【文档说明】天津市第九十五中学2021届高三上学期模拟考试（二）数学试卷含答案.docx，共(13)页，193.367 KB，由小赞的店铺上传

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天津市第九十五中学高三年级模拟考试（二）数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷选择题(共45分)参考公式：·如果事件A、B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．·柱体的体积公式V＝Sh.其中S表示柱体的底面积，

h表示柱体的高．·锥体的体积公式V＝13Sh.其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1

}，则∁U(A∩B)＝()A．{－1}B．{0，1}C．{－1，2，3}D．{－1，0，1，3}2．设x，y∈R，则“x>y”是“lnx>lny”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．

既不充分也不必要条件3．某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是18人，则参加体能测试的学生人数是()A．45B．48C．50D．604．已知3x－2ax8的展

开式中常数项为112，则实数a的值为()A．±1B．1C．2D．±25．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2a2－y2＝1(a＞0)的一条渐近线的距离是22，则双曲线的实轴长是()A.3B．23C．1D．26．函

数f(x)＝（ex－1）sinxex＋1的部分图象大致为()7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则()A．f(21.1)>f(ln3)>f(log132)B．f(21.1)>f(log132)>f(ln3)C．

f(ln3)>f(21.1)>f(log132)D．f(ln3)>f(log132)>f(21.1)8．已知函数f(x)＝sin(ωx－π6)(ω>0)，若函数f(x)在区间(0，π)上有且只有两个零点，则ω的取值范围为()A.

76，136B.76，136C.56，116D.56，1169．已知函数f(x)＝x2＋（t＋1）x＋2t2，x≤0，|lnx|，x>0，若关于x的不等式f(x)≤t的解集为[a，b]∪[c，d]

，且b<c，ab＋cd－t2<2732，则实数t的取值范围为()A.516，47B.516，58C.516，1D.12，47第Ⅱ卷非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)10．已知复数(1＋i)z＝2－3

i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z＝________．11．过点(1，0)，倾斜角为π4的直线l交圆(x－1)2＋(y－2)2＝4于A，B两点，则弦AB的长为________．12．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”

，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________．13．某校在高一年

级一班至六班进行了“社团活动”满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种)，从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：班号一班二班三班四班五班六班频数451181012满意人数328566现从一班和二

班调查对象中随机选取4人进行追踪调查，则选中的4人中恰有2人不满意的概率为________；若将以上统计数据中学生持满意态度的频率视为概率，在高一年级全体学生中随机抽取3名学生，记其中满意的人数为X，则随机变量X的数学期望是________．14．已知x>0，y>0，x＋

2y＝3，则x2＋yxy的最小值为________．15．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D，E分别是直线AB，AC上的点，AE→＝2BE→，CD→＝4AC→且BD→·CE→＝－2，则∠BAC＝________；若P是线段DE上的一个动点，

则BP→·CP→的最小值为________．三、解答题(本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(本小题满分14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c

，2sinB＝3sinA.(1)求sinB的值；(2)求sin2B－π6的值．17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝22，PA＝1，

AB⊥BC，N为PD的中点．(1)求证：AN∥平面PBC；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为2626，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由．18．(本小题满分15

分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，短轴长为2，若点A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M(a，t)，(t≥2)，直线AM交椭圆E于点P.(1)求椭圆E的方程；(2)①求证：OM→·BP→是定值；②设△ABP的面积为S1

，四边形OBMP的面积为S2，求S1S2的最大值．19．(本小题满分15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S5＝30，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝2n－1.(1)求数列{an}、{bn}的通项公

式；(2)设cn＝bn（bn＋1）（bn＋1＋1），数列{cn}的前n项和为Mn，求Mn；(3)设dn＝(－1)n(anbn＋lnSn)，求数列{dn}的前n项和．20．(本小题满分16分)设函数f(x)＝(x＋1)m－a(x－1)的定义域为(－1，＋∞)，其中m≥0，a∈R.

(1)若m＝3，判断f(x)的单调性；(2)若m＝0，设函数g(x)＝lnx＋[f(x)－1]·ex在区间(1，＋∞)上恰有一个零点，求正数a的取值范围；(3)当a＝0，m>1时，证明：数学答案1．C[命题立意]本题考查集合的交集、补集的运算．[解析]∵A∩B＝{0，1}，∴∁U(A∩B)＝{－1

，2，3}，故选C.2．B[命题立意]本题考查充分、必要条件．[解析]由lnx>lny得x>y>0，由x>y不能得到lnx>lny，因为x，y小于0时，lnx、lny无意义，∴“x>y”是“lnx>lny”的必要不充分条件，故选B.3．D[命题立意]本题考查频率分布直方图．[解

析]由直方图得低于60分的频率为(0.005＋0.010)×20＝0.3，故参加体能测试的学生人数是180.3＝60，故选D.4．A[命题立意]本题考查二项展开式的特定项．[解析]3x－2ax8展开式的通项为T

r＋1＝Cr8(3x)8－r－2axr＝(－2a)r·Cr8·x8－4r3.令8－4r3＝0，得r＝2，∴常数项为(－2a)2C28＝112，解得a＝±1.故选A.5．D[命题立意]本题考查双曲线、抛物线的几何性质．[

解析]∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，双曲线x2a2－y2＝1的渐近线方程为y＝±xa，∴11＋a2＝22，∴a＝1，∴实轴长2a＝2，故选D.6．C[命题立意]本题考查函数的图象与性质．[解析]∵f(0)＝0，∴排除A、D；∵fπ2＝eπ2－1eπ2＋1>0，∴排除B，故

选C.7．A[命题立意]本题考查函数的单调性、奇偶性．[解析]∵f(x)是偶函数，∴f(log132)＝f(log32)，∵21.1>2>ln3>1>log32>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(21.1)>f(ln3)>f

(log32)＝f(log132)，故选A.8．B[命题立意]本题考查正弦型函数的图象和性质．[解析]∵x∈(0，π)，ω>0，∴ωx－π6∈－π6，ωπ－π6，∵f(x)在(0，π)上有且只有两个零点，∴π<ωπ－π6≤2

π，∴76<ω≤136，故选B.9．B[命题立意]本题考查分段函数、解不等式．[解析]当x>0时，f(x)＝|lnx|>0；当x≤0时，f(x)为开口向上的二次函数图象的一部分，故t≤0时不合题意；当t>0时，如图，令|lnx|≤t得－t≤lnx≤t，∴e－t≤x≤e

t.∴c＝e－t，d＝et，∴cd＝e－t·et＝1，令x2＋(t＋1)x＋2t2≤t.得x2＋(t＋1)x＋2t2－t≤0，当2t2≥t时，有（t＋1）2－4（2t2－t）>0，a＋b＝－t＋12<0，ab＝2t2－t≥0，解得12≤t<1.又

∵ab＋cd－t2<2732，∴2t2－t＋1－t2<2732，∴64t2－48t＋5<0，解得18<t<58，∴12≤t<58.当2t2<t时，b＝0，∴ab＝0，∴0＋1－t2<2732，∴516<t<12.综上516<t<58.故选B.10

．－12＋52i[命题立意]本题考查复数的除法运算、共轭复数．[解析]∵(1＋i)z＝2－3i，∴z＝2－3i1＋i＝（2－3i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝2－3－5i2＝－12－52i，∴z＝－12＋52i.11．22[命题立意]本题考查直线与圆的位置关系

．[解析]直线l的方程为x－y－1＝0，圆心(1，2)到直线l的距离为d＝|1－2－1|2＝2，∴弦长|AB|＝24－2＝22.12.423[命题立意]本题考查组合体的体积．[解析]由题意知，该六面体为两个

同底的正四面体组成的几何体，其中正四面体的棱长为2，所以底面积为3，高为263，所以该六面体的体积为2×13×3×263＝423.13.102195[命题立意]本题考查古典概型、二项分布．[解析]一班和二班共有9人，满意人数5人，从中选取4人，则4人中恰有2人不满意的概率P＝C25

C24C49＝1021.在高一年级全体学生中随机抽1人，满意的概率为3＋2＋8＋5＋6＋650＝35.∴X～B3，35，E(X)＝95.14.26＋13[命题立意]本题考查基本不等式．[解析]∵x>0，y>0，x＋2y＝3，∴x2＋yxy＝xy＋1x＝xy＋1x·x＋2y3＝x

y＋13＋2y3x≥2xy·2y3x＋13＝26＋13.当且仅当x＋2y＝3，xy＝2y3x时等号成立，∴x2＋yxy的最小值为26＋13.15.π3377[命题立意]本题考查向量的线性运算、

向量的数量积．[解析]∵BD→＝BA→＋AD→＝－AB→＋5AC→，CE→＝CA→＋AE→＝2AB→－AC→，∴BD→·CE→＝(－AB→＋5AC→)·(2AB→－AC→)＝－2AB→2＋11AB→·AC→－5AC→2＝－8＋22cos

A－5＝－2，∴cosA＝12，∵A∈[0，π]，∴A＝π3，即∠BAC＝π3.设EP→＝λED→(0≤λ≤1)，则BP→＝BE→＋EP→＝AB→＋λED→＝AB→＋λ(AD→－AE→)＝(1－2λ)AB→＋5λAC→，CP→＝CE→＋EP→＝2AB→－AC→＋λED→＝2AB→－AC→＋λ(AD

→－AE→)＝(2－2λ)AB→＋(5λ－1)AC→，∴BP→·CP→＝[(1－2λ)AB→＋5λAC→]·[(2－2λ)AB→＋(5λ－1)AC→]＝(1－2λ)(2－2λ)AB→2＋5λ·(5λ－1)AC→2＋[(1－2λ)(5λ－

1)＋5λ(2－2λ)]AB→·AC→＝21λ2－12λ＋7＝21(λ－27)2＋7－127，当λ＝27时，BP→·CP→取得最小值377.16．[命题立意]本题考查正、余弦定理、二倍角公式、两角差的正弦公式．[解题思路](1)利用正弦定理将已知角化为边的关系、利用余弦定理求得c

osB，再根据同角三角函数关系式求得sinB；(2)利用二倍角公式求出sin2B、cos2B，代入两角差的正弦公式即可．[解](1)在△ABC中，b＝c，2sinB＝3sinA，所以2b＝3a.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝43b2＋b2－b22×2

3b2＝33.又因为B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝63.(2)sin2B＝2sinBcosB＝223，cos2B＝2cos2B－1＝－13.所以sin2B－π6＝sin2Bcosπ6－cos2Bsinπ6＝223·32＋13·12＝

26＋16.17．[命题立意]本题考查线面平行的证明、二面角、线面角．[解题思路](1)建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量n1，利用AN→·n1＝0，证得AN∥平面PBC；(2)求出平面PAD的一个法向量n2，利用向量法求得二面角的余弦值；(3)假设存在点M满足题

意，设DM→＝λDP→.求出CM→，利用线面角的正弦值解得λ值，从而得DMDP的值．[解]过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE＝1，以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)

，E(22，0，0)，D(22，－1，0)，C(22，1，0)，P(0，0，1)．∴N2，－12，12.(1)AN→＝2，－12，12.设平面PBC的一个法向量为n1＝(x，y，z)．BP→＝(0，－1，1)，BC→＝(22，0，0)，∴－y＋z＝0，22x＝0，令y

＝1，则n1＝(0，1，1)，∴AN→·n1＝－12＋12＝0，AN→⊥n1又AN平面PBC，∴AN∥平面PBC.(2)设平面PAD的一个法向量为n2＝(x，y，z)，∴AP→＝(0，0，1)，AD→＝(22，－1，0)∴z＝0，22x－y＝0

，令x＝1，则n2＝(1，22，0)．∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝2232＝23.∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为23.(3)令DM→＝λDP→，λ∈[0，1]，设M(x，y，z)．∴(x－22，y＋1，z)＝λ(－22，1，1)，∴M(22－22λ，λ－1

，λ)，∴CM→＝(－22λ，λ－2，λ)．∵平面PBC的一个法向量n1＝(0，1，1)．∴2626＝|2λ－2|28λ2＋（λ－2）2＋λ2，∴21λ2－50λ＋24＝0，∴(3λ－2)(7λ－12)＝0，∵λ∈[0，1]，∴λ＝23，∴DMDP＝23.

18．[命题立意]本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、三角形面积．[解题思路](1)由已知列方程组求出a，b得椭圆方程；(2)①写出直线AM的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出P点坐标表达式，得OM→·BP→＝0；②结合图形分别求出S1、S2的表达式，得S1S2

的表达式，由t≥2得S1S2的最大值．[解](1)∵短轴长为2，∴b＝1.∵e＝22，a2＝b2＋c2，∴a＝2.∴椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)①法一：∵kAM＝t22，设lAM：y＝t22(x＋2)∴y＝t22（x＋2），x2

2＋y2＝1，∴(t2＋4)x2＋22t2x＋2t2－8＝0.∴(－2)xP＝2t2－8t2＋4，∴xP＝42－2t2t2＋4，∴yP＝t22(xP＋2)＝4tt2＋4，∴P42－2t2t2＋4，4tt2＋4.∴OM→·BP→＝(2，t)·－22t2t2＋4，4tt

2＋4＝0.②∵S1＝12·2a·yP＝12×22·4tt2＋4＝42tt2＋4，S2＝S△ABM－S△AOP＝12×22·t－12·2·4tt2＋4＝2t－22tt2＋4，∴S1S2＝42tt2＋42t－22t

t2＋4＝1t2＋44－12＝1t24＋12≤1，当t＝2时取等，∴S1S2的最大值为1.法二：①设AM：y＝k(x＋2)，x22＋y2＝1，y＝k（x＋2）(1＋2k2)x2＋42k2x＋4k2－2＝0.xAxP＝4k2－21

＋2k2xP＝2（1－2k2）1＋2k2，yP＝k(xP＋2)＝22k1＋2k2.∴P2（1－2k2）1＋2k2，22k1＋2k2.其中M(2，22k)，B(2，0)．∴BP→＝－42k2

1＋2k2，22k1＋2k2，OM→＝(2，22k)，∴BP→·OM→＝0.②S1＝12|AB||yP|＝12×22·|22k|1＋2k2＝|4k|1＋2k2，S2＝S△ABM－S△AOP＝12×22·|22k|－12·2|22k|1

＋2k2＝|2k|（1＋4k2）1＋2k2，∴S1S2＝|4k|1＋2k2·1＋2k2|2k|（1＋4k2）＝21＋4k2.由于t≥2，所以直线AM的斜率k≥12.∴S1S2的最大值为1，当且仅当k＝12取等．19．[命题立意]本题考查等差数列的通项公式、前

n项和公式、Tn与bn的关系、裂项相消法求和、错位相减法求和、分组求和等知识．[解题思路](1)解方程求得d，写出{an}的通项公式；利用bn＝T1，n＝1，Tn－Tn－1，n≥2求得bn；(2)由(1)得{cn}的通项公式，裂项相消求和得M

n；(3)对(－1)nanbn利用错位相减法求和，求得An，利用等差数列的前n项和公式求出Sn，对(－1)nlnSn分n为奇数、n为偶数两种情况，利用分组求和求得Bn，再将An与Bn相加即可．[解](

1)S5＝5a1＋5×42d＝10＋10d＝30，∴d＝2，∴an＝2n.对数列{bn}：当n＝1时，b1＝T1＝21－1＝1，当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝2n－2n－1＝2n－1，当n＝1时也满足上式，∴bn＝2n－1.(2

)cn＝bn（bn＋1）（bn＋1＋1）＝2n－1（2n－1＋1）（2n＋1）＝（2n＋1）－（2n－1＋1）（2n－1＋1）（2n＋1）＝12n－1＋1－12n＋1∴Mn＝120＋1－121＋1＋121＋1－122＋1＋…＋12n－1＋1－12n＋1

＝12－12n＋1.(3)dn＝(－1)n(anbn＋lnSn)＝(－1)nanbn＋(－1)nlnSn.∵Sn＝（2＋2n）n2＝n(n＋1)，∴lnSn＝lnn(n＋1)＝lnn＋ln(n＋1)．

而(－1)nanbn＝(－1)n·2n·2n－1＝n·(－2)n，设数列{(－1)nanbn}的前n项和为An，数列{(－1)nlnSn}的前n项和为Bn.An＝1·(－2)1＋2·(－2)2＋3·(－2)

3＋…＋n·(－2)n(1)－2An＝1·(－2)2＋2·(－2)3＋3·(－2)4＋…＋n·(－2)n＋1(2)(1)－(2)得3An＝1·(－2)1＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)n－n·(－2)n＋1＝（－2）[1－（－2）n]1－（－2）－n·(－2)n＋1＝－23－3n＋13·(－

2)n＋1，∴An＝－29－3n＋19·(－2)n＋1.当n为偶数时，Bn＝－(ln1＋ln2)＋(ln2＋ln3)－(ln3＋ln4)＋…＋[lnn＋ln(n＋1)]＝ln(n＋1)．当n为奇数时，Bn＝－(ln1＋ln2)＋(ln2＋ln3)－(ln3＋ln4)＋…－[lnn＋ln(n＋1

)]＝－ln(n＋1)，由以上可知Bn＝(－1)nln(n＋1)．所以，数列{dn}的前n项和为An＋Bn＝(－1)nln(n＋1)－29－3n＋19·(－2)n＋1.20．[命题立意]本题考查利用导数研究函数的单调性、零点、证明不等式．[解题思路](1)对f(

x)求导，分a≤0，a>0两种情况讨论f(x)的单调性；(2)对g(x)求导，分a≥1e和0<a<1e两种情况讨论g(x)的单调性，结合g(1)＝0和零点存在性定理判断零点个数．从而得a范围；(3)构造函数φ(x)＝f(x)－mx.对φ(x)求导，判单调，结合φ(0)＝1，φ(－1)＝m证得

1<(1＋x)m－mx<m.令x依次取－12，－13，－14，…，－1n＋1，再相加即可．[解](1)m＝3时，f(x)＝(x＋1)3－a(x－1)，x∈[－1，＋∞)f′(x)＝3(x＋1)2－a.①a≤0时，f′(x)≥0，f(

x)在[－1，＋∞)上单调递增．②a>0时，令f′(x)＝0，x1＝－1＋a3，x2＝－1－a3(舍)．令f′(x)>0，x∈－1＋a3，＋∞，∴单增区间为－1＋a3，＋∞.f′(x)<0，x∈

－1，－1＋a3，∴单减区间为－1，－1＋a3.(2)g(x)＝lnx－a(x－1)ex，g′(x)＝1x－axex＝1－ax2exx.令h(x)＝1－ax2ex，h′(x)＝－2axex－ax2ex<0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴h(x)

<h(1)＝1－ae.①若a≥1e，h(x)<0对x∈(1，＋∞)恒成立，即g′(x)<0对x∈(1，＋∞)恒成立，即g(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)<g(1)＝0.∴g(x)<0在x∈(1，＋∞)上无零点，不满足题意．②若0<a<1e，其中h(1)>0，hln

1a＝1－aln1a2eln1a＝1－(lna)2<0，∴根据零点存在性定理x0∈1，ln1a，使得h(x0)＝0.即x0∈1，ln1a，使得g′(x0)＝0.当x∈(1，x0)时，g′(x)>0，g(x)在(1，x0)上单调递增，且

g(1)＝0，∴g(x)>0，无零点．当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(x0，＋∞)上单调递减，其中g(x0)>0，gln1a＝lnln1a－aln1a－1eln1a<ln1a－1－ln1a－1＝0.根据零点存在性定理x∈(x0，＋∞)上有且

仅有一个零点，综上：0<a<1e.(3)当m>1时，令φ(x)＝f(x)－mx，则φ′(x)＝m[(1＋x)m－1－1]x∈(－1，0)时，恒有φ′(x)<0，即φ(x)＝f(x)－mx在(－1，0)上单调递减，∴φ(0)<φ(x)<φ(－1)，对x∈(－1，0)恒成立．又φ(

0)＝1，φ(－1)＝m,故1<φ(x)<m，