√32,cosα-cosβ=12,则cos(α-β)的值为()A.12B.√32C.√34D.18.(2021四川成都高一期末)已知cosx-π6=-√

33,则cosx+cosx-π3等于()A.-2√33B.±2√33C.-1D.±19.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,则cos(α-β

)的值为()A.59B.49C.23D.010.(多选题)下列满足sinαsinβ=-cosαcosβ的有()A.α=β=90°B.α=-18°,β=72°C.α=130°,β=40°D.α=140°,β=40°11.(多

选题)若12sinx+√32cosx=cos(x+φ),则φ的一个可能值是()A.-π6B.-π3C.11π6D.π312.(多选题)已知α,β,γ∈0,π2,sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,则下

列说法正确的是()A.cos(β-α)=12B.cos(β-α)=-12C.β-α=π3D.β-α=-π313.已知△ABC中,sin(A+B)=45,cosB=-23,则sinB=,cosA=.14.若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+𝛼)=13,c

os(π4-𝛽2)=√33,则sin(π4-𝛽2)=,cos(𝛼+𝛽2)=.15.若x∈[π2,π],且sinx=45,求2cosx-2π3+2cosx的值.C级学科素养创新练16.如图所示,在平面直角

坐标系xOy中,以Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知点A,B的横坐标分别为√210,2√55.求cos(α-β)的值.第1课时两角差的余弦公式1.B由两角差的余弦公式可得cos15°cos45°+sin15°sin45

°=cos(45°-15°)=cos30°=√32,故选B.2.Ccos(π4-𝛼)sin𝛼+cos𝛼=cosπ4cos𝛼+sinπ4sin𝛼sin𝛼+cos𝛼=√22(sin𝛼+cos𝛼)sin𝛼+cos𝛼=√22.3.A∵α,β为锐角,co

sα=35,cos(α+β)=-513,∴sinα=45,sin(α+β)=1213,∴cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-513)×35+121

3×45=3365.故选A.4.√3原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=√3cos20°+sin20°-sin20°cos20°=√3.5.-17√226∵cosθ=-1213,θ∈(π,

3π2),∴sinθ=-513.∴cos(𝜃-π4)=cosθcosπ4+sinθsinπ4=-1213×√22−513×√22=-17√226.6.解由α-β∈π2,π,且cos(α-β)=-1213,得sin(α-β)=513.由α+β∈3π2

,2π,且cos(α+β)=1213,得sin(α+β)=-513.∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=1213×-1213+-513×513=-1.又α+β∈3π2,2

π,α-β∈π2,π,∴2β∈π2,3π2.∴2β=π,则β=π2.7.B因为sinα-sinβ=1-√32,所以sin2α-2sinαsinβ+sin2β=74−√3.①又因为cosα-cosβ=12,所以cos2α-2cosαcosβ+co

s2β=14.②所以①+②得2cos(α-β)=√3,所以cos(α-β)=√32,故选B.8.C因为cosx-π6=-√33,所以cosx+cosx-π3=cosx+12cosx+√32sinx=32cosx+√32sinx=√3√32cosx+12sinx=√3cosx-π6=-1.故

选C.9.A设大的正方形的边长为1,由于小正方形与大正方形面积之比为4∶9,所以小正方形的边长为23,可得cosα-sinα=23,①sinβ-cosβ=23,②由图可得:cosα=sinβ,sinα=cosβ,①×②可得:49=cosαsinβ+sinαcosβ-cos

αcosβ-sinαsinβ=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),解得cos(α-β)=59.10.BC由sinαsinβ=-cosαcosβ可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°

,k∈Z,B,C项符合.11.AC对比公式特征知,cosφ=√32,sinφ=-12,故φ=-π6,11π6都合适.12.AC由已知,得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ.两式分别平方相加,得

(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1,∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=12,∴A正确,B错误.∵α,β,γ∈0,π2,∴sinγ=sinβ-sinα>0,∴β>α,∴β-α=π3,∴C正确,D错误.13.√536+4√515在△AB

C中,因为cosB=-23<0,所以B为钝角,则sinB=√53,且A+B∈(π2,π).由sin(A+B)=45,得cos(A+B)=-35,所以cosA=cos[(A+B)-B]=cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB=-35×(-23)+45×

√53=6+4√515.14.√635√39因为0<α<π2,所以π4<π4+α<3π4,又cos(π4+𝛼)=13,所以sin(π4+𝛼)=2√23,因为-π2<β<0,所以π4<π4−𝛽2<π2,又cos(π4-�

�2)=√33,所以sin(π4-𝛽2)=√63.于是cos(𝛼+𝛽2)=cos[(π4+𝛼)-(π4-𝛽2)]=cos(π4+𝛼)cos(π4-𝛽2)+sin(π4+𝛼)sin(π4-𝛽2)=13×√33+2√23×√63=5

√39.15.解因为x∈[π2,π],sinx=45,所以cosx=-35.于是2cos(𝑥-2π3)+2cosx=2cosxcos2π3+sinxsin2π3+2cosx=2(-12cos𝑥+√32sin𝑥)+2cosx=√3

sinx+cosx=4√35−35=4√3-35.16.解依题意,得cosα=√210,cosβ=2√55.因为α,β为锐角,所以sinα=7√210,sinβ=√55,