【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练74 正态分布.docx，共(11)页，103.649 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。七十四正态分布(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,则P(-1≤ξ≤0)等于()A.0.3

4B.0.68C.0.15D.0.07【解析】选A.由题意得P(ξ>1)=1-P(ξ≤1)=1-0.84=0.16,所以P(-1≤ξ≤0)=12×(1-0.16×2)=0.34.2.(5分)(2023·贵州八校联考)设随机变量X~N(2,4),若P(X>a+2)=P(X<2a

-3),则实数a的值为()A.1B.53C.5D.9【解析】选B.因为P(X>a+2)=P(X<2a-3),所以由正态曲线的对称性知𝑎+2+2𝑎-32=2,解得a=53.3.(5分)若随机变量X服从正态分布N(5,1),则P(6≤X≤7)≈()附:若X~

N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.1359B.0.3413C.0.4472D.1【解析】选A.依题设,得P(4≤X≤6)≈0.6827,P(3≤X≤7)≈0.9545,所以P(

6≤X≤7)≈12×(0.9545-0.6827)=0.1359.【加练备选】某天文馆开馆后的1个月内每天的游客人数X服从正态分布N(2000,4900),则在此期间的某一天,该馆的游客人数不超过2210的概率为()(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-

σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.99865B.0.9973C.0.9772D.0.00135【解析】选A.因为该天文馆开馆后1个月内每天的游客人数X服从正

态分布N(2000,4900),所以P(1790≤X≤2210)=P(2000-3×70≤X≤2000+3×70)≈0.9973,所以P(X>2210)≈12×(1-0.9973)=0.00135,所以P(X≤2210)≈1-0

.00135=0.99865.4.(5分)某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成

绩在90分到105分之间的人数约为()A.150B.200C.300D.400【解析】选C.因为P(X<90)=P(X>120)=15,P(90≤X≤120)=1-15×2=35,所以P(90≤X≤105)=310,所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×310=

300.5.(5分)(2023·济南模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ=()A.-12B.0C.12D.1【解析】选C.因为函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则f(-x)=f(x),所以P(-x≤ξ≤-x+1)=P(

x≤ξ≤x+1),所以μ=-𝑥+𝑥+12=12.6.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件,零件的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布,X~N(μ1,𝜎12),Y~N(μ

2,𝜎22),其正态曲线如图所示,则下列结论中正确的是()A.甲工厂生产零件尺寸的均值等于乙工厂生产零件尺寸的均值B.甲工厂生产零件尺寸的均值小于乙工厂生产零件尺寸的均值C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D.甲工厂生产零

件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性【解析】选AC.X,Y均服从正态分布,X~N(μ1,𝜎12),Y~N(μ2,𝜎22),结合正态密度函数的图象可知,μ1=μ2,σ1<σ2,故甲工厂生产零件尺寸的均值等于乙工厂生产零件尺寸的均值,故A正确,B错误;甲工

厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性,故C正确,D错误.7.(5分)(2023·南京模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2,𝜎2),且P(-1≤𝑋≤2)=3P(𝑋>5),则P(-1

≤𝑋≤5)=__________.【解析】因为X~N(2,𝜎2),P(-1≤𝑋≤2)=P(2≤𝑋≤5)并且P(𝑋≥2)=0.5,又因为P(-1≤𝑋≤2)=3P(𝑋>5),所以P(𝑋≥2)=P(2≤𝑋≤5)+P(𝑋>5)=4P(𝑋>5)=0.5,所以P(𝑋>5

)=0.125,所以P(2≤𝑋≤5)=0.5-0.125=0.375,所以P(-1≤𝑋≤5)=0.75.答案:0.758.(5分)某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两

个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.【解析】由题意知P(ξ≥2)=0.8,P(ξ≥6)=0.2,所以P(ξ<2)=P(ξ≥6)=0.2.所以正态曲线的对称轴为直线x=4,即P(ξ≥4)=12,即每个摄像头在4年内能正

常工作的概率为12,所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×12=14.答案:149.(10分)已知随机变量X~N(μ,σ2),且正态密度函数在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,P(72≤X≤88)≈68.27%.(1)求参

数μ,σ的值;(2)求P(64≤X<72).(结果精确到0.0001)参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45%,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.73%.【解析】(1)由题意得参数μ=80.又P(72≤X≤88)≈68

.27%,结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,可知σ=8.(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈95.45%.因为P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈12×(1-95.45%)=2.275%,所以P(X≥64)

≈97.725%.又P(X<72)=12×[1-P(72≤X≤88)]≈12×(1-68.27%)=15.865%,所以P(X≥72)≈84.135%,所以P(64≤X<72)=P(X≥64)-P(X≥72)≈13.59%.【能力提

升练】10.(5分)为了解某地区高中男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高中男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,22),且正态密度曲线如图所示.若58.5<X≤62.5属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人

数是()A.997B.954C.819D.683【解析】选D.由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,从而属于正常情况的人数是1000×0.6827≈683.11.(5分)在如图所示的正方形中随

机投掷40000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布X~N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.906B.1359C.2718D.3413【解析】选B.因为X~N(-2,

4),所以阴影部分的面积S=P(0≤X≤2)=12[P(-6≤X≤2)-P(-4≤X≤0)]≈12×(0.9545-0.6827)=0.1359,则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影内的概率为P=0.13594,所以落入阴影部分的点的个数的估

计值为40000×0.13594=1359.12.(5分)(多选题)(2023·泰安模拟)水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交

水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=110√2πe-(𝑥-100)2200,x∈(-∞,+∞),则下列说法正确的是()A.该地

水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)之间的概率一样大【解析】选AC.本题考查正态密度函数的特征以及性质的应用.正态密

度函数为f(x)=1√2π𝜎e-(𝑥-𝜇)22𝜎2,x∈(-∞,+∞),由题意知μ=100,σ2=100,所以该地水稻的平均株高为100cm,方差为100,故A正确,B错误;因为正态密度曲线关于直线x=100对称,所以P(X>120)=P(X<80)>P(X<70),故C正确;P(100<

X<110)=P(90<X<100)>P(80<X<90),故D错误.13.(5分)某一部件由3个元件按如图方式连接而成,若元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设3个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该

部件的使用寿命超过1000小时的概率为________.【解析】由题意得,3个电子元件的使用寿命服从正态分布N(1000,502),则每个元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12,则元件1和2的使用寿命至少有一

个超过1000小时的概率为1-12×12=34,故该部件使用寿命超过1000小时的概率为34×12=38.答案:3814.(10分)为应对气候变化,我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值,2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况,从

本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查,得到如下频数分布表,并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业:碳排放量X[2.5,5.5)[5.5,8.5)[8.5,11.5)[11.5,14.5)[14.5,17.5)[17.5,20.5)[2

0.5,23.5)频数56912864(1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布N(𝜇,𝜎2),其中μ近似为样本均值𝑥,σ2近似为样本方差s2,经计算得𝑥≈12.8,s≈5.2.试估计这320家企业中“超标”企业的家数;(2)通过研究样本原始数据发

现,抽取的50家企业中共有8家“超标”企业,市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查,现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查,设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数,求Y的分布列与数学期望.(参考数据:若X~N(𝜇,𝜎2),则P(𝜇-𝜎≤𝑋≤𝜇+𝜎)

≈0.6827,P(𝜇-2𝜎≤𝑋≤𝜇+2𝜎)≈0.9545,P(𝜇-3𝜎≤𝑋≤𝜇+3𝜎)≈0.9973.)【解析】(1)由已知,得μ≈12.8,σ≈5.2,所以P(X>18)=P(X>

μ+σ)≈1-0.68272=0.15865,因为320×0.15865=50.768≈51,所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.(2)由题中频数分布表可知,8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家,所以Y的可能取值为1,2,3,4,且P(𝑌=

1)=C41C44C85=114,P(𝑌=2)=C42C43C85=37,P(𝑌=3)=C43C42C85=37,P(𝑌=4)=C44C41C85=114,所以Y的分布列为Y1234P1143737114所以E(𝑌)=1×114+2×37+3×37+4×11

4=52.15.(10分)某市为了传承发展中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛,竞赛奖励规则如下:得分在[70,80)内的学生获三等奖,得分在[80,90)内的学生获二等奖,得分在[90,100)

内的学生获一等奖,其他学生不得奖,为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取100名学生的竞赛成绩,并以此为样本绘制了样本频率分布直方图,如图所示.(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,求这两名学生中

恰有一名学生获奖的概率;(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(𝜇,𝜎2),其中σ≈15,μ为样本平均数的估计值,利用所得正态分布模型解决以下问题:①若该市共有10000名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到

整数);②若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机取3名学生进行访谈,设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.附参考数据,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(𝜇-

𝜎≤𝑋≤𝜇+𝜎)≈0.6827,P(𝜇-2𝜎≤𝑋≤𝜇+2𝜎)≈0.9545,P(𝜇-3𝜎≤𝑋≤𝜇+3𝜎)≈0.9973.【解析】(1)由题中样本频率分布直方图得,样本中获一等奖的有6人,获二等奖的有8人,获三等奖的有16人,共有30人获

奖,70人没有获奖.从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,基本事件总数为C1002,设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A,则事件A包含的基本事件的个数为C701C301,因为每个基本事件出现的可能性都相等,所以P(𝐴)=C701C

301C1002=1433,即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为1433.(2)由题中样本频率分布直方图得,样本平均数的估计值μ=35×0.006×10+45×0.012×10+55×0.018×10+65×0.034×10+

75×0.016×10+85×0.008×10+95×0.006×10=64,则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(64,152).①因为μ+σ=79,所以P(𝑋>79)≈1-0.68272=0.15865.故参赛学生中成绩超过79分的学生数为0.15

865×10000≈1587.②由μ=64,得P(𝑋>64)=12,即从所有参赛学生中随机抽取1名学生,该生竞赛成绩在64分以上的概率为12.所以随机变量ξ服从二项分布ξ~B(3,12),所以P(𝜉=0)=C30(12)3=18,P(𝜉=1)=C31(12)3=38,P(𝜉=2)=

C32(12)3=38,P(𝜉=3)=C33(12)3=18.所以随机变量ξ的分布列为:ξ0123P18383818E(𝜉)=0×18+1×38+2×38+3×18=32.【素养创新练】16(5分)(多选题

)(2023·广州模拟)为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题,科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统.规定:某区域内的m个点Pi(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑧𝑖)的深度zi的均值为μ=1�

�m1iiz=,标准偏差为σ=√1𝑚m21(-)iiz=,深度zi∉[μ-3σ,μ+3σ]的点视为孤立点.则根据表中某区域内8个点的数据,下列结论正确的是()PiP1P2P3P4P5P6P7P

8xi15.115.215.315.415.515.415.413.4yi15.114.214.314.414.515.414.415.4zi2012131516141218A.μ=16B.σ=√292C.P1不是孤

立点D.P8是孤立点【解析】选BC.由题表可知μ=18×(20+12+13+15+16+14+12+18)=15,A错误;σ=√(20-15)2+(12-15)2+…+(18-15)28=√292,B正确;所以[μ-3σ,μ+3σ

]=[15-32√29,15+32√29],因为√29>5,所以15+32√29>20,则z1=20∈[15-32√29,15+32√29],z8=18∈[15-32√29,15+32√29],所以P1,P8不是孤立点,C正确,D错误.