【文档说明】北京市人大附中2021届高三上学期10月月考数学试题含答案.docx，共(15)页，286.068 KB，由小赞的店铺上传

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人大附中2021届高三第一学期10月月考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。01.已知集合{1,0,1},1ABxNx，则ABA.{-1，0}B.{0，1}C.{0}D.Φ02.已知命题:(0,),l

n0Pxxx，则P为A.(0,),ln0xxxB.(0,),ln0xxxC.(0,),ln0xxxD.(0,),ln0xxx03.已知点5(2cos1)6P，是角α终边上一点，则sinα=A.12B.22C.12D.2204

.已知向量a=(1,1),b(2,-1),若（λa+2b）∥(a-b)，则实数λ=A.8B.-8C.2D.-205.以下选项中，满足log2log2ab的是A.a=2,b=4B.a=8,b=4C.1,84abD.11,24ab06.下列函数中，既是奇函数又在区间（-1，1）内是增函数

的是A.33fxxxB.f(x)=sinxC.1()ln1xfxxD.xxfxee07.已知方程210xax在区间[0,1]上有解，则实数a的取值范围是A.[0,+∞)B.（-∞，0]C.（-∞，-2]D.[-2,0]08.已知a

是非零向量，m为实数，则“am”是“22am”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件09.已知a>0,若函数31,1()1,1xaxxxfxax

有最小值，则实数a的取值范围是A.（1，+∞）B.[1，+∞）C.（12，+∞）D.[12，+∞）10.定义在[1，+∞）上的函数f(x)满足，当0≤x≤π时，f(x)=sinx;当x≥π时，f(x)=2f(x-π)若方程f(x)-

x+m=0在区间[0,5π]上恰有3个不同的实根，则m的所有可能取值集合是A.4[0,3)3B.4(0,3)3C.4[0,3)[343，）D.4[0,3)(343，）二、填空题共5小题每小题5分，共25分。请将答案全部填写在答题卡上。11.已知1cos()23，则s

inα=.12.在△ABC中，已知2,,coscoscosabcaABC则△ABC的面积为.13.已知点P(1,1),O为坐标原点，点A、B分别在x轴和y轴上，且满足PA⊥PB，则()PAPBPO，PAPB的最小值为.14.已知函数()(1)xfx

eax，若f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是.15.将函数y=sinx图象上各点横坐标变为原来的1(0)倍，再向左平移5个单位，得到函数f(x)的图象，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，在下列命题中：①f(x)的图象关于点(,0

)5对称；②f(x)在(0,2π)内恰有5个极值点；③f(x)在区间(0,)5内单调递减；④ω的取值范围是2530[,)1111，所有真命题的序号是.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，每小题均包含1分的卷面分，请

注意答题卡卷面的工整和整洁。16（本题13分）在△ABC中，已知a+2b=2ccosA.（1）求C；（2）若a=5,c=7,求b.17（本题13分）已知函数22cossin0fxxx,若，写出f(x)的最小正周期，并求函数f(x)在区间5(,]66内的最小值.请从①ω=1，

②ω=2这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.若选择多个条件分别作答，按第一个判分.18.（本题14分）已知函数1(),()11fxgxxx.求正实数a的取值范围；（1）任意10,xa,存在20,xa，使得12()(

)fxgx成立；（2）存在211,xaxa，使得12()()fxgx成立19（本题15分）研究表明：在一节40分钟的数学课中，学生的注意力指数f(x)与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示.当x∈(0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数0

.8log()80yxa图象的一部分.（1）求函数f(x)的解析式；（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？（精确到2分钟，参考数据：554102453125，）20.（

本题15分）已知函数f(x)=(x+a)lnx-(a+1)(x-1)（1）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）是否存在实数a，使得f(x)在(0,+∞)具有单调性？若存在，求所有a的取值构成的集合；若不存在，请

说明理由.21.（本题15分）对非空数集A，B，定义,ABxyxAyB，记有限集T的元素个数为T.（1）A={1,3,5},B={1,2,4}，求,,.AABBAB（2）若*4,{1,2,3,4},AANB当AB最大时，

求A中最大元素的最小值.（3）若5,21,ABAABB求AB的最小值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分12345678910CCADABAABD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.1312.313.2,214.2[0,]e15.①④三、解答题共6小题

，共85分，每小题均包含1分的卷面分.16.（本题13分）解：（1）法1：因为a+2b=2ccosA,由正弦定理，得sinA+2sinB=2sinCcosA,················2分又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+c

osAsinC，所以，sinA+2sinAcosC+2cosAsinC=2sinCcosA，整理得：sinA·（1+2cosC）=0················4分又A,B,C∈(0,π)，故sinA>0,所以1223cosCC，···············7分法2：因为a+2

b=2ccosA,由余弦定理，知222cos2bcaAbc，所以222222bcaabcbc，··············2分整理得：222abcab，所以2221cos22abcCab

·············5分又A，B，C∈(0,π)，所以23C···············7分（II）法1：由正弦定理，知sinsinacAC，即：572sinsin3A，所以，53sin14A··············8分因为C为

钝角所以11cos14A，··············9分所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC53111333()14214214··············11

分由正弦定理，得337sin143sin32cBbC·············12分法2：由余弦定理，知2222coscababC,即：22492510cos3bb，·············10分整理得：25240bb解得：b=3或-8（舍）···

··········12分17.（本题13分）解：选择①：22cossinfxxx，最小正周期为2π·············4分令t=sinx,则1[,1]2t，·············6分22117()2(1)2()48fxttt，············

·9分由于上述关于t的二次函数在区间1[,1]2上单调递减，因此，当t=1,即2x时，f（x）取得最小值1·············12分选择②：22cossin2fxxx，最小正周期为π·············4分因为f(x)

=1+cos2x+sin2x·············6分2sin(2)14x·············8分当5(,]66x时，7232(,]41212x，·············9

分又函数y=sinx在73(,]122上单调递减，在323[,]212上单调递增，所以，当3242x，即58x时，f(x)取得最小值12·············12分18.（本题14分）解：（1）因为f(x)在区间（0，+

∞）单调递减，所以10xa（，）时，11()(,1)1fxa············1分因为g(x)在区间（0，+∞）内单调递增，所以20xa（，）时，2()(1,1)gxa············2分依题意，

1(,1)(1,1)1aa，所以11111aa············5分因为a>0,所以a≥2即正实数a的取值范围为[2,+∞)············7分（II）当12,,10xxaaa时1211()[,],()[1

,]21fxgxaaaa············9分依题意，12aa因为a>0,所以21a，即正实数a的取值范围为(21,)············13分19.（本题15分）解：（1）当x∈(0,16]时，设2()(12)84(0)fxbxb，因

为2(16)(1612)8480fb，所以14b，故21()(12)844fxx············3分当x∈[16,40]时，0.8()log()80fxxa，由0.8(16)log(16)8080fa，解得a=-15,故0

.8()log(15)80fxx············5分所以20.81(12)84,(0,16],()4log(15)80,(16,40].xxfxxx············6分（II）x∈(0,16]时，令

21()(12)84754fxx解得，x∈(0,6)············9分当x∈[16,40]时，令0.8()log(15)8075fxx所以55553125150.8341024x

所以x∈(18,40]············12分因为，在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有（6-0）+（40-18）=28分钟············14分20.（本题15分）解：（1）因为f

(x)=(x+a)lnx-(a+1)(x-1),所以f(1)=0············1分’ln(1)lnxaafxxaxaxx············3分所以f’(1)=0············4分所以所求切线方程为y=0············5分（II）令()'()(0

)gxfxx，则221'()axagxxxx············6分（1）当a≤0时，g’(x)>0所以g(x)=f’(x)在(0,+∞)单调递增············7分又因为f’(1)=0·，所以当x∈（0，1）时，f’(x)<0,f(x)单调递

减；当x∈（1，+∞）时，f’(x)>0,f(x)单调递增············8分（2）当a>0时，令g’(x)=0,得x=a.x,g’(x),g(x)的变化情况列表如下：x（0，a）a（a，+∞）g’(x)-0+g(x)=f’(x)f’(a)①a=1时，f’(x)≥f’(1)=0（

当且仅当x=1时取等号）所以f(x)在（0，+∞）内单调递增，具有单调性②当0<a<1时，x,f’(x),f(x)的变化情况列表如下：x（a，1）1（1，+∞）f’(x)-0+f(x)0所以f(x)在（a，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增③当a>1时，x,f’(x),f(x)的

变化情况列表如下：x（0，1）1（1，a）f’(x)+0-f(x)0所以f(x)在（0，1）内单调递减，在（1，a）内单调递增············13分综上所述，存在实数a使得f(x)在（0，+∞）具

有单调性，所有a的取值所构成的集合为{1}············14分21.（本题15分）解：（I）因为A={1，3，5}，B={1，2，4}所以A-A={-4，-2，0，2，4}，A-A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A-B={-3，-1，0，1，2，3，4

}所以5,7,7,AABBAB············6分（II）设*{,,,},AabcdNabcd①因为4AB，所以2416AB当A={1，5，9，13}时，因为B={1，2，3，4

}所以{3,2,1,0,1,2,,1112}16ABAB，，所以AB最大为16.②当16AB时，A中元素与B中元素的差均不相同.所以()(){0}AABB又因为B-B={-3,-2,-1,0,1,2,3}所以b-a,c-

b,d-c≥4所以d-a≥12,d≥13综上，当AB最大时，A中最大元素的最小值为13···········10分（III）对非空数集T，定义运算*,,TxyxyTxy①因为5A，所以5(51)121AA，

当且仅当*5(51)20A时取等号又因为21AA所以A中不同元素的差均不相同同理，B中不同元素的差均不相同又因为''''''ababaabbaabb所以**1155201522ABABAB②令A={1,2,4,8,16},B={-1,-2

,-4,-8,-16}所以5,ABA中不同元素的差均不相同，B中不同元素的差均不相同所以21AABB经检验，15AB，符合题意综上，AB的最小值为15···········14分