【文档说明】重庆市合川实验中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题含答案.docx，共(4)页，574.582 KB，由小赞的店铺上传

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实验中学高2021级期中数学试题（理）（总分：150分考试时间：120分钟）2020年11月注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需

改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、选择题：本大题共12小题，每

题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2230Mxxx=+−，集合21log2Nxx=，则MN=（）A．[31]−，B．[02)，C．[32]−，D．[32)−，2．已知复数z满足(12)

34zii+=−，则z的共轭复数z=（）A．12i+B．12i−C．12i−+D．12i−−3．已知向量(1)am=，ur，(32)bm=−，ur，则3m=是aur//bur的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件4．已知

各项均为正数的等比数列na的前3项和为7，且135430aaa+−=，则2a=（）A．1B．2C．4D．85．已知圆22:2220Cxyxy+−−−=与直线:0lxyb−+=，若直线l与圆相交于AB，两点，且ABC为等边三角形，则b的值为（

）A．6B．6C．2D．26．函数2()sin()fxxx=的图像大致为（）ABCD7．在中国足球超级联赛某一季的收官阶段中，广州恒大淘宝、北京中赫国安、上海上港、山东鲁能泰山分别积分59分、58分、56分、50分，四家俱乐部都有机会夺冠．A，B，C三个球迷依据四支

球队之前比赛中的表现，结合自已的判断，对本次联赛的冠军进行如下猜测：A猜测冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山；B猜测冠军一定不是上海上港和山东鲁能泰山；C猜测冠军是广州恒大淘宝或北京中赫国安.联赛结束后，发现A，B，C三人中只有一人的猜测是正确的，则冠军是（）A．广州恒大

淘宝B．北京中赫国安C．上海上港D．山东鲁能泰山8．已知椭圆2214xy+=，12FF，分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则1211PFPF+的取值范围为（）A．[12]，B．[23]，C．[24]，D．[14]，9．如

图，过抛物线22(0)ypxp=的右焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若3BCBF=，且6AF=，则p=（）A．2B．3C．4D．610．已知平面四边形ABCD的两条对角线互相垂直，22B

DABBC===，23ADCD==，点E在四边形ABCD上运动，则EBED的最小值为（）A．4−B．3−C．1−D．311．设双曲线22221xyab−=(00)ab，的左右焦点分别为1F，2F，过1F的直线分别交双曲线的左、右两支于M，N．若以MN为直径的圆经

过右焦点2F，且22MFNF=,则双曲线的离心率为（）A．6B．5C．3D．212．已知定义在R上的奇函数()fx满足(1)()fxfx+=−，且对任意的121[0]2xx，，12()xx，都有1212

()()fxfxxx−−．又()singxx=，则关于x的不等式()()fxgx在区间33[]22−，上的解集为（）A．3[][0]244−−，，B．3[]24−−，C．3[1][01]2−−，，D．3[0

]2−，二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件220100xyxyy−−−+，则32zxy=+的最大值为____________．14．曲线21()ln2fxxxx=+在点(

1(1))f，处的切线与直线10axy−−=垂直，则_________a=．15．已知数列na满足11nnnaaa+=+，且11a=．记数列na的前n项和为nS，若对一切的nN，都有220nnmSS−恒成立，则实数m能取到的最大整数是____________．16．

在平面四边形ABCD中，45AD==，150B=，2AD=，则CD的取值范围是___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17

．(12分)已知函数()4sinsin()4fxxx=+.(1)求函数()yfx=的周期和对称轴方程；(2)将()yfx=的图像向右平移4个单位长度，得到()ygx=的图像，求函数()ygx=在[0]2x，

上的值域.18．(12分)已知各项均为正数的数列na的前n项和为nS，212nnnaSS−=++(2*)nnN，，12a=.(1)证明数列na为等差数列，并求na的通项公式；(2)设32nnbS=，数列nb的前n项和记为nT,证明：116nT.19．(12分)ABC

中，5AB=，4AC=，D为线段BC上一点，且满足2BDDC=.(1)求sinsinBADDAC的值；(2)若2BADDAC=，求AD.20．(12分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12FF，点

．M为椭圆上的一动点，12MFF面积的最大值为3．过点2F的直线l被椭圆截得的线段为PQ，当lx⊥轴时，1PQ=．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上任取两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB．若14OAOBkk=−，则22OCAB+是否为定值？若是，求出定值；

如不是，请说明理由．21．(12分)已知函数2()()ln1xfxxemx=−−−．(1)若0m=，求证：()fx在区间1[)2+，是增函数；(2)设()()fxgxx=，若对任意的12(0)xx+，，，

恒有12[()1][()1]0gxgx−−，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）已知曲线221:(3)9Cxy+−=，点A是曲线1C上的动点，以坐标原点O为极点，

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90得到点B，设点B的轨迹为曲线2C.(1)求曲线1C与曲线2C的极坐标方程；(2)射线2(0)3=与曲线12CC，相交于PQ，两点，已知定点M（–2，0），求MPQ的面积．23．【选修4—5：不等式选讲】（

10分）已知函数()13fxxx=++−．(1)解不等式()2fxx+；(2)设函数()fx的最小值为t，实数ab，满足00ab，，且abt+=．求证：228113abab+++．实验中学高2021级期中数学试题（理）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．1—5DCD

BA6—10ADDCB11—12CC二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．614．12−15．916．3313−（，）三、解答题：共70分．17．解：（1）222()4sin(sincos)22

sin22sincos22fxxxxxxx=+=+2(1cos2)2sin2xx=−+=2sin(2)24x−+；所以()yfx=的周期T=,令242xk−=+，则3,82kxkZ=+.（2）3()2sin(2)24gxx=

−+，当[0,]2x，332[,]444x−−，32sin(2)[1,]42x−−,()[2222]gx−+，.18.解：（1）由已知：212(2,)nnnaSSnnN−=++①,得21122(3,)nnnaSSnnN−−−=++

②①－②可得2211(3,)nnnnaaaannN−−−=+.因为0na，所以11(3)nnaan−−=检验：由已知22121()2aaaa=+++，12a=，所以23a=，那么211aa−=，也满足式子11nnaa−−=

.所以11(2)nnaan−−=.所以na为等差数列，首项为2，公差为1.于是1nan=+.（2）由1nan=+，所以(21)(3)22nnnnnS+++==.所以33112(3)3nnbSnnnn===−++.则123nnTbbbb=++++1111111111111(1)()()()

()()()425364721123nnnnnn=−+−+−+−++−+−+−−+−++1111111111(1)()234456123nnnn=+++++−+++++++++11111(1)()23123nnn=++−+++++1111111()61236

nnn=−+++++.19.解：（1）由题：2BDDC=，所以2ABDACDSS=,即11sin2sin22ABADBADACADDAC=.所以sin28sin5BADACDACAB==.（2）由2BADDAC=，

所以sin=sin22sincosBADDACDACDAC=，所以4cos5DAC=，所以，27coscos22cos125BADDACDAC==−=.设ADx=，在ABD中，由222214=2cos255BDABADABADBADxx+−=+−.ACD中，2222

32=2cos165CDACADACADCADxx+−=+−.又因为2BDDC=,所以22=4BDCD，即221432254(16)55xxxx+−=+−.化简可得2151141950xx−+=，即(315)(513)0xx−−=，则

5x=或135x=.又因为D为线段BC上一点，所以5ADAB=且4ADAC=，所以135AD=.20.解：（1）由题意：12MFF的最大面积3Sbc==，221bPQa==.又222abc=+，联立方程可解得2,1ab==，所以椭圆C的

方程为：22141xy+=.（2）设11(,)Axy，22(,)Bxy，由平行四边形法则OCOAOB=+，所以1212(,)Cxxyy++.所以22222212121212=()()()()OCABxxyyxxy

y+++++−+−.222212122()xxyy=+++又因为14OAOBkk=−，即121214yyxx=−，即12124xxyy=−.又因为点A，B在椭圆C上，则221144xy+=，222244xy+=，可得221144xy−=−①，222244xy−=−②，①×②可得222

21212(4)(4)16xxyy−−=即2222221212124()1616xxxxyy−++=，又12124xxyy=−，所以22124()16xx+=,即2212()4xx+=.又①＋②可得222212128

4()xxyy+−=−+，可得22121yy+=.所以22222212122()10OCABxxyy+=+++=.21.解：（1）当0m=，2()ln1(0)xfxxexx=−−．则'21()(21)xfxx

ex=+−.当0x，由函数单调性的性质可知，'21()(21)xfxxex=+−为(0,)+上的增函数.所以，当1[)2x+，时，''1()()=2202fxfe−.所以()fx在区间1[)2+，是增函数.（2）由题2()ln1(

)xfxxgxemxx+==−−，则22'2221(ln1)2ln()2xxxxexgxexx−++=−=令22()2lnxhxxex=+，则()hx为(0,)+上的增函数.当0,()xhx→→−；当,()xhx→+→+；所以必然存在0(0,)x+

，使得022000()2ln=0xhxxex=+，即02000ln2xxxex=−.当0(0,)xx，()0hx，即'()0gx，所以()gx为减函数.当0(,)xx+，()0hx，即'()0gx，所以()gx为增函数

.所以020min00ln1()()xxgxgxemx+==−−，()gx无最大值.此外，因为2(1)20he=，所以0(0,1)x.令()xTxxe=，则就有0200000ln(2)2(ln)xxTxxeTxx−===−.又'(

)(1)xTxxe=+，当(0,)x+，'()0Tx，所以()xTxxe=为(0,)+上的增函数.因为00(2)(ln)TxTx=−，且020x，0ln0x−.所以必然有002lnxx=−.此时，020m

in0ln1()2xxgxemmx+=−−=−.又任意的12,(0,)xx+，恒有12[()1][()1]0gxgx−−，所以min()21gxm=−，即1m.22.解：（1）曲线221:(3)9Cxy+−=，化简则有：2260x

yy+−=.将cossinxy==代入可得曲线1:6sinC=.设(,)B，则(,)2A−,由点A在曲线1C上，则6sin()6cos2=−=−.所以曲线2C的极坐标方程为6cos=−.（2）点(2,0)M−到射线23=的距

离2sin33d==.射线2(0)3=与曲线1C的交点P的坐标为2(33,)3，射线2(0)3=与曲线2C的交点Q的坐标为2(3,)3，所以333PQ=−,故11933(333)3222SPQd−==−=.2

3.解：（1）()2fxx+，即132xxx++−+.则不等式等价于2223xxx−+或4213xx+−或2221xxx−+−可解得34x或23x或x无解.所以原不等式的解集为[2

,4].（2）因为()13(1)(3)4fxxxxx=++−+−−=，当且仅当(1)(3)0xx+−取等号，所以函数()fx的最小值为4t=即4ab+=.由柯西不等式：222[(1)(1)]()()11abab

abab+++++++，所以226()1611abab+++，即228113abab+++，当且仅当2222(1)(1)=abab++，即=ab时取等号.又4ab+=，所以228113abab+++当且仅当2ab==时等号成立.